Das Schema 1) nach welchem wir befriedigende allgemeine Lösungen für zahlreiche Einzelprobleme konstruiren werden, ist demnach als korrektes Schema der Auflösung allermindestens für jeden endlichen Denkbereich gerechtfertigt -- und damit ist schon viel gewonnen!
Ich erhalte dasselbe jedoch ganz allgemein aufrecht -- auch für die unbegrenzten Denkbereiche, obwohl ich gestehen muss, dass mich Dasjenige was ich an dieser Stelle zur Begründung dafür vorbringen kann, noch nicht vollkommen befriedigt. Wer das Bedenken teilt, braucht den speziellern auf das Schema späterhin gegründeten Problem- lösungen bis auf weiteres blos mit der angegebenen Beschränkung Vertrauen zu schenken.
Doch will ich nicht versäumen, schon hier den Kernpunkt der Frage thunlichst klar zu legen, und zu dem Ende dem Leser die Be- trachtungen des folgenden Kontextes nahe legen.
Es liess sich uinfinity als
[Formel 1]
ur überhaupt nur erklären, falls für jedes Suffix ij ein Zahlwert n angebbar ist oder existirt, derart, dass (ur)i j von r = n an mit wachsendem r konstant bleibt, mithin den Wert (un)i j = 0 oder aber 1 "endgültig" beibehält für jedes r > n.
Darnach ist evident, dass 13)
[Formel 2]
sein muss, indem das oben Gesagte, was bei ur von r = n an zutrifft, bei ur + 1 von r = n - 1 an zutreffen wird und umgekehrt.
Zweifellos gilt darum auch: 14)
[Formel 3]
.
Nach dem Prinzipe, gemäss welchem, wie eingangs gesagt, für einen allfällig existirenden Grenzwert von ur der Name uinfinity eingeführt worden, nach demselben Prinzipe hätten wir nun auch als Namen für den zweiten Ausdruck der vorstehenden Zeile 14) diesen: f{finfinity(u)}, und darnach schiene unser Satz erwiesen. Als Gleichheitsbehauptung zwischen finfinity(u) und finfinity + 1(u) ist dies auch thatsächlich der Fall, wobei das letztre Symbol durch den ersten oder zweiten Ausdruck 14) erklärt zu denken ist. Dagegen ist zu sagen, dass auf letztern Ausdruck jenes Prinzip unsrer Namengebung nicht anwendbar ist, indem es durch Einführung eines Doppelsinnes hier verfäng- lich wird. Nachdem finfinity(u) nämlich als existirend erkannt und erklärt worden, steht auch die Bedeutung von f{finfinity(u)} als die des Wertes von f(x) für x = finfinity(u) schon fest, ist dieser Name bereits vergeben und nicht mehr verfügbar um andrerseits auch den
[Formel 4]
f{fr(u)} ohne weitres damit zu taufen.
Vielmehr würde durch die Identifizirung beider implicite von einem ausdrücklich zu statuirenden und erst zu erweisenden Satze Gebrauch gemacht:
Fünfte Vorlesung.
Das Schema 1) nach welchem wir befriedigende allgemeine Lösungen für zahlreiche Einzelprobleme konstruiren werden, ist demnach als korrektes Schema der Auflösung allermindestens für jeden endlichen Denkbereich gerechtfertigt — und damit ist schon viel gewonnen!
Ich erhalte dasselbe jedoch ganz allgemein aufrecht — auch für die unbegrenzten Denkbereiche, obwohl ich gestehen muss, dass mich Dasjenige was ich an dieser Stelle zur Begründung dafür vorbringen kann, noch nicht vollkommen befriedigt. Wer das Bedenken teilt, braucht den speziellern auf das Schema späterhin gegründeten Problem- lösungen bis auf weiteres blos mit der angegebenen Beschränkung Vertrauen zu schenken.
Doch will ich nicht versäumen, schon hier den Kernpunkt der Frage thunlichst klar zu legen, und zu dem Ende dem Leser die Be- trachtungen des folgenden Kontextes nahe legen.
Es liess sich u∞ als
[Formel 1]
ur überhaupt nur erklären, falls für jedes Suffix ij ein Zahlwert n angebbar ist oder existirt, derart, dass (ur)i j von r = n an mit wachsendem r konstant bleibt, mithin den Wert (un)i j = 0 oder aber 1 „endgültig“ beibehält für jedes r > n.
