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Noch schneller konnte man sie in der Form 0'on = 0'o aus 0'gn = 0'g bewahrheiten.
Es stimmt aber auch die Probe 2: unser Resultat ist fähig jede ge- wünschte Lösung zu liefern. Denn ist u von vornherein eine solche, mithin jedenfalls 0'u = 0'un, so haben wir auch 0'u = 0'un = 0'uun = uun, also 1'u + uun = 1'u + 0'u = u und muss o = u selbst werden, indem dessen letztes Glied (u + un)g = (0'u + 0'un)g = 0'ug im ersten u dann eingeht, von ihm absorbirt wird.
Somit ist etablirt der Satz: 31)
[Formel 1]
, wo g wie über 30) definirt ist, d. h. (irgend) eine spezielle Wurzel der Gleichung linkerhand vorstellt -- und die Aufgabe 29) ist gelöst.
Um nun von hier zur vollständigen Lösung der allgemeinern Auf- gabe 28) zu gelangen: 0'aa(ww + wnwn) = 0, bemerken wir, dass (vergl. § 9) der erste Faktor 0'aa aus dem unter 0' enthaltenen, sonst irgendwie gegebnen Relativ a lediglich dessen parige Augen hervorhebt. Auf diese müssen nun -- so soll w bestimmt werden -- sowol bei ww als bei wnwn lauter Leerstellen fallen. Im Hinblick auf die Schemata Fig. 20 des § 9, wenn wir uns diese für ein Relativ w statt a aufgestellt denken, gibt dies zwei Bedingungen.
Um der erstern Forderung zu entsprechen, müssen auf die Stellen der parigen Augen von a bei w fallen: entweder unparig besetzte oder Leer- stellen, d. i. Stellen von den Kategorieen 2) oder 3) der ersten Fig. 19.
Um aber der zweiten Forderung zu entsprechen, müssen ebenhierauf bei w fallen: entweder parig besetzte oder unparig besetzte Stellen, d. i. solche von den Kategorieen 1) oder 2) genannter Figur.
Folglich müssen, um beiden Forderungen zugleich zu entsprechen, bei w ebendahin fallen: Stellen der Kategorie 2) jener Figur, das ist: un- parig besetzte Stellen.
Wir werden sonach die allgemeinste Wurzel w der Gleichung 28) er- halten indem wir, sie aus zwei Teilen zusammensetzend, erstens aa multi- pliziren mit dem allgemeinsten Relativ o mit lauter unparig besetzten Stellen, zweitens hinzufügen das Negat an + an von aa, multiplizirt mit einem beliebigen Relativ u, sodass gefunden ist:
20*
§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.
ω = 1'u + uū̆ + (u + ū̆)g, ω̄ = ūŭ + (ū + 0'ŭ)ḡ, ω̆ = 1'u + ūŭ + (ū + ŭ)ğ, ω̄̆ = uū̆ + (u + 0'ū̆)ḡ̆. Und damit wird: ωω̆ = 1'u + (uŭ + ūū̆)gğ, ω̄ω̄̆ = 0'(uŭ + ūū̆)ḡḡ̆, also wegen 30) in der That 0'(ωω̆ + ω̄ω̄̆) = 0, d. h. die Probe 1 stimmt mit unsrer Lösung.
Noch schneller konnte man sie in der Form 0'ω̄̆ = 0'ω aus 0'ḡ̆ = 0'g bewahrheiten.
Es stimmt aber auch die Probe 2: unser Resultat ist fähig jede ge- wünschte Lösung zu liefern. Denn ist u von vornherein eine solche, mithin jedenfalls 0'u = 0'ū̆, so haben wir auch 0'u = 0'ū̆ = 0'uū̆ = uū̆, also 1'u + uū̆ = 1'u + 0'u = u und muss ω = u selbst werden, indem dessen letztes Glied (u + ū̆)g = (0'u + 0'ū̆)g = 0'ug im ersten u dann eingeht, von ihm absorbirt wird.
Somit ist etablirt der Satz: 31)
[Formel 1]
, wo g wie über 30) definirt ist, d. h. (irgend) eine spezielle Wurzel der Gleichung linkerhand vorstellt — und die Aufgabe 29) ist gelöst.
Um nun von hier zur vollständigen Lösung der allgemeinern Auf- gabe 28) zu gelangen: 0'aă(ww̆ + w̄w̄̆) = 0, bemerken wir, dass (vergl. § 9) der erste Faktor 0'aă aus dem unter 0' enthaltenen, sonst irgendwie gegebnen Relativ a lediglich dessen parige Augen hervorhebt. Auf diese müssen nun — so soll w bestimmt werden — sowol bei ww̆ als bei w̄w̄̆ lauter Leerstellen fallen. Im Hinblick auf die Schemata Fig. 20 des § 9, wenn wir uns diese für ein Relativ w statt a aufgestellt denken, gibt dies zwei Bedingungen.
