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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Vierundzwanzigste Vorlesung.
durch (mindestens ebenso viele) unbestimmte Parameter ausgedrückt
waren. Dabei erscheint aber noch als Missstand, dass man jene Werte
oder Ausdrücke, welche für die unbestimmten Parameter eingesetzt
werden müssen, wenn man ein bestimmt gegebenes Wurzelpaar x, y
aus ihnen erhalten will, entweder für die Anwendungen im Gedächtniss
behalten oder so, wie sie sich l. c. angegeben finden, nachschlagen
muss. Und schon aus diesem Grunde versteht sich die Anforderung:
die Ausdrücke für die symmetrisch allgemeinen Wurzeln x, y so ein-
zurichten, dass jeder Unbekannten ein eigener Parameter, dem x ein u,
dem y ein v, als sogenannter "wesentlicher" Parameter entpricht, und
dass man, um irgend ein gewünschtes Wurzelpaar x, y zu erhalten, nur
u = x, v = y selbst zu setzen habe.

Diese Anforderung wird sich bei den in Bd. 3 behandelten Auf-
gaben auch noch anderweitig motiviren; sie wird dort von mir, weil
sie keineswegs im Begriff der Lösung selbst gelegen, als die "Adventiv-
forderung" bezeichnet. Sie ist auch bereits bei den Lösungen der
übrigen Aufgaben des § 24 erfüllt, nur bei den vorhin genannten noch
zu erfüllen. Zuvor sei blos noch bemerkt, dass wenn im Ausdruck
der Wurzeln neben den "wesentlichen" unbestimmten Parametern noch
andre vorkommen, diese letztern als "unwesentliche" oder "Luxus-Para-
meter" bezeichnet werden mögen. Solche bleiben unter allen Umständen
willkürlich und können unbeschadet der Allgemeinheit der Lösungen be-
liebig spezialisirt, z. B. auch ein jeder für sich gleich 0 oder gleich 1
angenommen werden, -- wie dies sogleich an dem nachfolgenden sich
illustriren wird.

Aufgabe 12. Nach x, y die Gleichung
1) x y1 + x1 y = c
symmetrisch allgemein zu lösen.

Ich will die Lösungen erst angeben, dann verifiziren, zuletzt ihre
Herleitung skizziren.

Die Auflösung ist:

2)
 x = (c1 + r) u v + (c + s) u v1 + c1 s u1 v + c r u1 v1
y = (c1 + r1) u v + c1 s u v1 + (c + s) u1 v + c r1 u1 v1
x1 = c r1 u v + c1 s1 u v1 + (c + s1) u1 v + (c1 + r1) u1 v1
y1 = c r u v + (c + s1) u v1 + c1 s1 u1 v + (c1 + r) u1 v1,
wo u, v die wesentlichen, r, s die Luxusparameter vorstellen.

Beweis durch Verifikation.

Erste Probe, auf die Richtigkeit der angeblichen Lösungen 2) bei be-

Vierundzwanzigste Vorlesung.
durch (mindestens ebenso viele) unbestimmte Parameter ausgedrückt
waren. Dabei erscheint aber noch als Missstand, dass man jene Werte
oder Ausdrücke, welche für die unbestimmten Parameter eingesetzt
werden müssen, wenn man ein bestimmt gegebenes Wurzelpaar x, y
aus ihnen erhalten will, entweder für die Anwendungen im Gedächtniss
behalten oder so, wie sie sich l. c. angegeben finden, nachschlagen
muss. Und schon aus diesem Grunde versteht sich die Anforderung:
die Ausdrücke für die symmetrisch allgemeinen Wurzeln x, y so ein-
zurichten, dass jeder Unbekannten ein eigener Parameter, dem x ein u,
dem y ein v, als sogenannter „wesentlicher“ Parameter entpricht, und
dass man, um irgend ein gewünschtes Wurzelpaar x, y zu erhalten, nur
u = x, v = y selbst zu setzen habe.