Darnach ist evident, dass 13)
[Formel 2]
sein muss, indem das oben Gesagte, was bei ur von r = n an zutrifft, bei ur + 1 von r = n - 1 an zutreffen wird und umgekehrt.
Zweifellos gilt darum auch: 14)
[Formel 3]
.
Nach dem Prinzipe, gemäss welchem, wie eingangs gesagt, für einen allfällig existirenden Grenzwert von ur der Name u∞ eingeführt worden, nach demselben Prinzipe hätten wir nun auch als Namen für den zweiten Ausdruck der vorstehenden Zeile 14) diesen: f{f∞(u)}, und darnach schiene unser Satz erwiesen. Als Gleichheitsbehauptung zwischen f∞(u) und f∞ + 1(u) ist dies auch thatsächlich der Fall, wobei das letztre Symbol durch den ersten oder zweiten Ausdruck 14) erklärt zu denken ist. Dagegen ist zu sagen, dass auf letztern Ausdruck jenes Prinzip unsrer Namengebung nicht anwendbar ist, indem es durch Einführung eines Doppelsinnes hier verfäng- lich wird. Nachdem f∞(u) nämlich als existirend erkannt und erklärt worden, steht auch die Bedeutung von f{f∞(u)} als die des Wertes von f(x) für x = f∞(u) schon fest, ist dieser Name bereits vergeben und nicht mehr verfügbar um andrerseits auch den
[Formel 4]
f{fr(u)} ohne weitres damit zu taufen.
Vielmehr würde durch die Identifizirung beider implicite von einem ausdrücklich zu statuirenden und erst zu erweisenden Satze Gebrauch gemacht:
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Fünfte Vorlesung.
Das Schema 1) nach welchem wir befriedigende allgemeine Lösungen
für zahlreiche Einzelprobleme konstruiren werden, ist demnach als
korrektes Schema der Auflösung allermindestens für jeden endlichen
Denkbereich gerechtfertigt — und damit ist schon viel gewonnen!
Ich erhalte dasselbe jedoch ganz allgemein aufrecht — auch für
die unbegrenzten Denkbereiche, obwohl ich gestehen muss, dass mich
Dasjenige was ich an dieser Stelle zur Begründung dafür vorbringen
kann, noch nicht vollkommen befriedigt. Wer das Bedenken teilt,
braucht den speziellern auf das Schema späterhin gegründeten Problem-
lösungen bis auf weiteres blos mit der angegebenen Beschränkung
Vertrauen zu schenken.
Doch will ich nicht versäumen, schon hier den Kernpunkt der
Frage thunlichst klar zu legen, und zu dem Ende dem Leser die Be-
trachtungen des folgenden Kontextes nahe legen.
Es liess sich u∞ als [FORMEL] ur überhaupt nur erklären, falls für jedes
Suffix ij ein Zahlwert n angebbar ist oder existirt, derart, dass (ur)i j von
r = n an mit wachsendem r konstant bleibt, mithin den Wert (un)i j = 0
oder aber 1 „endgültig“ beibehält für jedes r > n.
Darnach ist evident, dass
13) [FORMEL]
sein muss, indem das oben Gesagte, was bei ur von r = n an zutrifft, bei
ur + 1 von r = n - 1 an zutreffen wird und umgekehrt.
Zweifellos gilt darum auch:
14) [FORMEL].
Nach dem Prinzipe, gemäss welchem, wie eingangs gesagt, für einen
allfällig existirenden Grenzwert von ur der Name u∞ eingeführt worden,
nach demselben Prinzipe hätten wir nun auch als Namen für den zweiten
Ausdruck der vorstehenden Zeile 14) diesen: f{f∞(u)}, und darnach schiene
unser Satz erwiesen. Als Gleichheitsbehauptung zwischen f∞(u) und f∞ + 1(u)
ist dies auch thatsächlich der Fall, wobei das letztre Symbol durch den
ersten oder zweiten Ausdruck 14) erklärt zu denken ist. Dagegen ist zu
sagen, dass auf letztern Ausdruck jenes Prinzip unsrer Namengebung nicht
anwendbar ist, indem es durch Einführung eines Doppelsinnes hier verfäng-
lich wird. Nachdem f∞(u) nämlich als existirend erkannt und erklärt
worden, steht auch die Bedeutung von f{f∞(u)} als die des Wertes von
f(x) für x = f∞(u) schon fest, ist dieser Name bereits vergeben und nicht
mehr verfügbar um andrerseits auch den [FORMEL] f{fr(u)} ohne weitres damit
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 190. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/204>, abgerufen am 01.05.2024.
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