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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
die Grenzen y0 = 0 und y2 = [Formel 1] liefert und ihre Eintragung in die
Tabelle motivirt, weiter:
[Formel 2] die Grenze y1 = -- z beisteuert, endlich:
[Formel 3] ist. Darnach haben wir:
x0, 1, 3, 5 = y0', 2' x1 + y0, 1 x3 + z0' y1', 2 x5
und wird dieses mit z0' x4' durchmultiplizirt, zugleich in jedem Term
auf die x-Aussagen die Regel 3 angewendet, so haben wir:
B1 = z0' {y0', 2' p (x4 -- x1) x4', 1 + y0, 1 p (x4 -- x3) x4', 3 + y1', 2 p (x4 -- x5) x4', 5}
als völlig nach x entwickelt. Es ist aber: p (x4 -- x1) = p (4 a + y)
= (-- 4 a < y) = y3 die an dieser Stelle gewonnene und hier in die
Tabelle einzutragende absolute untere Grenze von y (sofern als Zahl
statt als Aussage gedeutet); ferner p (x4 -- x3) = p (4 a -- [Formel 4] ) = p' (y -- 8 a)
= (y < 8 a) = y4', womit y4 = 8 a als die absolute obere Grenze von y
gewonnen ist, und endlich wird:
p (x4 -- x5) = p (4 a + [Formel 5] ) = p (z + 8 a) = (-- 8 a < z) = z1
die absolute untere Grenze von z einführen. Sodass:
B1 = z0' {y0', 2', 3 x4', 1 + y4', 0, 1 x4', 3 + z1 y1', 2 x4', 5}
nunmehr nach y zu entwickeln bleibt.

Nun ist y0', 2', 3 = y2', 3, weil die Forderung y < 0 durch die y < [Formel 6]
bei z < 0 überflüssig gemacht wird, oder, wenn man es vorzieht, weil
nach den Regeln: y0', 2' = b0' y0' + b2' y2', wo b0' = p' (y0 -- y2) = p' (0 -- [Formel 7] )
= z0 und b2' = p' (y2 -- y0) = z0', also allgemein zwar y0', 2' = z0 y0' + z0' y2',
hier jedoch, unter der Herrschaft des Faktor z0', sich y0', 2' = y2' wird
setzen lassen.

Und y2', 3 kooptirt nach Regel 3 den Faktor: p (y2 -- y3) = p ( [Formel 8] + 4 a)
= p (z + 8 a) = z1, sodass wir y0', 2', 3 = z1 y2', 3 einzusetzen haben.

Weiter ist y4', 0, 1 = y4', 1, weil bei z < 0 die Forderung 0 < y
durch die -- z < y entbehrlich gemacht wird, oder auch, weil nach der
Regel: y0, 1 = b0 y0 + b1 y1, wo b0 = p (y0 -- y1) = p (0 + z) = z0 mit
z0' inkonsistent, b1 = p (y1 -- y0) = p (-- z -- 0) = p' (z) = z0' dessen
tautologische Wiederholung.

35*

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.
die Grenzen y0 = 0 und y2 = [Formel 1] liefert und ihre Eintragung in die
Tabelle motivirt, weiter:
[Formel 2] die Grenze y1 = — z beisteuert, endlich:
[Formel 3] ist. Darnach haben wir:
x0, 1, 3, 5 = y0', 2' x1 + y0, 1 x3 + z0' y1', 2 x5
und wird dieses mit z0' x4' durchmultiplizirt, zugleich in jedem Term
auf die x-Aussagen die Regel 3 angewendet, so haben wir:
B1 = z0' {y0', 2' p (x4 — x1) x4', 1 + y0, 1 p (x4 — x3) x4', 3 + y1', 2 p (x4 — x5) x4', 5}
als völlig nach x entwickelt. Es ist aber: p (x4 — x1) = p (4 a + y)
= (— 4 a < y) = y3 die an dieser Stelle gewonnene und hier in die
Tabelle einzutragende absolute untere Grenze von y (sofern als Zahl
statt als Aussage gedeutet); ferner p (x4 — x3) = p (4 a — [Formel 4] ) = p' (y — 8 a)
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gewonnen ist, und endlich wird:
p (x4 — x5) = p (4 a + [Formel 5] ) = p (z + 8 a) = (— 8 a < z) = z1
die absolute untere Grenze von z einführen. Sodass:
B1 = z0' {y0', 2', 3 x4', 1 + y4', 0, 1 x4', 3 + z1 y1', 2 x4', 5}
nunmehr nach y zu entwickeln bleibt.

