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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 8. Noch einige Grundformeln.
welche nach den den Sätzen 1) entsprechenden Schemata des Aus-
sagenkalkuls gelten müssen, q. e. d.

Behufs Beweises von 3) ist blos erforderlich, dass man sich von
der Gültigkeit der Koeffizientensubsumtionen:

1'i j Ph(ai h + anj h)Shai hanj h 0'i j
für jedes Suffix ij überzeuge. Hierbei sind wieder die Fälle i = j und
i j zu unterscheiden.

Im ersten Falle ist 1'i j = 1'i i = 1 und 0'i j = 0'i i = 0 und haben
wir in der That:

1 = Ph(ai h + ani h)Shai hani h = 0,
weil jeder Faktor des Produkts = 1 und jedes Glied der Summe = 0 ist.

Im zweiten Falle ist 1'i j = 0 und 0'i j = 1 und müssen die Sub-
sumtionen als solche die das Subjekt 0 oder das Prädikat 1 haben,
ohnehin gelten -- q. e. d.

Wegen des Dualismus zwischen den beiden Formeln 2), 3) war eigent-
lich nur je die eine derselben zu beweisen nötig.

Während nun aber mit Rücksicht auf die Schemata identischen
Kalkuls:
4)

(1 a) = (1 = a)(a 0) = (a = 0)
die beiden Subsumtionen 1) auch als Gleichungen angesetzt werden
dürfen, wird zu merken sein, dass bei den Subsumtionen 2) und 3)
solches nicht der Fall ist -- weil eben die Schemata 4) kein Analogon
auf der zweiten Hauptstufe besitzen.

Ebensowenig gibt es auch zu diesen Sätzen des identischen Kalkuls:
5)

(1 = ab) = (1 = a)(1 = b)(a + b = 0) = (a = 0)(b = 0)
ein Analogon bei den relativen Operationen, wogegen wir zu den hoch-
wichtigen und schon bekannten Sätzen:
6) (1 an + b) = (a b) = (abn 0)
entsprechende auf der höhern Hauptstufe noch am Schlusse dieses
Paragraphen kennen lernen werden. Endlich zu diesen Formeln:
7) [Formel 1]
dürfte es Analoga auf der höhern Stufe schwerlich geben.

Die aufgeworfene Frage nach etwaigen Analogieen der Sätze erster
Hauptstufe auf der zweiten mag eventuell als Anregung zu weitern For-
schungen dienen. Es war uns dabei weniger um deren endgültige Beant-
wortung zu thun als vielmehr darum, die Sätze 1) bis 7), die noch zu

§ 8. Noch einige Grundformeln.
welche nach den den Sätzen 1) entsprechenden Schemata des Aus-
sagenkalkuls gelten müssen, q. e. d.

Behufs Beweises von 3) ist blos erforderlich, dass man sich von
der Gültigkeit der Koeffizientensubsumtionen:

1'i j ⋹ Πh(ai h + āj h)Σhai hāj h⋹ 0'i j
für jedes Suffix ij überzeuge. Hierbei sind wieder die Fälle i = j und
i ≠ j zu unterscheiden.

Im ersten Falle ist 1'i j = 1'i i = 1 und 0'i j = 0'i i = 0 und haben
wir in der That:

1 = Πh(ai h + āi h)Σhai hāi h = 0,
weil jeder Faktor des Produkts = 1 und jedes Glied der Summe = 0 ist.

Im zweiten Falle ist 1'i j = 0 und 0'i j = 1 und müssen die Sub-
sumtionen als solche die das Subjekt 0 oder das Prädikat 1 haben,
ohnehin gelten — q. e. d.

Wegen des Dualismus zwischen den beiden Formeln 2), 3) war eigent-
lich nur je die eine derselben zu beweisen nötig.

