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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Siebenundzwanzigste Vorlesung.
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften
im identischen Kalkul.

a) Der identische Kalkul ist vorzüglich geeignet, um zu jedem
erdenklichen Kalkul ein Substrat zu liefern, sofern dessen direkte
Operationen eindeutige, aber nicht eindeutig umkehrbare sein sollen.

Irgend eine Funktion f (x, y) zweier Argumente wollen wir als
eine Knüpfung zwischen ebendiesen in's Auge fassen und mit x y
bezeichnen. Dann ist nach dem Boole'schen Fundamentalsatze (Bd. 1,
S. 415):

a1)
x y = p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1,
x y = p1 x y + q1 x y1 + r1 x1 y + s1 x1 y1,
wenn wir uns in diesem einen Fall auch einmal des horizontalen Ne-
gationsstriches bedienen.

Die Knüpfung heisse auch "symbolische Multiplikation".

Die inversen Operationen zu dieser sind zu definiren durch die
Gleichungen:

a2)
(x b = a) = (x [Formel 1] ),
(b x = a) = (x a b),
wonach denn unter dem "symbolischen Bruch" [Formel 2] resp. unter dem "sym-
bolischen Verhältniss
" a b die allgemeinste Lösung der Gleichung
linkerhand zu verstehen sein wird; falls diese Gleichung nicht auflösbar
sein sollte, hat der betreffende Ausdruck als sinnlos, = infinity, zu gelten.

Die Gleichung x b = a, rechts auf 0 gebracht und geordnet,
gibt A x + B x1 = 0, nämlich:
(p1 a b + q1 a b1 + p a1 b + q a1 b1) x + (r1 a b + s1 a b1 + r a1 b + s a1 b1) x1 = 0
und hat zur Resultante nach x, in Gestalt von A B = 0:
p1 r1 a b + q1 s1 a b1 + p r a1 b + q s a1 b1 = 0,
und zur Lösung x = B u1 + A1 u bei arbiträrem u:
[Formel 3] = x = (r1 u1 + p u) a b + (s1 u1 + q u) a b1 + (r u1 + p1 u) a1 b + (s u1 + q1 u) a1 b1.

Siebenundzwanzigste Vorlesung.
§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften
im identischen Kalkul.

α) Der identische Kalkul ist vorzüglich geeignet, um zu jedem
erdenklichen Kalkul ein Substrat zu liefern, sofern dessen direkte
Operationen eindeutige, aber nicht eindeutig umkehrbare sein sollen.

Irgend eine Funktion f (x, y) zweier Argumente wollen wir als
eine Knüpfung zwischen ebendiesen in’s Auge fassen und mit xy
bezeichnen. Dann ist nach dem Boole’schen Fundamentalsatze (Bd. 1,
S. 415):

α1)
xy = p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1,
∘̅ = p1 x y + q1 x y1 + r1 x1 y + s1 x1 y1,
wenn wir uns in diesem einen Fall auch einmal des horizontalen Ne-
gationsstriches bedienen.

Die Knüpfung heisse auch „symbolische Multiplikation“.

Die inversen Operationen zu dieser sind zu definiren durch die
Gleichungen:

α2)
(xb = a) = (x [Formel 1] ),
(bx = a) = (x ab),
wonach denn unter dem „symbolischen Bruch [Formel 2] resp. unter dem „sym-
bolischen Verhältniss
ab die allgemeinste Lösung der Gleichung
linkerhand zu verstehen sein wird; falls diese Gleichung nicht auflösbar
sein sollte, hat der betreffende Ausdruck als sinnlos, = ∞, zu gelten.

Die Gleichung xb = a, rechts auf 0 gebracht und geordnet,
gibt A x + B x1 = 0, nämlich:
(p1 a b + q1 a b1 + p a1 b + q a1 b1) x + (r1 a b + s1 a b1 + r a1 b + s a1 b1) x1 = 0
und hat zur Resultante nach x, in Gestalt von A B = 0:
p1 r1 a b + q1 s1 a b1 + p r a1 b + q s a1 b1 = 0,
und zur Lösung x = B u1 + A1 u bei arbiträrem u:
[Formel 3] = x = (r1 u1 + p u) a b + (s1 u1 + q u) a b1 + (r u1 + p1 u) a1 b + (s u1 + q1 u) a1 b1.

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[[493]/0137] Siebenundzwanzigste Vorlesung. § 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften im identischen Kalkul. α) Der identische Kalkul ist vorzüglich geeignet, um zu jedem erdenklichen Kalkul ein Substrat zu liefern, sofern dessen direkte Operationen eindeutige, aber nicht eindeutig umkehrbare sein sollen. Irgend eine Funktion f (x, y) zweier Argumente wollen wir als eine Knüpfung zwischen ebendiesen in’s Auge fassen und mit x ∘ y bezeichnen. Dann ist nach dem Boole’schen Fundamentalsatze (Bd. 1, S. 415): α1)x ∘ y = p x y + q x y1 + r x1 y + s x1 y1, x̅ ∘̅ y̅ = p1 x y + q1 x y1 + r1 x1 y + s1 x1 y1, wenn wir uns in diesem einen Fall auch einmal des horizontalen Ne- gationsstriches bedienen. Die Knüpfung heisse auch „symbolische Multiplikation“. Die inversen Operationen zu dieser sind zu definiren durch die Gleichungen: α2) (x ∘ b = a) = (x [FORMEL]), (b ∘ x = a) = (x a ⦂ b), wonach denn unter dem „symbolischen Bruch“ [FORMEL] resp. unter dem „sym- bolischen Verhältniss“ a ⦂ b die allgemeinste Lösung der Gleichung linkerhand zu verstehen sein wird; falls diese Gleichung nicht auflösbar sein sollte, hat der betreffende Ausdruck als sinnlos, = ∞, zu gelten. Die Gleichung x ∘ b = a, rechts auf 0 gebracht und geordnet, gibt A x + B x1 = 0, nämlich: (p1 a b + q1 a b1 + p a1 b + q a1 b1) x + (r1 a b + s1 a b1 + r a1 b + s a1 b1) x1 = 0 und hat zur Resultante nach x, in Gestalt von A B = 0: p1 r1 a b + q1 s1 a b1 + p r a1 b + q s a1 b1 = 0, und zur Lösung x = B u1 + A1 u bei arbiträrem u: [FORMEL] = x = (r1 u1 + p u) a b + (s1 u1 + q u) a b1 + (r u1 + p1 u) a1 b + (s u1 + q1 u) a1 b1.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. [493]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/137>, abgerufen am 25.06.2022.