Nun ist y0', 2', 3 = y2', 3, weil die Forderung y < 0 durch die y < [Formel 6]
bei z < 0 überflüssig gemacht wird, oder, wenn man es vorzieht, weil
nach den Regeln: y0', 2' = β0' y0' + β2' y2', wo β0' = p' (y0 — y2) = p' (0 — [Formel 7] )
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hier jedoch, unter der Herrschaft des Faktor z0', sich y0', 2' = y2' wird
setzen lassen.

Und y2', 3 kooptirt nach Regel 3 den Faktor: p (y2 — y3) = p ( [Formel 8] + 4 a)
= p (z + 8 a) = z1, sodass wir y0', 2', 3 = z1 y2', 3 einzusetzen haben.

Weiter ist y4', 0, 1 = y4', 1, weil bei z < 0 die Forderung 0 < y
durch die — z < y entbehrlich gemacht wird, oder auch, weil nach der
Regel: y0, 1 = β0 y0 + β1 y1, wo β0 = p (y0 — y1) = p (0 + z) = z0 mit
z0' inkonsistent, β1 = p (y1 — y0) = p (— z — 0) = p' (z) = z0' dessen
tautologische Wiederholung.

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[547/0191] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. die Grenzen y0 = 0 und y2 = [FORMEL] liefert und ihre Eintragung in die Tabelle motivirt, weiter: [FORMEL] die Grenze y1 = — z beisteuert, endlich: [FORMEL] ist. Darnach haben wir: x0, 1, 3, 5 = y0', 2' x1 + y0, 1 x3 + z0' y1', 2 x5 und wird dieses mit z0' x4' durchmultiplizirt, zugleich in jedem Term auf die x-Aussagen die Regel 3 angewendet, so haben wir: B1 = z0' {y0', 2' p (x4 — x1) x4', 1 + y0, 1 p (x4 — x3) x4', 3 + y1', 2 p (x4 — x5) x4', 5} als völlig nach x entwickelt. Es ist aber: p (x4 — x1) = p (4 a + y) = (— 4 a < y) = y3 die an dieser Stelle gewonnene und hier in die Tabelle einzutragende absolute untere Grenze von y (sofern als Zahl statt als Aussage gedeutet); ferner p (x4 — x3) = p (4 a — [FORMEL]) = p' (y — 8 a) = (y < 8 a) = y4', womit y4 = 8 a als die absolute obere Grenze von y gewonnen ist, und endlich wird: p (x4 — x5) = p (4 a + [FORMEL]) = p (z + 8 a) = (— 8 a < z) = z1 die absolute untere Grenze von z einführen. Sodass: B1 = z0' {y0', 2', 3 x4', 1 + y4', 0, 1 x4', 3 + z1 y1', 2 x4', 5} nunmehr nach y zu entwickeln bleibt. Nun ist y0', 2', 3 = y2', 3, weil die Forderung y < 0 durch die y < [FORMEL] bei z < 0 überflüssig gemacht wird, oder, wenn man es vorzieht, weil nach den Regeln: y0', 2' = β0' y0' + β2' y2', wo β0' = p' (y0 — y2) = p' (0 — [FORMEL]) = z0 und β2' = p' (y2 — y0) = z0', also allgemein zwar y0', 2' = z0 y0' + z0' y2', hier jedoch, unter der Herrschaft des Faktor z0', sich y0', 2' = y2' wird setzen lassen. Und y2', 3 kooptirt nach Regel 3 den Faktor: p (y2 — y3) = p ([FORMEL] + 4 a) = p (z + 8 a) = z1, sodass wir y0', 2', 3 = z1 y2', 3 einzusetzen haben. Weiter ist y4', 0, 1 = y4', 1, weil bei z < 0 die Forderung 0 < y durch die — z < y entbehrlich gemacht wird, oder auch, weil nach der Regel: y0, 1 = β0 y0 + β1 y1, wo β0 = p (y0 — y1) = p (0 + z) = z0 mit z0' inkonsistent, β1 = p (y1 — y0) = p (— z — 0) = p' (z) = z0' dessen tautologische Wiederholung. 35*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 547. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/191>, abgerufen am 02.05.2024.