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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
a c b l1 = a c b, a c b1 l = a c l,
a c1 b l = a b l, a1 c b l = c b l,

wie man leicht nach dem Vorbild:
a1 c b l = 0 + a1 c b l = a c b l + a1 c b l = (a + a1) c b l = i · c b l = c b l
auch für die übrigen beweist.

Demnach fallen nur noch in Betracht die 11 Quaternen:
z)

a c b1 l1a1 c b1 l1
a c1 b l1a1 c b l1a1 c1 b l1
a c1 b1 la1 c b1 la1 c1 b1 l
a c1 b1 l1a1 c1 b la1 c1 b1 l1.

Mehr wie vier Faktoren, entnommen aus der Gruppe der acht
primitiven Propositionen: a, c, b, l, a1, c1, b1, l1, können nicht zu einem
Produkt zusammengefasst werden, ohne dass sich einer von den vier
Buchstaben zweimal vertreten findet, infolge welchen Umstandes aber,
wie vorhin ausgeführt, das Produkt dann verschwinden müsste.

Wir haben also die möglichen Produkte von De Morgan'schen
Propositionen mit Vorstehendem erschöpft.

Unter x), y) und z) ergaben sich 14 + 16 + 11 = 41 neue Pro-
positionen, die wir als "abgeleitete Beziehungen" zu bezeichnen haben
werden. Sind diese nun aber auch wirklich zulässig, und sind sie
sämtlich unter sich und von den früheren verschieden?

Auf diese Fragen erlangen wir Antwort, indem wir zuvörderst
die hinzugekommenen Produkte sämtlich in die 5 Elementarfächer
zerfällen. Zu dem Ende braucht man nur die Tafel zu benutzen,
welche gewisse Teile aus den Tafeln III0 und XIII0 hervorhebend
zusammenfasst:
XVIII0. Zerfällung der Unionen von De Morgan's
Propositionen
.

a = a, c = h + g + d, b = k + b + d, l = l a + l a + m b + n g + m n d,
a1 = a + b + g + d, c1 = h1 a + a + b, b1 = k1 a + a + g, l1 = l1 a + l1 a + m1 b + n1 g + m1 n1 d.
[Man beachte hiezu, dass h, = h a, und k, = k a, in das Fach a
fallen, und dass:
i = a + a + b + g + d.]
Die Anwendung dieser Tafeln wird eine blosse Multiplikationsübung
sein, erleichtert durch den Prozess des Übereinanderschiebens.

§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
a c b l1 = a c b, a c b1 l = a c l,
a c1 b l = a b l, a1 c b l = c b l,

wie man leicht nach dem Vorbild:
a1 c b l = 0 + a1 c b l = a c b l + a1 c b l = (a + a1) c b l = i · c b l = c b l
auch für die übrigen beweist.

Demnach fallen nur noch in Betracht die 11 Quaternen:
z)

a c b1 l1a1 c b1 l1
a c1 b l1a1 c b l1a1 c1 b l1
a c1 b1 la1 c b1 la1 c1 b1 l
a c1 b1 l1a1 c1 b la1 c1 b1 l1.

Mehr wie vier Faktoren, entnommen aus der Gruppe der acht
primitiven Propositionen: a, c, b, l, a1, c1, b1, l1, können nicht zu einem
Produkt zusammengefasst werden, ohne dass sich einer von den vier
Buchstaben zweimal vertreten findet, infolge welchen Umstandes aber,
wie vorhin ausgeführt, das Produkt dann verschwinden müsste.

Wir haben also die möglichen Produkte von De Morgan’schen
Propositionen mit Vorstehendem erschöpft.

Unter x), y) und z) ergaben sich 14 + 16 + 11 = 41 neue Pro-
positionen, die wir als „abgeleitete Beziehungen“ zu bezeichnen haben
werden. Sind diese nun aber auch wirklich zulässig, und sind sie
sämtlich unter sich und von den früheren verschieden?

Auf diese Fragen erlangen wir Antwort, indem wir zuvörderst
die hinzugekommenen Produkte sämtlich in die 5 Elementarfächer
zerfällen. Zu dem Ende braucht man nur die Tafel zu benutzen,
welche gewisse Teile aus den Tafeln III0 und XIII0 hervorhebend
zusammenfasst:
XVIII0. Zerfällung der Unionen von De Morgan’s
Propositionen
.

a = a, c = h + γ + δ, b = k + β + δ, l = l a + l a + m β + n γ + m n δ,
a1 = α + β + γ + δ, c1 = h1 a + α + β, b1 = k1 a + α + γ, l1 = l1 a + l1 a + m1 β + n1 γ + m1 n1 δ.
[Man beachte hiezu, dass h, = h a, und k, = k a, in das Fach a
fallen, und dass:
i = a + α + β + γ + δ.]
Die Anwendung dieser Tafeln wird eine blosse Multiplikationsübung
sein, erleichtert durch den Prozess des Übereinanderschiebens.

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[141/0165] § 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt. a c b l1 = a c b, a c b1 l = a c l, a c1 b l = a b l, a1 c b l = c b l, wie man leicht nach dem Vorbild: a1 c b l = 0 + a1 c b l = a c b l + a1 c b l = (a + a1) c b l = i · c b l = c b l auch für die übrigen beweist. Demnach fallen nur noch in Betracht die 11 Quaternen: z) a c b1 l1 a1 c b1 l1 a c1 b l1 a1 c b l1 a1 c1 b l1 a c1 b1 l a1 c b1 l a1 c1 b1 l a c1 b1 l1 a1 c1 b l a1 c1 b1 l1. Mehr wie vier Faktoren, entnommen aus der Gruppe der acht primitiven Propositionen: a, c, b, l, a1, c1, b1, l1, können nicht zu einem Produkt zusammengefasst werden, ohne dass sich einer von den vier Buchstaben zweimal vertreten findet, infolge welchen Umstandes aber, wie vorhin ausgeführt, das Produkt dann verschwinden müsste. Wir haben also die möglichen Produkte von De Morgan’schen Propositionen mit Vorstehendem erschöpft. Unter x), y) und z) ergaben sich 14 + 16 + 11 = 41 neue Pro- positionen, die wir als „abgeleitete Beziehungen“ zu bezeichnen haben werden. Sind diese nun aber auch wirklich zulässig, und sind sie sämtlich unter sich und von den früheren verschieden? Auf diese Fragen erlangen wir Antwort, indem wir zuvörderst die hinzugekommenen Produkte sämtlich in die 5 Elementarfächer zerfällen. Zu dem Ende braucht man nur die Tafel zu benutzen, welche gewisse Teile aus den Tafeln III0 und XIII0 hervorhebend zusammenfasst: XVIII0. Zerfällung der Unionen von De Morgan’s Propositionen. a = a, c = h + γ + δ, b = k + β + δ, l = l a + l a + m β + n γ + m n δ, a1 = α + β + γ + δ, c1 = h1 a + α + β, b1 = k1 a + α + γ, l1 = l1 a + l1 a + m1 β + n1 γ + m1 n1 δ. [Man beachte hiezu, dass h, = h a, und k, = k a, in das Fach a fallen, und dass: i = a + α + β + γ + δ.] Die Anwendung dieser Tafeln wird eine blosse Multiplikationsübung sein, erleichtert durch den Prozess des Übereinanderschiebens.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 141. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/165>, abgerufen am 30.05.2024.