indem wir die Lösung einer grösseren Anzahl (32) von vorgängigen Aufgaben vorausschicken, von denen aber nur eine Minderzahl (näm- lich 7) als etwas schwierigere hervortreten.
Die (wie man sehn wird: 32) fundamentalen Aufgaben charak- terisiren sich wie folgt:
Durch ein arbiträres Relativ u jedes solche Relativ darzustellen, in welchem von den fünf Zeilenkategorien (Ziffern) 1abg0 irgendwelche unvertreten sind.
Dass mit diesen Aufgaben unser Problem 1) gelöst sein wird, ist leicht so zu sehen.
Allgemein kann man x zeilenschematisch als x = 1abg0 ansetzen und dann das zugehörige (der "Zeilengruppe" von x laut Voraussetzung angehörende) Polynom F(x) der aufzulösenden Gleichung 1) mit Leich- tigkeit fünfziffrig ausrechnen.
Man erhält auch für dieses einen zeilenschematischen Ausdruck von der Form 1abg0, in welchem jedoch -- je nach der Natur der gegebenen Funktion F -- einzeln und unabhängig von den übrigen Ziffern eine jede von den vorstehenden Ziffern auch durch 0 oder 1, ausserdem von den drei mittleren Ziffern eine jede auch durch ihre Negation vertreten sein kann. Die Gleichung 1) verlangt nun, dass jede Zeilenkategorie des x, deren Ziffer bei der Ausrechnung des F(x) sich nicht ohnehin in eine 0 verwandelt, in x unvertreten sei, was auch umgekehrt zu ihrer Erfüllung genügt; sie fordert nämlich, dass F(x) lauter Leerzeilen aufweise.
Darnach wird also x einfach gleich einem solchen f(u) zu setzen sein, welches die betreffende von den 32 Hülfsaufgaben löst.
In dem Falle wo sich F(x) = 11111 herausstellt, und nur in diesem, wird daher die Gleichung 1) absurd sein, keine Wurzel zulassen und bleibt die Aufgabe unmöglich.
Falls dagegen F(x) = 00000 sich ergibt, bleibt x = u vollkommen unbestimmt oder willkürlich.
In jedem andern Falle gibt es spezifische Ausdrücke für die allgemeine Wurzel, die durch die Lösung einer bestimmten von den 32 -- 2 = 30 ver- bleibenden Hülfsaufgaben dargeboten werden.
Das Unvertretensein einer Zeilenkategorie deuten wir durch einen an die Stelle ihrer Ziffer gesetzten Horizontalstrich an. Dann gibt es in der That 25 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 Probleme, jenachdem kein, 1, 2, 3, 4, 5 Striche in das Zeilenschema eintreten.
Was zunächst die drei mittleren Kategorieen betrifft, so haben wir die 23 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 Möglichkeiten:
Schröder, Algebra der Relative. 15
§ 16. Inverse Parallelreihenprobleme.
indem wir die Lösung einer grösseren Anzahl (32) von vorgängigen Aufgaben vorausschicken, von denen aber nur eine Minderzahl (näm- lich 7) als etwas schwierigere hervortreten.
Die (wie man sehn wird: 32) fundamentalen Aufgaben charak- terisiren sich wie folgt:
Durch ein arbiträres Relativ u jedes solche Relativ darzustellen, in welchem von den fünf Zeilenkategorien (Ziffern) 1αβγ0 irgendwelche unvertreten sind.
Dass mit diesen Aufgaben unser Problem 1) gelöst sein wird, ist leicht so zu sehen.
Allgemein kann man x zeilenschematisch als x = 1αβγ0 ansetzen und dann das zugehörige (der „Zeilengruppe“ von x laut Voraussetzung angehörende) Polynom F(x) der aufzulösenden Gleichung 1) mit Leich- tigkeit fünfziffrig ausrechnen.
Man erhält auch für dieses einen zeilenschematischen Ausdruck von der Form 1αβγ0, in welchem jedoch — je nach der Natur der gegebenen Funktion F — einzeln und unabhängig von den übrigen Ziffern eine jede von den vorstehenden Ziffern auch durch 0 oder 1, ausserdem von den drei mittleren Ziffern eine jede auch durch ihre Negation vertreten sein kann. Die Gleichung 1) verlangt nun, dass jede Zeilenkategorie des x, deren Ziffer bei der Ausrechnung des F(x) sich nicht ohnehin in eine 0 verwandelt, in x unvertreten sei, was auch umgekehrt zu ihrer Erfüllung genügt; sie fordert nämlich, dass F(x) lauter Leerzeilen aufweise.
