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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Beachtet man:
(a · 3) (b · 3) =
= {0 = (a1 b1 + c d1)1 (a b + c1 d)1 = a1 b1 + c1 d)1 (a b + c d1)1}
während anderseits gilt
{0 = (a1 b1) + c d1) (a b + c1 d)} = (d · 3) = S (a b · p''') (c p''' · d)
= S (· a b p'''1 ·) (d p'''1 · c)
{0 = (a1 b1 + c1 d) (a b + c d1)} = (c · 3) = S (a b · p'') (d p'' · c)
= S (· a b p''1 ·) (c p''1 · d),
so erkennt man (wie oben in k), nach Bd. 1, p. 463), dass eine weitere
Tetrade, etwa c · 3, einen einzigen gemeinsamen Schnittpunkt x' aus
der r- und q'-Gruppe bedingt, und umgekehrt, dass auch die mit c · 3
erscheinende p''-Gruppe sich auf einen Punkt p'' reduzirt, nämlich den
obversen p'' = x'1 zu jenem, m. a. W dass auch die beiden Geraden a b
und c d durch die beiden obversen Schnittpunkte der andern vier Geraden
gehen. -- Dasselbe liest man auch ab aus
(a · 3) (b · 3) (c · 3) = {0 = (a b + c d1 + a c + b d1 + a d1 + b c).
· (a1 b1 + c1 d + a1 c1 + b1 d + a1 d + b1 c1)}
= S (· a b x ·) (c x · d) (· a c x ·) (b x · d) (a x · d) (· b c x ·)
= S (a b · x) (d x · c) (a c · x) (d x · b) (d x · a) (b c · x),
worin, wie leicht nachzurechnen, die Koeffizienten von x und x1 zu
einander obvers sind; es ist hier, wenn die gemeinsamen Schnittpunkte
der sechs Geraden kurz mit ihren Gruppenbuchstaben bezeichnet werden,

x = p''1 = q' = r, = a1 b1 + c1 d = a1 c1 + b1 d = b1 c1 + a1 d
= (a1 + b1) (c1 + d) = (a1 + c1) (b1 + d) = (b1 + c1) (a1 + d),

x1 = p'' = q'1 = r1, = a b + c d1 = a c + b d1 = b c + a d1
= (a + b) (c + d1) = (a + c) (b + d1) = (b + c) (a + d1).

Gilt nun überdies die vierte, allein noch mit den drei bisherigen
verträgliche Tetrade d · 3, so wird nicht nur, gemäss der Zusammenstellung
(a · 3) (b · 3) (d · 3),
p'''1 = q = r', = a1 b1 + d1 c = b1 d1 + a1 c = a1 d1 + b1 c,
usw., sondern es werden, entsprechend den noch fehlenden Kombinationen
(a · 3) (c · 3) (d · 3) und (b · 3) (c · 3) (d · 3), die vier Schnittpunkt-Gruppenpaare
für jedes unserer drei Geradenpaare sich zusammenziehen auf vier Paare
obverser Punkte, durch deren jeden alle sechs Geraden gleichzeitig
gehen. Übrigens ist in diesem besonderen Falle von den vier Punkten

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Beachtet man:
(a · 3) (b · 3) =
= {0 = (a1 b1 + c d1)1 (a b + c1 d)1 = a1 b1 + c1 d)1 (a b + c d1)1}
während anderseits gilt
{0 = (a1 b1) + c d1) (a b + c1 d)} = (d · 3) = Σ (a b · p''') (c p''' · d)
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= Σ (· a b p''1 ·) (c p''1 · d),
so erkennt man (wie oben in ϰ), nach Bd. 1, p. 463), dass eine weitere
Tetrade, etwa c · 3, einen einzigen gemeinsamen Schnittpunkt x' aus
der r- und q'-Gruppe bedingt, und umgekehrt, dass auch die mit c · 3
erscheinende p''-Gruppe sich auf einen Punkt p'' reduzirt, nämlich den
obversen p'' = x'1 zu jenem, m. a. W dass auch die beiden Geraden a b
und c d durch die beiden obversen Schnittpunkte der andern vier Geraden
gehen. — Dasselbe liest man auch ab aus
(a · 3) (b · 3) (c · 3) = {0 = (a b + c d1 + a c + b d1 + a d1 + b c).
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worin, wie leicht nachzurechnen, die Koeffizienten von x und x1 zu
einander obvers sind; es ist hier, wenn die gemeinsamen Schnittpunkte
der sechs Geraden kurz mit ihren Gruppenbuchstaben bezeichnet werden,