Während nun aber mit Rücksicht auf die Schemata identischen
Kalkuls:
4)

(1 ⋹ a) = (1 = a)(a ⋹ 0) = (a = 0)
die beiden Subsumtionen 1) auch als Gleichungen angesetzt werden
dürfen, wird zu merken sein, dass bei den Subsumtionen 2) und 3)
solches nicht der Fall ist — weil eben die Schemata 4) kein Analogon
auf der zweiten Hauptstufe besitzen.

Ebensowenig gibt es auch zu diesen Sätzen des identischen Kalkuls:
5)

(1 = ab) = (1 = a)(1 = b)(a + b = 0) = (a = 0)(b = 0)
ein Analogon bei den relativen Operationen, wogegen wir zu den hoch-
wichtigen und schon bekannten Sätzen:
6) (1 ⋹ ā + b) = (a ⋹ b) = (ab̄ ⋹ 0)
entsprechende auf der höhern Hauptstufe noch am Schlusse dieses
Paragraphen kennen lernen werden. Endlich zu diesen Formeln:
7) [Formel 1]
dürfte es Analoga auf der höhern Stufe schwerlich geben.

Die aufgeworfene Frage nach etwaigen Analogieen der Sätze erster
Hauptstufe auf der zweiten mag eventuell als Anregung zu weitern For-
schungen dienen. Es war uns dabei weniger um deren endgültige Beant-
wortung zu thun als vielmehr darum, die Sätze 1) bis 7), die noch zu

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[119/0133] § 8. Noch einige Grundformeln. welche nach den den Sätzen 1) entsprechenden Schemata des Aus- sagenkalkuls gelten müssen, q. e. d. Behufs Beweises von 3) ist blos erforderlich, dass man sich von der Gültigkeit der Koeffizientensubsumtionen: 1'i j ⋹ Πh(ai h + āj h) Σhai hāj h⋹ 0'i j für jedes Suffix ij überzeuge. Hierbei sind wieder die Fälle i = j und i ≠ j zu unterscheiden. Im ersten Falle ist 1'i j = 1'i i = 1 und 0'i j = 0'i i = 0 und haben wir in der That: 1 = Πh(ai h + āi h) Σhai hāi h = 0, weil jeder Faktor des Produkts = 1 und jedes Glied der Summe = 0 ist. Im zweiten Falle ist 1'i j = 0 und 0'i j = 1 und müssen die Sub- sumtionen als solche die das Subjekt 0 oder das Prädikat 1 haben, ohnehin gelten — q. e. d. Wegen des Dualismus zwischen den beiden Formeln 2), 3) war eigent- lich nur je die eine derselben zu beweisen nötig. Während nun aber mit Rücksicht auf die Schemata identischen Kalkuls: 4) (1 ⋹ a) = (1 = a) (a ⋹ 0) = (a = 0) die beiden Subsumtionen 1) auch als Gleichungen angesetzt werden dürfen, wird zu merken sein, dass bei den Subsumtionen 2) und 3) solches nicht der Fall ist — weil eben die Schemata 4) kein Analogon auf der zweiten Hauptstufe besitzen. Ebensowenig gibt es auch zu diesen Sätzen des identischen Kalkuls: 5) (1 = ab) = (1 = a)(1 = b) (a + b = 0) = (a = 0)(b = 0) ein Analogon bei den relativen Operationen, wogegen wir zu den hoch- wichtigen und schon bekannten Sätzen: 6) (1 ⋹ ā + b) = (a ⋹ b) = (ab̄ ⋹ 0) entsprechende auf der höhern Hauptstufe noch am Schlusse dieses Paragraphen kennen lernen werden. Endlich zu diesen Formeln: 7) [FORMEL] dürfte es Analoga auf der höhern Stufe schwerlich geben. Die aufgeworfene Frage nach etwaigen Analogieen der Sätze erster Hauptstufe auf der zweiten mag eventuell als Anregung zu weitern For- schungen dienen. Es war uns dabei weniger um deren endgültige Beant- wortung zu thun als vielmehr darum, die Sätze 1) bis 7), die noch zu

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 119. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/133>, abgerufen am 28.04.2024.