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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

geben, doch werden diese immer gleich umfassende sein, der Bedeutung
nach sich mit einander decken.

In der Absicht, die symmetrisch allgemeinen Lösungen der Gleichung
R2 (und damit auch die von R6 nebst R6' -- vergl. § 24, Aufg. 10 und
11) welche bislang nicht erreichbar schien, zu entdecken, oder andern-
falles nachzuweisen, dass die Lösung dieser Aufgabe mittelst dreier
unabhängigen Parameter unmöglich ist, habe ich nun für alle erdenk-
lichen Annahmen der Funktion ph (a, b, c) die Resultante R = 0 auf-
gesucht.

Um die Ergebnisse der Untersuchung übersichtlich angeben zu
können, bemerke ich, dass von den drei Gleichungen x = ph (a, b, c), y =
etc. immer nur die erste wirklich angeführt zu werden braucht, indem
die beiden andern ja durch die cyklische Vertauschung von a, b, c zu-
gleich mit der von x, y, z aus ihr sich auf das leichteste ergeben.

Was die Untersuchung herausstellte, können wir hiernach dahin
zusammenfassen. Es ergibt sich als Resultante der Elimination von a, b, c:
R0 aus der Annahme x = a, desgleichen aus der x = a b + a1c, des-
gleichen aus der Annahme

x = b c + a1 (b + c), desgl. aus der x = a b c1 + a1 (b1 + c);

R1 aus x = a1 (b + c), x = b c1 + a b1 c;

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Nicht vertreten sind die Resultanten:
R2, R2', R6, R6', R8, R8'
[und -- wie vorauszusehen gewesen -- auch die absurde Resultante
R9 oder 1 = 0 nicht].

Was zunächst die beiden letzteren betrifft, so wird bei ihnen die
Frage nach ihrer symmetrisch allgemeinen Lösung gewissermassen

44*

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

geben, doch werden diese immer gleich umfassende sein, der Bedeutung
nach sich mit einander decken.

In der Absicht, die symmetrisch allgemeinen Lösungen der Gleichung
R2 (und damit auch die von R6 nebst R6' — vergl. § 24, Aufg. 10 und
11) welche bislang nicht erreichbar schien, zu entdecken, oder andern-
falles nachzuweisen, dass die Lösung dieser Aufgabe mittelst dreier
unabhängigen Parameter unmöglich ist, habe ich nun für alle erdenk-
lichen Annahmen der Funktion φ (a, b, c) die Resultante R = 0 auf-
gesucht.

Um die Ergebnisse der Untersuchung übersichtlich angeben zu
können, bemerke ich, dass von den drei Gleichungen x = φ (a, b, c), y =
etc. immer nur die erste wirklich angeführt zu werden braucht, indem
die beiden andern ja durch die cyklische Vertauschung von a, b, c zu-
gleich mit der von x, y, z aus ihr sich auf das leichteste ergeben.

x = b c + a1 (b + c), desgl. aus der x = a b c1 + a1 (b1 + c);

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Nicht vertreten sind die Resultanten:
R2, R2', R6, R6', R8, R8'
[und — wie vorauszusehen gewesen — auch die absurde Resultante
R9 oder 1 = 0 nicht].

Was zunächst die beiden letzteren betrifft, so wird bei ihnen die
Frage nach ihrer symmetrisch allgemeinen Lösung gewissermassen

44*

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[691/0711] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. geben, doch werden diese immer gleich umfassende sein, der Bedeutung nach sich mit einander decken. In der Absicht, die symmetrisch allgemeinen Lösungen der Gleichung R2 (und damit auch die von R6 nebst R6' — vergl. § 24, Aufg. 10 und 11) welche bislang nicht erreichbar schien, zu entdecken, oder andern- falles nachzuweisen, dass die Lösung dieser Aufgabe mittelst dreier unabhängigen Parameter unmöglich ist, habe ich nun für alle erdenk- lichen Annahmen der Funktion φ (a, b, c) die Resultante R = 0 auf- gesucht. Um die Ergebnisse der Untersuchung übersichtlich angeben zu können, bemerke ich, dass von den drei Gleichungen x = φ (a, b, c), y = etc. immer nur die erste wirklich angeführt zu werden braucht, indem die beiden andern ja durch die cyklische Vertauschung von a, b, c zu- gleich mit der von x, y, z aus ihr sich auf das leichteste ergeben. Was die Untersuchung herausstellte, können wir hiernach dahin zusammenfassen. Es ergibt sich als Resultante der Elimination von a, b, c: R0 aus der Annahme x = a, desgleichen aus der x = a b + a1c, des- gleichen aus der Annahme x = b c + a1 (b + c), desgl. aus der x = a b c1 + a1 (b1 + c); R1 aus x = a1 (b + c), x = b c1 + a b1 c; R1' aus x = a1 + b c, a b c1 + b c + b1 c1; R3' aus x = b c, a + b c, a (b + c1), a (b c + b1 c1), a b1 c1 + b c, a b c + b1 c1, a b1 c1 + a1 (b + c), a b1 c1 + a1 (b + c) + b c; R3' aus x = b + c, a (b + c), a + b c1, a + b c1 + b1 c, a b c + b c1 + b1 c, a1 b c + b c1 + b1 c, a b c + a1 (b1 + c1), a b c + a1 (b c1 + b1 c); R4 aus x = b c1, a1 b c, a b1 c1 + a1 b c; R4' aus x = b + c1, a1 + b + c, (a + b1 + c1) (a1 + b + c); R5 aus x = b c1 + b1 c, a (b c1 + b1 c), a b1 + a1 c; R5' aus x = b c + b1 c1, a + b c + b1 c1, a b + a1 c1; R7 aus x = a b c, a b c + a1 b1 c1, a1 b c + a b1 c + a b c1, b c + c a + a b und a(b c + b1 c1) + a1 (b c1 + b1 c), a + b + c, (a + b + c) (a1 + b1 + c1), a b + a c + b c + a1 b1 c1. Nicht vertreten sind die Resultanten: R2, R2', R6, R6', R8, R8' [und — wie vorauszusehen gewesen — auch die absurde Resultante R9 oder 1 = 0 nicht]. Was zunächst die beiden letzteren betrifft, so wird bei ihnen die Frage nach ihrer symmetrisch allgemeinen Lösung gewissermassen 44*

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 691. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/711>, abgerufen am 01.05.2024.

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