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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Dreiundzwanzigste Vorlesung.
mitteln diejenige zwischen den Parametern a, b, q, r, s, ... von 10)
erforderliche Beziehung, welche erstens, sobald 10) für irgendwelches
x gilt, notwendig erfüllt sein muss, und zweitens garantirt, dass so-
bald sie erfüllt ist, es auch immer mindestens ein x gebe, für welches
10) gilt.

Nennen wir diese uns noch unbekannte volle Resultante für den
Augenblick: 30), so ist sie in der Formelsprache begrifflich bestimmt
durch die beiden Forderungen:
10) 30) und 30) [Formel 1] 10),
wo die Summe rechts auszudehnen ist über alle erdenklichen x.

Aus den zwei ersten der drei Subsumtionen über die wir jetzt
verfügen, folgt aber nach Def. (3x) die erstere von den beiden folgenden:
10) 20) · 30), 20) · 30) [Formel 2] 10),
deren letztere aus der dritten kraft Prinzip II hervorgeht, in Anbe-
tracht, dass nach Th. 6nx) ja 20) · 30) 30) sein muss.

Vergleicht man aber diese beiden Subsumtionen mit den beiden
vorigen, welche uns die volle Resultante 30) definirten, so offenbart
sich, dass man als solche anstatt 30) selbst auch das Aussagenprodukt
20) · 30) nehmen könnte: auch 20) · 30) ist volle Resultante.

In der That lässt auch direkt sich zeigen, dass
20) · 30) = 30), nämlich 30) 20)
sein muss -- vergl. Th. 20x); und zwar wie folgt.

Wir denken uns die erste Subsumtion: 10) 20) für jedes erdenk-
liche x hingeschrieben; sie muss allemal gelten, denn stellt x ein
solches Gebiet vor, welches 10) erfüllt, so gilt sie erwiesenermassen;
stellt x aber ein solches Gebiet vor, welches 10) nicht erfüllt, so wird
für dieses die Aussage 10) gleich 0 sein, somit die Subsumtion 10) 20)
auf 0 20) hinauslaufen und nach Def. (2nx) ohnehin gelten. Also:
die Subsumtion 10) 20) gilt für jedes x, und für alle diese hinge-
schrieben gedacht, hat sie immer den nämlichen Major 20), da in
diesem ja x gar nicht vorkommt. Es lässt sich hiernach das Schema
der Def. (3n+) anwenden; es muss nämlich die Summe der Minoren dem
Major eingeordnet sein, oder wir haben:
[Formel 3] 10) 20).
Im Hinblick auf die dritte unsrer Subsumtionen folgt hieraus a for-
tiori: 30) 20), wie behauptet worden.

Dreiundzwanzigste Vorlesung.
mitteln diejenige zwischen den Parametern a, b, q, r, s, … von 10)
erforderliche Beziehung, welche erstens, sobald 10) für irgendwelches
x gilt, notwendig erfüllt sein muss, und zweitens garantirt, dass so-
bald sie erfüllt ist, es auch immer mindestens ein x gebe, für welches
10) gilt.

Nennen wir diese uns noch unbekannte volle Resultante für den
Augenblick: 30), so ist sie in der Formelsprache begrifflich bestimmt
durch die beiden Forderungen:
10) ⊆ 30) und 30) ⊆ [Formel 1] 10),
wo die Summe rechts auszudehnen ist über alle erdenklichen x.

Aus den zwei ersten der drei Subsumtionen über die wir jetzt
verfügen, folgt aber nach Def. (3×) die erstere von den beiden folgenden:
10) ⊆ 20) · 30), 20) · 30) ⊆ [Formel 2] 10),
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tracht, dass nach Th. 6̄×) ja 20) · 30) ⊆ 30) sein muss.

Vergleicht man aber diese beiden Subsumtionen mit den beiden
vorigen, welche uns die volle Resultante 30) definirten, so offenbart
sich, dass man als solche anstatt 30) selbst auch das Aussagenprodukt
20) · 30) nehmen könnte: auch 20) · 30) ist volle Resultante.

