§ 41. Bemerkung, das Auflösungsproblem betreffend.
Behufs Herstellung der Resultante unterdrücke man erstens in den Boole'schen Faktoraussagen, welche rechts auf 1 gebrachte Glei- chungen sind, die sämtlichen Konstituenten (nachdem diejenigen Koeffi- zienten, welche etwa gleich 1 waren, ausdrücklich als solche angeschrieben worden), und zweitens ersetze man in denjenigen Faktor- aussagen, welche rechts auf 0 gebrachte Ungleichungen sind, jeden Konstituenten durch denjenigen Koeffizienten, welchen das mit dem vor- liegenden gleichnamige Glied der zugehörigen Boole'schen Faktoraussage besass.
Die also gewonnene rohe Resultante ist wieder eine berechtigte Konklusion aus der Prämissenaussage; sie muss sicher gelten, wenn für irgendwelche Wertsysteme -- auch nur für ein gewisses Wert- system -- der Eliminanden die Prämissen Gültigkeit haben. Dagegen gewährt ihr Erfülltsein noch nicht die Garantie, dass es unter allen (sonst dabei noch zulässigen) Umständen auch ein Wertsystem der Eliminanden geben müsse, welches die Prämissen wahr macht. --
Wir konnten in der Entwickelung unsrer Disziplin des identischen Kalkuls zwei Etappen unterscheiden. Auf der ersten Etappe mit § 27 angelangt, ist sie nur erst im stande solche Probleme zu lösen, in deren Daten und Solutionen lediglich universale Urteile in Betracht kommen. Bis dahin operirt die Disziplin immer nur mit Subsumtions- und Gleichheitszeichen, und das allgemeinste bei dieser Einschränkung erdenkliche Problem löst unsre Theorie vermittelst des Theoremes 49+) oder 50+), welches als das Haupttheorem der ersten Etappe zu be- zeichnen ist -- im Wesentlichen schon von Boole gegeben.
Um auch die Behandlung von Problemen in ihr Bereich zu ziehen, sich zugänglich zu machen, bei denen partikulare Urteile mit in Be- tracht kommen, und sich damit zur zweiten Etappe zu erheben, war die Disziplin genötigt, den früheren Beziehungszeichen noch das Un- gleichheitszeichen (oder auch das verneinte Subsumtionszeichen) zuzu- gesellen. Als das Haupttheorem auf dieser Etappe erscheint uns dann die Folgerung von s) aus a), oder das Theorem t) resp. ph).
Freilich löst dasselbe nur mehr die eine von den beiden auf der vorigen Etappe durch Th. 49+) resp. 50+) gelösten Aufgaben; es leistet nur die Elimination des x aus a) -- lässt dagegen die Frage nach der "Berechnung" des x oder die Aufgabe, "die Aussage a) nach der Unbekannten x aufzulösen" beiseite. Unter solcher "Auflösung" würde strictissime zu verstehen sein: die Angabe aller derjenigen Gebiete oder Klassen x (ausgedrückt in Form einer Gleichung die links x iso-
§ 41. Bemerkung, das Auflösungsproblem betreffend.
Behufs Herstellung der Resultante unterdrücke man erstens in den Boole’schen Faktoraussagen, welche rechts auf 1 gebrachte Glei- chungen sind, die sämtlichen Konstituenten (nachdem diejenigen Koeffi- zienten, welche etwa gleich 1 waren, ausdrücklich als solche angeschrieben worden), und zweitens ersetze man in denjenigen Faktor- aussagen, welche rechts auf 0 gebrachte Ungleichungen sind, jeden Konstituenten durch denjenigen Koeffizienten, welchen das mit dem vor- liegenden gleichnamige Glied der zugehörigen Boole’schen Faktoraussage besass.
Die also gewonnene rohe Resultante ist wieder eine berechtigte Konklusion aus der Prämissenaussage; sie muss sicher gelten, wenn für irgendwelche Wertsysteme — auch nur für ein gewisses Wert- system — der Eliminanden die Prämissen Gültigkeit haben. Dagegen gewährt ihr Erfülltsein noch nicht die Garantie, dass es unter allen (sonst dabei noch zulässigen) Umständen auch ein Wertsystem der Eliminanden geben müsse, welches die Prämissen wahr macht. —
Wir konnten in der Entwickelung unsrer Disziplin des identischen Kalkuls zwei Etappen unterscheiden. Auf der ersten Etappe mit § 27 angelangt, ist sie nur erst im stande solche Probleme zu lösen, in deren Daten und Solutionen lediglich universale Urteile in Betracht kommen. Bis dahin operirt die Disziplin immer nur mit Subsumtions- und Gleichheitszeichen, und das allgemeinste bei dieser Einschränkung erdenkliche Problem löst unsre Theorie vermittelst des Theoremes 49+) oder 50+), welches als das Haupttheorem der ersten Etappe zu be- zeichnen ist — im Wesentlichen schon von Boole gegeben.