Um der erstern Forderung zu entsprechen, müssen auf die Stellen der parigen Augen von a bei w fallen: entweder unparig besetzte oder Leer- stellen, d. i. Stellen von den Kategorieen 2) oder 3) der ersten Fig. 19.
Um aber der zweiten Forderung zu entsprechen, müssen ebenhierauf bei w fallen: entweder parig besetzte oder unparig besetzte Stellen, d. i. solche von den Kategorieen 1) oder 2) genannter Figur.
Folglich müssen, um beiden Forderungen zugleich zu entsprechen, bei w ebendahin fallen: Stellen der Kategorie 2) jener Figur, das ist: un- parig besetzte Stellen.
Wir werden sonach die allgemeinste Wurzel w der Gleichung 28) er- halten indem wir, sie aus zwei Teilen zusammensetzend, erstens aă multi- pliziren mit dem allgemeinsten Relativ ω mit lauter unparig besetzten Stellen, zweitens hinzufügen das Negat ā + ā̆ von aă, multiplizirt mit einem beliebigen Relativ u, sodass gefunden ist:
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[307/0321]
§ 21. Erste Stufe der Probleme in 3 Buchstaben.
ω = 1'u + uū̆ + (u + ū̆)g, ω̄ = ūŭ + (ū + 0'ŭ)ḡ,
ω̆ = 1'u + ūŭ + (ū + ŭ)ğ, ω̄̆ = uū̆ + (u + 0'ū̆)ḡ̆.
Und damit wird:
ωω̆ = 1'u + (uŭ + ūū̆)gğ, ω̄ω̄̆ = 0'(uŭ + ūū̆)ḡḡ̆,
also wegen 30) in der That 0'(ωω̆ + ω̄ω̄̆) = 0, d. h. die Probe 1 stimmt
mit unsrer Lösung.
Noch schneller konnte man sie in der Form 0'ω̄̆ = 0'ω aus 0'ḡ̆ = 0'g
bewahrheiten.
Es stimmt aber auch die Probe 2: unser Resultat ist fähig jede ge-
wünschte Lösung zu liefern. Denn ist u von vornherein eine solche, mithin
jedenfalls 0'u = 0'ū̆, so haben wir auch
0'u = 0'ū̆ = 0'uū̆ = uū̆,
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letztes Glied (u + ū̆)g = (0'u + 0'ū̆)g = 0'ug im ersten u dann eingeht,
von ihm absorbirt wird.
Somit ist etablirt der Satz:
31) [FORMEL],
wo g wie über 30) definirt ist, d. h. (irgend) eine spezielle Wurzel der
Gleichung linkerhand vorstellt — und die Aufgabe 29) ist gelöst.
Um nun von hier zur vollständigen Lösung der allgemeinern Auf-
gabe 28) zu gelangen:
0'aă(ww̆ + w̄w̄̆) = 0,
bemerken wir, dass (vergl. § 9) der erste Faktor 0'aă aus dem unter 0'
enthaltenen, sonst irgendwie gegebnen Relativ a lediglich dessen parige
Augen hervorhebt. Auf diese müssen nun — so soll w bestimmt werden —
sowol bei ww̆ als bei w̄w̄̆ lauter Leerstellen fallen. Im Hinblick auf die
Schemata Fig. 20 des § 9, wenn wir uns diese für ein Relativ w statt a
aufgestellt denken, gibt dies zwei Bedingungen.
Um der erstern Forderung zu entsprechen, müssen auf die Stellen der
parigen Augen von a bei w fallen: entweder unparig besetzte oder Leer-
stellen, d. i. Stellen von den Kategorieen 2) oder 3) der ersten Fig. 19.
Um aber der zweiten Forderung zu entsprechen, müssen ebenhierauf
bei w fallen: entweder parig besetzte oder unparig besetzte Stellen, d. i.
solche von den Kategorieen 1) oder 2) genannter Figur.
Folglich müssen, um beiden Forderungen zugleich zu entsprechen,
bei w ebendahin fallen: Stellen der Kategorie 2) jener Figur, das ist: un-
parig besetzte Stellen.
Wir werden sonach die allgemeinste Wurzel w der Gleichung 28) er-
halten indem wir, sie aus zwei Teilen zusammensetzend, erstens aă multi-
pliziren mit dem allgemeinsten Relativ ω mit lauter unparig besetzten
Stellen, zweitens hinzufügen das Negat ā + ā̆ von aă, multiplizirt mit
einem beliebigen Relativ u, sodass gefunden ist:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 307. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/321>, abgerufen am 16.06.2024.
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