Darnach wird also x einfach gleich einem solchen f(u) zu setzen sein, welches die betreffende von den 32 Hülfsaufgaben löst.
In dem Falle wo sich F(x) = 11111 herausstellt, und nur in diesem, wird daher die Gleichung 1) absurd sein, keine Wurzel zulassen und bleibt die Aufgabe unmöglich.
Falls dagegen F(x) = 00000 sich ergibt, bleibt x = u vollkommen unbestimmt oder willkürlich.
In jedem andern Falle gibt es spezifische Ausdrücke für die allgemeine Wurzel, die durch die Lösung einer bestimmten von den 32 — 2 = 30 ver- bleibenden Hülfsaufgaben dargeboten werden.
Das Unvertretensein einer Zeilenkategorie deuten wir durch einen an die Stelle ihrer Ziffer gesetzten Horizontalstrich an. Dann gibt es in der That 25 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 Probleme, jenachdem kein, 1, 2, 3, 4, 5 Striche in das Zeilenschema eintreten.
Was zunächst die drei mittleren Kategorieen betrifft, so haben wir die 23 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 Möglichkeiten:
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§ 16. Inverse Parallelreihenprobleme.
indem wir die Lösung einer grösseren Anzahl (32) von vorgängigen
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lich 7) als etwas schwierigere hervortreten.
Die (wie man sehn wird: 32) fundamentalen Aufgaben charak-
terisiren sich wie folgt:
Durch ein arbiträres Relativ u jedes solche Relativ darzustellen,
in welchem von den fünf Zeilenkategorien (Ziffern)
1αβγ0
irgendwelche unvertreten sind.
Dass mit diesen Aufgaben unser Problem 1) gelöst sein wird, ist
leicht so zu sehen.
Allgemein kann man x zeilenschematisch als x = 1αβγ0 ansetzen
und dann das zugehörige (der „Zeilengruppe“ von x laut Voraussetzung
angehörende) Polynom F(x) der aufzulösenden Gleichung 1) mit Leich-
tigkeit fünfziffrig ausrechnen.
Man erhält auch für dieses einen zeilenschematischen Ausdruck
von der Form 1αβγ0, in welchem jedoch — je nach der Natur der
gegebenen Funktion F — einzeln und unabhängig von den übrigen
Ziffern eine jede von den vorstehenden Ziffern auch durch 0 oder 1,
ausserdem von den drei mittleren Ziffern eine jede auch durch ihre
Negation vertreten sein kann. Die Gleichung 1) verlangt nun, dass
jede Zeilenkategorie des x, deren Ziffer bei der Ausrechnung des F(x)
sich nicht ohnehin in eine 0 verwandelt, in x unvertreten sei, was auch
umgekehrt zu ihrer Erfüllung genügt; sie fordert nämlich, dass F(x)
lauter Leerzeilen aufweise.
Darnach wird also x einfach gleich einem solchen f(u) zu setzen
sein, welches die betreffende von den 32 Hülfsaufgaben löst.
In dem Falle wo sich F(x) = 11111 herausstellt, und nur in diesem,
wird daher die Gleichung 1) absurd sein, keine Wurzel zulassen und bleibt
die Aufgabe unmöglich.
Falls dagegen F(x) = 00000 sich ergibt, bleibt x = u vollkommen
unbestimmt oder willkürlich.
In jedem andern Falle gibt es spezifische Ausdrücke für die allgemeine
Wurzel, die durch die Lösung einer bestimmten von den 32 — 2 = 30 ver-
bleibenden Hülfsaufgaben dargeboten werden.
Das Unvertretensein einer Zeilenkategorie deuten wir durch einen
an die Stelle ihrer Ziffer gesetzten Horizontalstrich an. Dann gibt es
in der That 25 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 Probleme, jenachdem
kein, 1, 2, 3, 4, 5 Striche in das Zeilenschema eintreten.
Was zunächst die drei mittleren Kategorieen betrifft, so haben wir
die 23 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 Möglichkeiten:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 225. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/239>, abgerufen am 29.04.2024.
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