Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.
Anmerkungen des Herausgebers. Seite 418, Zeile 19 v. o. Da der Verfasser, einer Zusatzbemerkung im Manuskript zufolge, es gleichwol für wünschenswert hielt, dass dieser Beweis "auch allgemein und ohne übergrossen Aufwand von zahlentheoretischem Er- kenntnisskapital elegant geleistet werde", so möge hier ein Beweis nach- träglich folgen. -- Sei m = a p' + b q' + ... + l z' irgend eine unter den Zahlen der Klasse a oder (a, b, ... l), und darin p', q', ... z' die diesem Element m entsprechenden Spezialwerte der p, q, ... z. Es wird dann auch jedes Vielfache von m, etwa m m = a · m p' + b · m q' + ... + l · m z' wieder die Form a p + b q + ... haben oder der Klasse a angehören; es wird die Klasse (m) a der Klasse a eingeordnet sein. Dasselbe gilt auch von jeder Summe eines solche Vielfachen m m mit beliebigen Vielfachen der "Bestimmungselemente" a, b, ... l: m m + a p'' + b q'' + ... = a (m p' + p'') + b (m q' + q'') + .... Man könnte daher die Zahl m auch den Bestimmungselementen der Klasse a beifügen: a = (a, b, ... l, m) = (a, b, ... l). Z. B. (2) = (2, 6); (2, 5) = (2, 4, 5, 13). Umgekehrt wird man darum auch bei der Bezeichnung der Klassen zur Abkürzung jedes Bestimmungs- element fortlassen, welches schon in der durch die übrigen gegebenen Klasse vorkommt. Dagegen bewirkt die Aufnahme einer noch nicht der Klasse a angehörenden Zahl unter deren Bestimmungselemente, wie leicht zu sehen, eine Erweiterung der Klasse, und es wird allgemein (a) (a, b) (a, b, g) .... Ist nun ferner n = a p'' + b q'' + ..., wie m, ein zweites beliebiges Element derselben Klasse a, so gehört zu a neben der Klasse (n) auch jede Zahl der Form m m + n n = a (m p' + n p'') + b (m q' + n q'') + ..., oder es ist die Klasse (m, n) a. Beispiele: (a, a + b) (a, b); (8, 5) (3, 5) (2, 3). -- Die Betrachtung lässt sich ebenso auf beliebig viele Elemente m, n, r, ... ausdehnen: Gehören dieselben irgend einer Klasse a an, so enthält a auch alle Elemente der Klasse (m, n, r ...). -- Stellen wir uns jetzt unter m, n, r, ... die sämtlichen zwischen zwei Klassen a und b gemeinsamen Elemente vor; dann bestimmen diese eine Klasse (m, n, r, ...), deren Elemente alle sowol der Klasse a als der Klasse b angehören müssen; es sind dies also die Elemente m, n, r, ... selbst, und (m, n, r, ...) = a b. Damit ist die Klasse a b freilich durch ihre sämtlichen unbegrenzt vielen Elemente bestimmt. Auf die kürzeste, eben noch hinreichende Zusammenstellung von Bestimmungselementen führt etwa folgendes Verfahren: Unter den zwischen a und b gemeinsamen Elementen werde das kleinste m herausgesucht. Hierauf sei n wieder das kleinste unter den nicht zur (gemeinsamen) Klasse (m) gehörigen gemeinsamen Ele- menten, so dass wieder (m, n) a b wird. Sind jetzt ausser den Ele- menten der Klasse (m, n) noch weitere den Klassen a und b gemein, so sei r wieder das kleinste von diesen, wonach (m, n, r) a b. Usw. " 420, Zeile 9 v. unten. Herr Korselt zeigt durch die umstehende Fig. 45, dass in dem beschränkteren Voigtschen Denkbereich das Distributions- gesetz nicht allgemein gilt, da hier offenbar a c = b c = 0, dagegen (a + b) c = c 0 ist. Die vorliegende Voigtsche Bemerkung bildet also in der That einen besonderen ("siebenten") Beweis für die Unbeweis- barkeit des Distributionssatzes. 38*
