[Eine vierte Behauptung sagt, es sei b = a ; d + cdn und eine fünfte (die letzte) fügt hinzu, dass, falls obendrein b = a ; c ist, auch sein müsse cdna ; cdn.
Diese beiden Behauptungen gelten jedenfalls nicht mit der gleichen Allgemeinheit wie die übrigen schon für beliebige binäre Relative. Sie wären vom "zweiten Teile" der Dedekind'schen Schrift -- nach meiner Abgrenzung desselben -- eigentlich auszuschliessen gewesen. Und es ist hier nicht der Ort, ihre Geltung für eindeutige Abbildungen a und Systeme b, c zu prüfen.] --
Zu allerletzt -- die Wissenschaft ist ja unendlich! -- noch etwas Neues:
Für die Ketten gelten auch die Sätze: 39)
[Formel 1]
welche äusserst leicht aus ihrem Bildungsgesetze zu beweisen sind -- vergl. 6) des § 22 S. 325. Ist a 1', so auch a ; a 1' ; 1' = 1', etc. Dazu: 40)
[Formel 2]
Die Kette von a ist mithin einerlei mit der Kette von 0'a, d. i. des Alioteils von a.
Beweis auf verschiedne Arten möglich; am einfachsten aufgrund von 15) S. 365 mit a0 = (1' + a)infinity = (1' + 0'a)infinity = (0'a)0.
Mit den gelösten Auflösungsproblemen haben natürlich -- im Ein- klang mit S. 174 sq. -- auch einige Eliminationsprobleme ihre Lösung gefunden. Namentlich muss in den folgenden Aussagensubsumtionen: 41) (x00 = a) (a ; aa) = (a00 = a), 42) (x0 = a) (a0 = a), (a = 1' + y)(y ; yy) (a0 = a) die rechte Seite uns die volle Resultante der Elimination von x resp. y aus der linken vorstellen.
Beweis auch direkt leicht zu führen:
Da nach 5) S. 361: x00 ; x00x00, so folgt durch Einsetzung aus der Prämisse von 41) zunächst die Behauptung a ; aa als "eine" Resultante. Diese ist nach D 51 äquivalent mit der a0 ; a = a, d. h. mit der letzten Gleichung in 41), und letztre lässt erkennen, dass, wenn sie erfüllt, auch x = a eine Wurzel der Gleichung x00 = a sein wird, dass unsre Resultante mithin die volle gewesen.
Hienach deckt sich überhaupt der Begriff einer Bildkette mit dem eines transitiven Relativs.
26*
§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
[Eine vierte Behauptung sagt, es sei b = a ; d + cd̄ und eine fünfte (die letzte) fügt hinzu, dass, falls obendrein b = a ; c ist, auch sein müsse cd̄⋹a ; cd̄.
Diese beiden Behauptungen gelten jedenfalls nicht mit der gleichen Allgemeinheit wie die übrigen schon für beliebige binäre Relative. Sie wären vom „zweiten Teile“ der Dedekind’schen Schrift — nach meiner Abgrenzung desselben — eigentlich auszuschliessen gewesen. Und es ist hier nicht der Ort, ihre Geltung für eindeutige Abbildungen a und Systeme b, c zu prüfen.] —
Zu allerletzt — die Wissenschaft ist ja unendlich! — noch etwas Neues:
Für die Ketten gelten auch die Sätze: 39)
[Formel 1]
welche äusserst leicht aus ihrem Bildungsgesetze zu beweisen sind — vergl. 6) des § 22 S. 325. Ist a ⋹ 1', so auch a ; a ⋹ 1' ; 1' = 1', etc. Dazu: 40)
[Formel 2]
Die Kette von a ist mithin einerlei mit der Kette von 0'a, d. i. des Alioteils von a.
Beweis auf verschiedne Arten möglich; am einfachsten aufgrund von 15) S. 365 mit a0 = (1' + a)∞ = (1' + 0'a)∞ = (0'a)0.
Mit den gelösten Auflösungsproblemen haben natürlich — im Ein- klang mit S. 174 sq. — auch einige Eliminationsprobleme ihre Lösung gefunden. Namentlich muss in den folgenden Aussagensubsumtionen: 41) (x00 = a) ⋹ (a ; a ⋹ a) = (a00 = a), 42) (x0 = a) ⋹ (a0 = a), (a = 1' + y)(y ; y ⋹ y) ⋹ (a0 = a) die rechte Seite uns die volle Resultante der Elimination von x resp. y aus der linken vorstellen.
Beweis auch direkt leicht zu führen:
Da nach 5) S. 361: x00 ; x00 ⋹ x00, so folgt durch Einsetzung aus der Prämisse von 41) zunächst die Behauptung a ; a ⋹ a als „eine“ Resultante. Diese ist nach D 51 äquivalent mit der a0 ; a = a, d. h. mit der letzten Gleichung in 41), und letztre lässt erkennen, dass, wenn sie erfüllt, auch x = a eine Wurzel der Gleichung x00 = a sein wird, dass unsre Resultante mithin die volle gewesen.
Hienach deckt sich überhaupt der Begriff einer Bildkette mit dem eines transitiven Relativs.
