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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
Die Substitution dieser Werte in die Doppelgleichungen d2) ergibt die
folgenden:
a + e = a e1 + b e
(b d + b1 d1) e + g e1 = g e1 + d e
(b d1 + b1 d) e + g e1 = g e1 + d1 e
a e1 = a e1 + b1 e,
welche insgesamt auf die eine
d4) b1 e = 0, e b
hinauskommen. Letztere liefert als ihre vereinigte Gleichung
e = z e, b = z + e
und hiernach
p = a + z ep1 = a1 (z1 + e1)q = g (z1 + e1) + d z eq1 = g1 (z1 + e1) + d1 z e
s = a (z1 + e1)s1 = a1 + z er = g (z1 + e1) + d1 z er1 = g1 (z1 + e1) + d z e,
oder wenn nach [Formel 1] jeder der drei Buchstaben der oberen Zeile
durch den darunter stehenden ersetzt wird,
d5
p = a b + eq = (a1 + b1) g + a b dr = (a1 + b1) g + a b d1s = (a1 + b1) e
p1 = (a1 + b1) e1q1 = (a1 + b1) g1 + a b d1r1 = (a1 + b1) g1 + a b ds1 = a b + e1.

Mithin stellt
x y = (a b + e) x y + {(a1 + b1) g + a b d} x y1 +
+ {(a1 + b1) g + a b d1} x1 y + (a1 + b1) e x1 y1
die gesuchte, dem Gesetz d1) unterworfene Knüpfung vor. Dieselbe ist,
wie man sieht, nicht kommutativ, wol aber assoziativ, da die Charakte-
ristik b2) der assoziativen Operationen sich hier als erfüllt erweist.

Um noch die Charakteristik derselben aufzustellen, hat man der-
jenigen d3) der Unabhängigkeit des (a b) (b c) von b nur noch die
Forderung
p1 s = 0
hinzuzufügen (cf. d4); -- oder da p1 s (q r + q1 r1) = 0 bereits in der Un-
abhängigkeitscharakteristik d3) enthalten war, so wird letztere von der
gesuchten blos um den Term p1 s (q r1 + q1 r) übertroffen, welcher = 0
gesetzt den Exzess dieser Charakteristik über jene darstellt. Die ge-
suchte lautet also:
d6) p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) + p s1 (q r + q1 r1) = 0,
wo der letzte Term links den Exzess der vorliegenden über die
Charakteristik b2) der assoziativen Knüpfungen repräsentirt. In Sub-
sumtionenform erhält man aus d6)
(p q r s p q + r + s) (r s q p + r) (q s r p + q).

§ 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften.
Die Substitution dieser Werte in die Doppelgleichungen δ2) ergibt die
folgenden:
α + ε = α ε1 + β ε
(β δ + β1 δ1) ε + γ ε1 = γ ε1 + δ ε
(β δ1 + β1 δ) ε + γ ε1 = γ ε1 + δ1 ε
α ε1 = α ε1 + β1 ε,
welche insgesamt auf die eine
δ4) β1 ε = 0, ε β
hinauskommen. Letztere liefert als ihre vereinigte Gleichung
ε = ζ η, β = ζ + η
und hiernach
p = α + ζ ηp1 = α1 (ζ1 + η1)q = γ (ζ1 + η1) + δ ζ ηq1 = γ1 (ζ1 + η1) + δ1 ζ η
s = α (ζ1 + η1)s1 = α1 + ζ ηr = γ (ζ1 + η1) + δ1 ζ ηr1 = γ1 (ζ1 + η1) + δ ζ η,
oder wenn nach [Formel 1] jeder der drei Buchstaben der oberen Zeile
durch den darunter stehenden ersetzt wird,
δ5
p = α β + εq = (a1 + β1) γ + α β δr = (α1 + β1) γ + α β δ1s = (α1 + β1) ε
p1 = (α1 + β1) ε1q1 = (α1 + β1) γ1 + α β δ1r1 = (α1 + β1) γ1 + α β δs1 = α β + ε1.