Anmerkungen des Herausgebers. Seite 418, Zeile 19 v. o. Da der Verfasser, einer Zusatzbemerkung im Manuskript zufolge, es gleichwol für wünschenswert hielt, dass dieser Beweis „auch allgemein und ohne übergrossen Aufwand von zahlentheoretischem Er- kenntnisskapital elegant geleistet werde“, so möge hier ein Beweis nach- träglich folgen. — Sei μ = α p' + β q' + … + λ z' irgend eine unter den Zahlen der Klasse a oder (α, β, … λ), und darin p', q', … z' die diesem Element μ entsprechenden Spezialwerte der p, q, … z. Es wird dann auch jedes Vielfache von μ, etwa μ m = α · m p' + β · m q' + … + λ · m z' wieder die Form α p + β q + … haben oder der Klasse a angehören; es wird die Klasse (μ) a der Klasse a eingeordnet sein. Dasselbe gilt auch von jeder Summe eines solche Vielfachen μ m mit beliebigen Vielfachen der „Bestimmungselemente“ α, β, ‥. λ: μ m + α p'' + β q'' + … = α (m p' + p'') + β (m q' + q'') + …. Man könnte daher die Zahl μ auch den Bestimmungselementen der Klasse a beifügen: a = (α, β, … λ, μ) = (α, β, … λ). Z. B. (2) = (2, 6); (2, 5) = (2, 4, 5, 13). Umgekehrt wird man darum auch bei der Bezeichnung der Klassen zur Abkürzung jedes Bestimmungs- element fortlassen, welches schon in der durch die übrigen gegebenen Klasse vorkommt. Dagegen bewirkt die Aufnahme einer noch nicht der Klasse a angehörenden Zahl unter deren Bestimmungselemente, wie leicht zu sehen, eine Erweiterung der Klasse, und es wird allgemein (α) (α, β) (α, β, γ) …. Ist nun ferner ν = α p'' + β q'' + …, wie μ, ein zweites beliebiges Element derselben Klasse a, so gehört zu a neben der Klasse (ν) auch jede Zahl der Form μ m + ν n = α (m p' + n p'') + β (m q' + n q'') + …, oder es ist die Klasse (μ, ν) a. Beispiele: (α, α + β) (α, β); (8, 5) (3, 5) (2, 3). — Die Betrachtung lässt sich ebenso auf beliebig viele Elemente μ, ν, ϱ, … ausdehnen: Gehören dieselben irgend einer Klasse a an, so enthält a auch alle Elemente der Klasse (μ, ν, ϱ …). — Stellen wir uns jetzt unter μ, ν, ϱ, … die sämtlichen zwischen zwei Klassen a und b gemeinsamen Elemente vor; dann bestimmen diese eine Klasse (μ, ν, ϱ, …), deren Elemente alle sowol der Klasse a als der Klasse b angehören müssen; es sind dies also die Elemente μ, ν, ϱ, … selbst, und (μ, ν, ϱ, …) = a b. Damit ist die Klasse a b freilich durch ihre sämtlichen unbegrenzt vielen Elemente bestimmt. Auf die kürzeste, eben noch hinreichende Zusammenstellung von Bestimmungselementen führt etwa folgendes Verfahren: Unter den zwischen a und b gemeinsamen Elementen werde das kleinste μ herausgesucht. Hierauf sei ν wieder das kleinste unter den nicht zur (gemeinsamen) Klasse (μ) gehörigen gemeinsamen Ele- menten, so dass wieder (μ, ν) a b wird. Sind jetzt ausser den Ele- menten der Klasse (μ, ν) noch weitere den Klassen a und b gemein, so sei ϱ wieder das kleinste von diesen, wonach (μ, ν, ϱ) a b. Usw. „ 420, Zeile 9 v. unten. Herr Korselt zeigt durch die umstehende Fig. 45, dass in dem beschränkteren Voigtschen Denkbereich das Distributions- gesetz nicht allgemein gilt, da hier offenbar a c = b c = 0, dagegen (a + b) c = c ≠ 0 ist. Die vorliegende Voigtsche Bemerkung bildet also in der That einen besonderen („siebenten“) Beweis für die Unbeweis- barkeit des Distributionssatzes. 38*
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Anmerkungen des Herausgebers.
