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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Zwanzigste Vorlesung.

derart, dass wieder die drei untereinanderstehenden wesentlich nur ein-
unddenselben (falschen) Satz der Elimination zum Ausdruck bringen,
der sich aber unterscheidet von dem des isolirten Modus.

Die Unrichtigkeit der drei erstern lässt sich auf zwei Wegen dar-
thun. Einmal durch Exemplifikation, wie wir dies am Schlusse des
§ 42 bezüglich Darapti schon zeigten. Sodann: indem man den Mittel-
term b regelrecht aus den Prämissen eliminirt. Man findet alsdann:
0 = 0 als Eliminationsresultante, und da diese bereits als vollständig
erwiesen ist [indem bei der Elimination nur das Th. 50+) in's Spiel
kommt], so folgt also keine Relation zwischen den beiden andern
Termen.

In der That heissen bei Darapti a1 b = 0 und b c1 = 0 die beiden
Prämissen; es ist (a1 + c1) b + 0 · b1 = 0 die vereinigte Gleichung derselben,
also (a1 + c1) · 0 = 0 oder 0 = 0 die (volle) Resultante der Elimination von b.

Bei Felapton und Fesapo tritt nur c für c1 ein. Hier haben wir also
die Elimination:
(a1 b = 0) (b c = 0) = {(a1 + c) b = 0} (0 = 0)
und unterscheiden beide Modi sich überhaupt nur dadurch, dass der Ober-
satz b c = 0 bei ersterm als b c1, bei letzterm als c b1 in Worte ge-
kleidet wird.

Im Hinblick auf die(se) Koincidenz der drei genannten Modi ge-
nügt es, nur mehr den ersten derselben, Darapti, noch richtig zu
stellen. Wir haben schon bei der Exemplifikation darauf hingewiesen,
dass, um ihn zu ergänzen, die Annahme b 0 den Prämissen noch
hinzugefügt werden muss. Der Schluss
a) (b a) (b c) (b 0) (a c 0)
oder
b) (a1 b = 0) (b c1 = 0) (b 0) (a c 0)
ist dann richtig, und lässt sich durch Elimination von b aus der
Aussage:
{(a1 + c1) b + 0 · b1 = 0} {1 · b + 0 · b1 0}
gemäss der Regel i) des § 41 beweisen, welche als Resultante liefert:
{(a1 + c1) · 0 = 0} · {1 · (a1 + c1)1 + 0 · 01 0} = (0 = 0) (1 · a c + 0 · 1 0)
oder (a c 0) -- in Anbetracht, dass der Faktor (0 = 0), = i nicht
geschrieben zu werden braucht. Wie man sieht, stellt die Konklusion,
d. h. der Satz "Einige a sind c" dann auch die volle Resultante der
Elimination des b aus den Prämissen dar.

Ebenso wären:

Zwanzigste Vorlesung.

derart, dass wieder die drei untereinanderstehenden wesentlich nur ein-
unddenselben (falschen) Satz der Elimination zum Ausdruck bringen,
der sich aber unterscheidet von dem des isolirten Modus.

Die Unrichtigkeit der drei erstern lässt sich auf zwei Wegen dar-
thun. Einmal durch Exemplifikation, wie wir dies am Schlusse des
§ 42 bezüglich Darapti schon zeigten. Sodann: indem man den Mittel-
term b regelrecht aus den Prämissen eliminirt. Man findet alsdann:
0 = 0 als Eliminationsresultante, und da diese bereits als vollständig
erwiesen ist [indem bei der Elimination nur das Th. 50+) in’s Spiel
kommt], so folgt also keine Relation zwischen den beiden andern
Termen.

In der That heissen bei Darapti a1 b = 0 und b c1 = 0 die beiden
Prämissen; es ist (a1 + c1) b + 0 · b1 = 0 die vereinigte Gleichung derselben,
also (a1 + c1) · 0 = 0 oder 0 = 0 die (volle) Resultante der Elimination von b.

Bei Felapton und Fesapo tritt nur c für c1 ein. Hier haben wir also
die Elimination:
(a1 b = 0) (b c = 0) = {(a1 + c) b = 0} ⊆ (0 = 0)
und unterscheiden beide Modi sich überhaupt nur dadurch, dass der Ober-
satz b c = 0 bei ersterm als b ⊆ c1, bei letzterm als c ⊆ b1 in Worte ge-
kleidet wird.