Mithin stellt
x ∘ y = (α β + ε) x y + {(α1 + β1) γ + α β δ} x y1 +
+ {(α1 + β1) γ + α β δ1} x1 y + (α1 + β1) ε x1 y1
die gesuchte, dem Gesetz δ1) unterworfene Knüpfung vor. Dieselbe ist,
wie man sieht, nicht kommutativ, wol aber assoziativ, da die Charakte-
ristik β2) der assoziativen Operationen sich hier als erfüllt erweist.

Um noch die Charakteristik derselben aufzustellen, hat man der-
jenigen δ3) der Unabhängigkeit des (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) von b nur noch die
Forderung
p1 s = 0
hinzuzufügen (cf. δ4); — oder da p1 s (q r + q1 r1) = 0 bereits in der Un-
abhängigkeitscharakteristik δ3) enthalten war, so wird letztere von der
gesuchten blos um den Term p1 s (q r1 + q1 r) übertroffen, welcher = 0
gesetzt den Exzess dieser Charakteristik über jene darstellt. Die ge-
suchte lautet also:
δ6) p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) + p s1 (q r + q1 r1) = 0,
wo der letzte Term links den Exzess der vorliegenden über die
Charakteristik β2) der assoziativen Knüpfungen repräsentirt. In Sub-
sumtionenform erhält man aus δ6)
(p q r s p q + r + s) (r s q p + r) (q s r p + q).

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[505/0149] § 55. Über Knüpfungen von bestimmten formalen Eigenschaften. Die Substitution dieser Werte in die Doppelgleichungen δ2) ergibt die folgenden: α + ε = α ε1 + β ε (β δ + β1 δ1) ε + γ ε1 = γ ε1 + δ ε (β δ1 + β1 δ) ε + γ ε1 = γ ε1 + δ1 ε α ε1 = α ε1 + β1 ε, welche insgesamt auf die eine δ4) β1 ε = 0, ε β hinauskommen. Letztere liefert als ihre vereinigte Gleichung ε = ζ η, β = ζ + η und hiernach p = α + ζ η p1 = α1 (ζ1 + η1) q = γ (ζ1 + η1) + δ ζ η q1 = γ1 (ζ1 + η1) + δ1 ζ η s = α (ζ1 + η1) s1 = α1 + ζ η r = γ (ζ1 + η1) + δ1 ζ η r1 = γ1 (ζ1 + η1) + δ ζ η, oder wenn nach [FORMEL] jeder der drei Buchstaben der oberen Zeile durch den darunter stehenden ersetzt wird, δ5p = α β + ε q = (a1 + β1) γ + α β δ r = (α1 + β1) γ + α β δ1 s = (α1 + β1) ε p1 = (α1 + β1) ε1 q1 = (α1 + β1) γ1 + α β δ1 r1 = (α1 + β1) γ1 + α β δ s1 = α β + ε1. Mithin stellt x ∘ y = (α β + ε) x y + {(α1 + β1) γ + α β δ} x y1 + + {(α1 + β1) γ + α β δ1} x1 y + (α1 + β1) ε x1 y1 die gesuchte, dem Gesetz δ1) unterworfene Knüpfung vor. Dieselbe ist, wie man sieht, nicht kommutativ, wol aber assoziativ, da die Charakte- ristik β2) der assoziativen Operationen sich hier als erfüllt erweist. Um noch die Charakteristik derselben aufzustellen, hat man der- jenigen δ3) der Unabhängigkeit des (a ∘ b) ∘ (b ∘ c) von b nur noch die Forderung p1 s = 0 hinzuzufügen (cf. δ4); — oder da p1 s (q r + q1 r1) = 0 bereits in der Un- abhängigkeitscharakteristik δ3) enthalten war, so wird letztere von der gesuchten blos um den Term p1 s (q r1 + q1 r) übertroffen, welcher = 0 gesetzt den Exzess dieser Charakteristik über jene darstellt. Die ge- suchte lautet also: δ6) p1 s + (p1 + s) (q r1 + q1 r) + p s1 (q r + q1 r1) = 0, wo der letzte Term links den Exzess der vorliegenden über die Charakteristik β2) der assoziativen Knüpfungen repräsentirt. In Sub- sumtionenform erhält man aus δ6) (p q r s p q + r + s) (r s q p + r) (q s r p + q).

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 505. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/149>, abgerufen am 26.04.2024.