x = p''1 = q' = r, = a1 b1 + c1 d = a1 c1 + b1 d = b1 c1 + a1 d
= (a1 + b1) (c1 + d) = (a1 + c1) (b1 + d) = (b1 + c1) (a1 + d),

x1 = p'' = q'1 = r1, = a b + c d1 = a c + b d1 = b c + a d1
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[591/0235] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. Beachtet man: (a · 3) (b · 3) = = {0 = (a1 b1 + c d1)1 (a b + c1 d)1 = a1 b1 + c1 d)1 (a b + c d1)1} während anderseits gilt {0 = (a1 b1) + c d1) (a b + c1 d)} = (d · 3) = Σ (a b · p''') (c p''' · d) = Σ (· a b p'''1 ·) (d p'''1 · c) {0 = (a1 b1 + c1 d) (a b + c d1)} = (c · 3) = Σ (a b · p'') (d p'' · c) = Σ (· a b p''1 ·) (c p''1 · d), so erkennt man (wie oben in ϰ), nach Bd. 1, p. 463), dass eine weitere Tetrade, etwa c · 3, einen einzigen gemeinsamen Schnittpunkt x' aus der r- und q'-Gruppe bedingt, und umgekehrt, dass auch die mit c · 3 erscheinende p''-Gruppe sich auf einen Punkt p'' reduzirt, nämlich den obversen p'' = x'1 zu jenem, m. a. W dass auch die beiden Geraden a b und c d durch die beiden obversen Schnittpunkte der andern vier Geraden gehen. — Dasselbe liest man auch ab aus (a · 3) (b · 3) (c · 3) = {0 = (a b + c d1 + a c + b d1 + a d1 + b c). · (a1 b1 + c1 d + a1 c1 + b1 d + a1 d + b1 c1)} = Σ (· a b x ·) (c x · d) (· a c x ·) (b x · d) (a x · d) (· b c x ·) = Σ (a b · x) (d x · c) (a c · x) (d x · b) (d x · a) (b c · x), worin, wie leicht nachzurechnen, die Koeffizienten von x und x1 zu einander obvers sind; es ist hier, wenn die gemeinsamen Schnittpunkte der sechs Geraden kurz mit ihren Gruppenbuchstaben bezeichnet werden, x = p''1 = q' = r, = a1 b1 + c1 d = a1 c1 + b1 d = b1 c1 + a1 d = (a1 + b1) (c1 + d) = (a1 + c1) (b1 + d) = (b1 + c1) (a1 + d), x1 = p'' = q'1 = r1, = a b + c d1 = a c + b d1 = b c + a d1 = (a + b) (c + d1) = (a + c) (b + d1) = (b + c) (a + d1). Gilt nun überdies die vierte, allein noch mit den drei bisherigen verträgliche Tetrade d · 3, so wird nicht nur, gemäss der Zusammenstellung (a · 3) (b · 3) (d · 3), p'''1 = q = r', = a1 b1 + d1 c = b1 d1 + a1 c = a1 d1 + b1 c, usw., sondern es werden, entsprechend den noch fehlenden Kombinationen (a · 3) (c · 3) (d · 3) und (b · 3) (c · 3) (d · 3), die vier Schnittpunkt-Gruppenpaare für jedes unserer drei Geradenpaare sich zusammenziehen auf vier Paare obverser Punkte, durch deren jeden alle sechs Geraden gleichzeitig gehen. Übrigens ist in diesem besonderen Falle von den vier Punkten

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 591. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/235>, abgerufen am 29.04.2024.

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