Seite 418, Zeile 19 v. o. Da der Verfasser, einer Zusatzbemerkung im Manuskript
zufolge, es gleichwol für wünschenswert hielt, dass dieser Beweis „auch
allgemein und ohne übergrossen Aufwand von zahlentheoretischem Er-
kenntnisskapital elegant geleistet werde“, so möge hier ein Beweis nach-
träglich folgen. — Sei
μ = α p' + β q' + … + λ z'
irgend eine unter den Zahlen der Klasse a oder (α, β, … λ), und darin
p', q', … z' die diesem Element μ entsprechenden Spezialwerte der
p, q, … z. Es wird dann auch jedes Vielfache von μ, etwa
μ m = α · m p' + β · m q' + … + λ · m z'
wieder die Form α p + β q + … haben oder der Klasse a angehören; es
wird die Klasse (μ) a der Klasse a eingeordnet sein. Dasselbe gilt
auch von jeder Summe eines solche Vielfachen μ m mit beliebigen
Vielfachen der „Bestimmungselemente“ α, β, ‥. λ:
μ m + α p'' + β q'' + … = α (m p' + p'') + β (m q' + q'') + ….
Man könnte daher die Zahl μ auch den Bestimmungselementen der
Klasse a beifügen:
a = (α, β, … λ, μ) = (α, β, … λ).
Z. B. (2) = (2, 6); (2, 5) = (2, 4, 5, 13). Umgekehrt wird man darum
auch bei der Bezeichnung der Klassen zur Abkürzung jedes Bestimmungs-
element fortlassen, welches schon in der durch die übrigen gegebenen
Klasse vorkommt. Dagegen bewirkt die Aufnahme einer noch nicht der
Klasse a angehörenden Zahl unter deren Bestimmungselemente, wie
leicht zu sehen, eine Erweiterung der Klasse, und es wird allgemein
(α) (α, β) (α, β, γ) ….
Ist nun ferner ν = α p'' + β q'' + …, wie μ, ein zweites beliebiges
Element derselben Klasse a, so gehört zu a neben der Klasse (ν) auch
jede Zahl der Form
μ m + ν n = α (m p' + n p'') + β (m q' + n q'') + …,
oder es ist die Klasse (μ, ν) a. Beispiele: (α, α + β) (α, β);
(8, 5) (3, 5) (2, 3). — Die Betrachtung lässt sich ebenso auf beliebig
viele Elemente μ, ν, ϱ, … ausdehnen: Gehören dieselben irgend einer
Klasse a an, so enthält a auch alle Elemente der Klasse (μ, ν, ϱ …). —
Stellen wir uns jetzt unter μ, ν, ϱ, … die sämtlichen zwischen zwei
Klassen a und b gemeinsamen Elemente vor; dann bestimmen diese
eine Klasse (μ, ν, ϱ, …), deren Elemente alle sowol der Klasse a als
der Klasse b angehören müssen; es sind dies also die Elemente μ, ν, ϱ, …
selbst, und (μ, ν, ϱ, …) = a b.
Damit ist die Klasse a b freilich durch ihre sämtlichen unbegrenzt
vielen Elemente bestimmt. Auf die kürzeste, eben noch hinreichende
Zusammenstellung von Bestimmungselementen führt etwa folgendes
Verfahren: Unter den zwischen a und b gemeinsamen Elementen werde
das kleinste μ herausgesucht. Hierauf sei ν wieder das kleinste unter
den nicht zur (gemeinsamen) Klasse (μ) gehörigen gemeinsamen Ele-
menten, so dass wieder (μ, ν) a b wird. Sind jetzt ausser den Ele-
menten der Klasse (μ, ν) noch weitere den Klassen a und b gemein, so
sei ϱ wieder das kleinste von diesen, wonach (μ, ν, ϱ) a b. Usw.
„ 420, Zeile 9 v. unten. Herr Korselt zeigt durch die umstehende Fig. 45,
dass in dem beschränkteren Voigtschen Denkbereich das Distributions-
gesetz nicht allgemein gilt, da hier offenbar a c = b c = 0, dagegen
(a + b) c = c ≠ 0 ist. Die vorliegende Voigtsche Bemerkung bildet
also in der That einen besonderen („siebenten“) Beweis für die Unbeweis-
barkeit des Distributionssatzes.
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| Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 595. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/239>, abgerufen am 29.04.2024. |