Um auch die Behandlung von Problemen in ihr Bereich zu ziehen, sich zugänglich zu machen, bei denen partikulare Urteile mit in Be- tracht kommen, und sich damit zur zweiten Etappe zu erheben, war die Disziplin genötigt, den früheren Beziehungszeichen noch das Un- gleichheitszeichen (oder auch das verneinte Subsumtionszeichen) zuzu- gesellen. Als das Haupttheorem auf dieser Etappe erscheint uns dann die Folgerung von σ) aus α), oder das Theorem τ) resp. φ).
Freilich löst dasselbe nur mehr die eine von den beiden auf der vorigen Etappe durch Th. 49+) resp. 50+) gelösten Aufgaben; es leistet nur die Elimination des x aus α) — lässt dagegen die Frage nach der „Berechnung“ des x oder die Aufgabe, „die Aussage α) nach der Unbekannten x aufzulösen“ beiseite. Unter solcher „Auflösung“ würde strictissime zu verstehen sein: die Angabe aller derjenigen Gebiete oder Klassen x (ausgedrückt in Form einer Gleichung die links x iso-
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§ 41. Bemerkung, das Auflösungsproblem betreffend.
Behufs Herstellung der Resultante unterdrücke man erstens in den
Boole’schen Faktoraussagen, welche rechts auf 1 gebrachte Glei-
chungen sind, die sämtlichen Konstituenten (nachdem diejenigen Koeffi-
zienten, welche etwa gleich 1 waren, ausdrücklich als solche
angeschrieben worden), und zweitens ersetze man in denjenigen Faktor-
aussagen, welche rechts auf 0 gebrachte Ungleichungen sind, jeden
Konstituenten durch denjenigen Koeffizienten, welchen das mit dem vor-
liegenden gleichnamige Glied der zugehörigen Boole’schen Faktoraussage
besass.
Die also gewonnene rohe Resultante ist wieder eine berechtigte
Konklusion aus der Prämissenaussage; sie muss sicher gelten, wenn
für irgendwelche Wertsysteme — auch nur für ein gewisses Wert-
system — der Eliminanden die Prämissen Gültigkeit haben. Dagegen
gewährt ihr Erfülltsein noch nicht die Garantie, dass es unter allen
(sonst dabei noch zulässigen) Umständen auch ein Wertsystem der
Eliminanden geben müsse, welches die Prämissen wahr macht. —
Wir konnten in der Entwickelung unsrer Disziplin des identischen
Kalkuls zwei Etappen unterscheiden. Auf der ersten Etappe mit § 27
angelangt, ist sie nur erst im stande solche Probleme zu lösen, in
deren Daten und Solutionen lediglich universale Urteile in Betracht
kommen. Bis dahin operirt die Disziplin immer nur mit Subsumtions-
und Gleichheitszeichen, und das allgemeinste bei dieser Einschränkung
erdenkliche Problem löst unsre Theorie vermittelst des Theoremes 49+)
oder 50+), welches als das Haupttheorem der ersten Etappe zu be-
zeichnen ist — im Wesentlichen schon von Boole gegeben.
Um auch die Behandlung von Problemen in ihr Bereich zu ziehen,
sich zugänglich zu machen, bei denen partikulare Urteile mit in Be-
tracht kommen, und sich damit zur zweiten Etappe zu erheben, war
die Disziplin genötigt, den früheren Beziehungszeichen noch das Un-
gleichheitszeichen (oder auch das verneinte Subsumtionszeichen) zuzu-
gesellen. Als das Haupttheorem auf dieser Etappe erscheint uns dann
die Folgerung von σ) aus α), oder das Theorem τ) resp. φ).
Freilich löst dasselbe nur mehr die eine von den beiden auf der
vorigen Etappe durch Th. 49+) resp. 50+) gelösten Aufgaben; es leistet
nur die Elimination des x aus α) — lässt dagegen die Frage nach
der „Berechnung“ des x oder die Aufgabe, „die Aussage α) nach der
Unbekannten x aufzulösen“ beiseite. Unter solcher „Auflösung“ würde
strictissime zu verstehen sein: die Angabe aller derjenigen Gebiete
oder Klassen x (ausgedrückt in Form einer Gleichung die links x iso-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 215. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/239>, abgerufen am 29.04.2024.
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