In der That lässt auch direkt sich zeigen, dass
20) · 30) = 30), nämlich 30) ⊆ 20)
sein muss — vergl. Th. 2̅0̅×); und zwar wie folgt.

Wir denken uns die erste Subsumtion: 10) ⊆ 20) für jedes erdenk-
liche x hingeschrieben; sie muss allemal gelten, denn stellt x ein
solches Gebiet vor, welches 10) erfüllt, so gilt sie erwiesenermassen;
stellt x aber ein solches Gebiet vor, welches 10) nicht erfüllt, so wird
für dieses die Aussage 10) gleich 0 sein, somit die Subsumtion 10) ⊆ 20)
auf 0 ⊆ 20) hinauslaufen und nach Def. (2̄×) ohnehin gelten. Also:
die Subsumtion 10) ⊆ 20) gilt für jedes x, und für alle diese hinge-
schrieben gedacht, hat sie immer den nämlichen Major 20), da in
diesem ja x gar nicht vorkommt. Es lässt sich hiernach das Schema
der Def. (3̄+) anwenden; es muss nämlich die Summe der Minoren dem
Major eingeordnet sein, oder wir haben:
[Formel 3] 10) ⊆ 20).
Im Hinblick auf die dritte unsrer Subsumtionen folgt hieraus a for-
tiori: 30) ⊆ 20), wie behauptet worden.

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[372/0396] Dreiundzwanzigste Vorlesung. mitteln diejenige zwischen den Parametern a, b, q, r, s, … von 10) erforderliche Beziehung, welche erstens, sobald 10) für irgendwelches x gilt, notwendig erfüllt sein muss, und zweitens garantirt, dass so- bald sie erfüllt ist, es auch immer mindestens ein x gebe, für welches 10) gilt. Nennen wir diese uns noch unbekannte volle Resultante für den Augenblick: 30), so ist sie in der Formelsprache begrifflich bestimmt durch die beiden Forderungen: 10)  30) und 30)  [FORMEL] 10), wo die Summe rechts auszudehnen ist über alle erdenklichen x. Aus den zwei ersten der drei Subsumtionen über die wir jetzt verfügen, folgt aber nach Def. (3×) die erstere von den beiden folgenden: 10)  20) · 30), 20) · 30)  [FORMEL] 10), deren letztere aus der dritten kraft Prinzip II hervorgeht, in Anbe- tracht, dass nach Th. 6̄×) ja 20) · 30)  30) sein muss. Vergleicht man aber diese beiden Subsumtionen mit den beiden vorigen, welche uns die volle Resultante 30) definirten, so offenbart sich, dass man als solche anstatt 30) selbst auch das Aussagenprodukt 20) · 30) nehmen könnte: auch 20) · 30) ist volle Resultante. In der That lässt auch direkt sich zeigen, dass 20) · 30) = 30), nämlich 30)  20) sein muss — vergl. Th. 2̅0̅×); und zwar wie folgt. Wir denken uns die erste Subsumtion: 10)  20) für jedes erdenk- liche x hingeschrieben; sie muss allemal gelten, denn stellt x ein solches Gebiet vor, welches 10) erfüllt, so gilt sie erwiesenermassen; stellt x aber ein solches Gebiet vor, welches 10) nicht erfüllt, so wird für dieses die Aussage 10) gleich 0 sein, somit die Subsumtion 10)  20) auf 0  20) hinauslaufen und nach Def. (2̄×) ohnehin gelten. Also: die Subsumtion 10)  20) gilt für jedes x, und für alle diese hinge- schrieben gedacht, hat sie immer den nämlichen Major 20), da in diesem ja x gar nicht vorkommt. Es lässt sich hiernach das Schema der Def. (3̄+) anwenden; es muss nämlich die Summe der Minoren dem Major eingeordnet sein, oder wir haben: [FORMEL] 10)  20). Im Hinblick auf die dritte unsrer Subsumtionen folgt hieraus a for- tiori: 30)  20), wie behauptet worden.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 372. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/396>, abgerufen am 26.04.2024.