Diese Anforderung wird sich bei den in Bd. 3 behandelten Auf-
gaben auch noch anderweitig motiviren; sie wird dort von mir, weil
sie keineswegs im Begriff der Lösung selbst gelegen, als die „Adventiv-
forderung“ bezeichnet. Sie ist auch bereits bei den Lösungen der
übrigen Aufgaben des § 24 erfüllt, nur bei den vorhin genannten noch
zu erfüllen. Zuvor sei blos noch bemerkt, dass wenn im Ausdruck
der Wurzeln neben den „wesentlichen“ unbestimmten Parametern noch
andre vorkommen, diese letztern als „unwesentliche“ oder „Luxus-Para-
meter“ bezeichnet werden mögen. Solche bleiben unter allen Umständen
willkürlich und können unbeschadet der Allgemeinheit der Lösungen be-
liebig spezialisirt, z. B. auch ein jeder für sich gleich 0 oder gleich 1
angenommen werden, — wie dies sogleich an dem nachfolgenden sich
illustriren wird.

Aufgabe 12. Nach x, y die Gleichung
1) x y1 + x1 y = c
symmetrisch allgemein zu lösen.

Ich will die Lösungen erst angeben, dann verifiziren, zuletzt ihre
Herleitung skizziren.

Die Auflösung ist:

2)
 x = (c1 + r) u v + (c + s) u v1 + c1 s u1 v + c r u1 v1
y = (c1 + r1) u v + c1 s u v1 + (c + s) u1 v + c r1 u1 v1
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Beweis durch Verifikation.

Erste Probe, auf die Richtigkeit der angeblichen Lösungen 2) bei be-

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[424/0068] Vierundzwanzigste Vorlesung. durch (mindestens ebenso viele) unbestimmte Parameter ausgedrückt waren. Dabei erscheint aber noch als Missstand, dass man jene Werte oder Ausdrücke, welche für die unbestimmten Parameter eingesetzt werden müssen, wenn man ein bestimmt gegebenes Wurzelpaar x, y aus ihnen erhalten will, entweder für die Anwendungen im Gedächtniss behalten oder so, wie sie sich l. c. angegeben finden, nachschlagen muss. Und schon aus diesem Grunde versteht sich die Anforderung: die Ausdrücke für die symmetrisch allgemeinen Wurzeln x, y so ein- zurichten, dass jeder Unbekannten ein eigener Parameter, dem x ein u, dem y ein v, als sogenannter „wesentlicher“ Parameter entpricht, und dass man, um irgend ein gewünschtes Wurzelpaar x, y zu erhalten, nur u = x, v = y selbst zu setzen habe. Diese Anforderung wird sich bei den in Bd. 3 behandelten Auf- gaben auch noch anderweitig motiviren; sie wird dort von mir, weil sie keineswegs im Begriff der Lösung selbst gelegen, als die „Adventiv- forderung“ bezeichnet. Sie ist auch bereits bei den Lösungen der übrigen Aufgaben des § 24 erfüllt, nur bei den vorhin genannten noch zu erfüllen. Zuvor sei blos noch bemerkt, dass wenn im Ausdruck der Wurzeln neben den „wesentlichen“ unbestimmten Parametern noch andre vorkommen, diese letztern als „unwesentliche“ oder „Luxus-Para- meter“ bezeichnet werden mögen. Solche bleiben unter allen Umständen willkürlich und können unbeschadet der Allgemeinheit der Lösungen be- liebig spezialisirt, z. B. auch ein jeder für sich gleich 0 oder gleich 1 angenommen werden, — wie dies sogleich an dem nachfolgenden sich illustriren wird. Aufgabe 12. Nach x, y die Gleichung 1) x y1 + x1 y = c symmetrisch allgemein zu lösen. Ich will die Lösungen erst angeben, dann verifiziren, zuletzt ihre Herleitung skizziren. Die Auflösung ist: 2) x = (c1 + r) u v + (c + s) u v1 + c1 s u1 v + c r u1 v1 y = (c1 + r1) u v + c1 s u v1 + (c + s) u1 v + c r1 u1 v1 x1 = c r1 u v + c1 s1 u v1 + (c + s1) u1 v + (c1 + r1) u1 v1 y1 = c r u v + (c + s1) u v1 + c1 s1 u1 v + (c1 + r) u1 v1, wo u, v die wesentlichen, r, s die Luxusparameter vorstellen. Beweis durch Verifikation. Erste Probe, auf die Richtigkeit der angeblichen Lösungen 2) bei be-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 424. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/68>, abgerufen am 27.04.2024.