Im Hinblick auf die(se) Koincidenz der drei genannten Modi ge-
nügt es, nur mehr den ersten derselben, Darapti, noch richtig zu
stellen. Wir haben schon bei der Exemplifikation darauf hingewiesen,
dass, um ihn zu ergänzen, die Annahme b ≠ 0 den Prämissen noch
hinzugefügt werden muss. Der Schluss
α) (b ⊆ a) (b ⊆ c) (b ≠ 0) ⊆ (a c ≠ 0)
oder
β) (a1 b = 0) (b c1 = 0) (b ≠ 0) ⊆ (a c ≠ 0)
ist dann richtig, und lässt sich durch Elimination von b aus der
Aussage:
{(a1 + c1) b + 0 · b1 = 0} {1 · b + 0 · b1 ≠ 0}
gemäss der Regel ι) des § 41 beweisen, welche als Resultante liefert:
{(a1 + c1) · 0 = 0} · {1 · (a1 + c1)1 + 0 · 01 ≠ 0} = (0 = 0) (1 · a c + 0 · 1 ≠ 0)
oder (a c ≠ 0) — in Anbetracht, dass der Faktor (0 = 0), = i nicht
geschrieben zu werden braucht. Wie man sieht, stellt die Konklusion,
d. h. der Satz „Einige a sind c“ dann auch die volle Resultante der
Elimination des b aus den Prämissen dar.

Ebenso wären:

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[240/0264] Zwanzigste Vorlesung. derart, dass wieder die drei untereinanderstehenden wesentlich nur ein- unddenselben (falschen) Satz der Elimination zum Ausdruck bringen, der sich aber unterscheidet von dem des isolirten Modus. Die Unrichtigkeit der drei erstern lässt sich auf zwei Wegen dar- thun. Einmal durch Exemplifikation, wie wir dies am Schlusse des § 42 bezüglich Darapti schon zeigten. Sodann: indem man den Mittel- term b regelrecht aus den Prämissen eliminirt. Man findet alsdann: 0 = 0 als Eliminationsresultante, und da diese bereits als vollständig erwiesen ist [indem bei der Elimination nur das Th. 50+) in’s Spiel kommt], so folgt also keine Relation zwischen den beiden andern Termen. In der That heissen bei Darapti a1 b = 0 und b c1 = 0 die beiden Prämissen; es ist (a1 + c1) b + 0 · b1 = 0 die vereinigte Gleichung derselben, also (a1 + c1) · 0 = 0 oder 0 = 0 die (volle) Resultante der Elimination von b. Bei Felapton und Fesapo tritt nur c für c1 ein. Hier haben wir also die Elimination: (a1 b = 0) (b c = 0) = {(a1 + c) b = 0}  (0 = 0) und unterscheiden beide Modi sich überhaupt nur dadurch, dass der Ober- satz b c = 0 bei ersterm als b  c1, bei letzterm als c  b1 in Worte ge- kleidet wird. Im Hinblick auf die(se) Koincidenz der drei genannten Modi ge- nügt es, nur mehr den ersten derselben, Darapti, noch richtig zu stellen. Wir haben schon bei der Exemplifikation darauf hingewiesen, dass, um ihn zu ergänzen, die Annahme b ≠ 0 den Prämissen noch hinzugefügt werden muss. Der Schluss α) (b  a) (b  c) (b ≠ 0)  (a c ≠ 0) oder β) (a1 b = 0) (b c1 = 0) (b ≠ 0)  (a c ≠ 0) ist dann richtig, und lässt sich durch Elimination von b aus der Aussage: {(a1 + c1) b + 0 · b1 = 0} {1 · b + 0 · b1 ≠ 0} gemäss der Regel ι) des § 41 beweisen, welche als Resultante liefert: {(a1 + c1) · 0 = 0} · {1 · (a1 + c1)1 + 0 · 01 ≠ 0} = (0 = 0) (1 · a c + 0 · 1 ≠ 0) oder (a c ≠ 0) — in Anbetracht, dass der Faktor (0 = 0), = i nicht geschrieben zu werden braucht. Wie man sieht, stellt die Konklusion, d. h. der Satz „Einige a sind c“ dann auch die volle Resultante der Elimination des b aus den Prämissen dar. Ebenso wären:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 240. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/264>, abgerufen am 26.04.2024.