26*
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0417"n="403"/><fwplace="top"type="header">§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.</fw><lb/><p>[Eine vierte Behauptung sagt, es sei<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">d</hi> + <hirendition="#i">cd̄</hi></hi><lb/>
und eine fünfte (die letzte) fügt hinzu, dass, <hirendition="#i">falls</hi> obendrein <hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">c</hi> ist,<lb/>
auch sein müsse<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">cd̄</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">cd̄</hi>.</hi></p><lb/><p>Diese beiden Behauptungen gelten jedenfalls nicht mit der gleichen<lb/>
Allgemeinheit wie die übrigen schon für beliebige binäre Relative. Sie<lb/>
wären vom „zweiten Teile“ der <hirendition="#g">Dedekind’</hi>schen Schrift — nach meiner<lb/>
Abgrenzung desselben — eigentlich auszuschliessen gewesen. Und es ist<lb/>
hier nicht der Ort, ihre Geltung für eindeutige Abbildungen <hirendition="#i">a</hi> und Systeme<lb/><hirendition="#i">b</hi>, <hirendition="#i">c</hi> zu prüfen.] —</p><lb/><p>Zu allerletzt — die Wissenschaft ist ja unendlich! — noch etwas<lb/>
Neues:</p><lb/><p>Für die Ketten gelten auch die <hirendition="#g">Sätze</hi>:<lb/>
39) <formula/><lb/>
welche äusserst leicht aus ihrem Bildungsgesetze zu beweisen sind —<lb/>
vergl. 6) des § 22 S. 325. Ist <hirendition="#i">a</hi>⋹ 1', so auch <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi>⋹ 1' ; 1' = 1', etc. Dazu:<lb/>
40) <formula/><lb/></p><p><hirendition="#i">Die Kette von a ist</hi> mithin <hirendition="#i">einerlei mit der Kette von</hi> 0'<hirendition="#i">a</hi>, d. i. des<lb/>
Alioteils von <hirendition="#i">a</hi>.</p><lb/><p><hirendition="#g">Beweis</hi> auf verschiedne Arten möglich; am einfachsten aufgrund<lb/>
von 15) S. 365 mit<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> = (1' + <hirendition="#i">a</hi>)<hirendition="#sup">∞</hi> = (1' + 0'<hirendition="#i">a</hi>)<hirendition="#sup">∞</hi> = (0'<hirendition="#i">a</hi>)<hirendition="#sub">0</hi>.</hi></p><lb/><p>Mit den gelösten Auflösungsproblemen haben natürlich — im Ein-<lb/>
klang mit S. 174 sq. — auch einige Eliminationsprobleme ihre Lösung<lb/>
gefunden. Namentlich muss in den folgenden Aussagensubsumtionen:<lb/>
41) <hirendition="#et">(<hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">00</hi> = <hirendition="#i">a</hi>) ⋹ (<hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi>) = (<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">00</hi> = <hirendition="#i">a</hi>),</hi><lb/>
42) (<hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">0</hi> = <hirendition="#i">a</hi>) ⋹ (<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> = <hirendition="#i">a</hi>), (<hirendition="#i">a</hi> = 1' + <hirendition="#i">y</hi>)(<hirendition="#i">y</hi> ; <hirendition="#i">y</hi>⋹<hirendition="#i">y</hi>) ⋹ (<hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> = <hirendition="#i">a</hi>)<lb/>
die rechte Seite uns die volle Resultante der Elimination von <hirendition="#i">x</hi> resp. <hirendition="#i">y</hi><lb/>
aus der linken vorstellen.</p><lb/><p><hirendition="#g">Beweis</hi> auch direkt leicht zu führen:</p><lb/><p>Da nach 5) S. 361: <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">00</hi> ; <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">00</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">00</hi>, so folgt durch Einsetzung aus der<lb/>
Prämisse von 41) zunächst die Behauptung <hirendition="#i">a</hi> ; <hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">a</hi> als „eine“ Resultante.<lb/>
Diese ist nach <hirendition="#fr">D</hi> 51 äquivalent mit der <hirendition="#i">a</hi><hirendition="#sub">0</hi> ; <hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">a</hi>, d. h. mit der letzten<lb/>
Gleichung in 41), und letztre lässt erkennen, dass, wenn sie erfüllt, auch<lb/><hirendition="#i">x</hi> = <hirendition="#i">a</hi> eine Wurzel der Gleichung <hirendition="#i">x</hi><hirendition="#sub">00</hi> = <hirendition="#i">a</hi> sein wird, dass unsre Resultante<lb/>
mithin die volle gewesen.</p><lb/><p>Hienach <hirendition="#i">deckt sich</hi> überhaupt <hirendition="#i">der Begriff einer Bildkette mit dem<lb/>
eines transitiven Relativs</hi>.</p><lb/><fwplace="bottom"type="sig">26*</fw><lb/></div></div></body></text></TEI>
[403/0417]
§ 24. Nebenstudien zur Kettentheorie.
[Eine vierte Behauptung sagt, es sei
b = a ; d + cd̄
und eine fünfte (die letzte) fügt hinzu, dass, falls obendrein b = a ; c ist,
auch sein müsse
cd̄⋹a ; cd̄.
Diese beiden Behauptungen gelten jedenfalls nicht mit der gleichen
Allgemeinheit wie die übrigen schon für beliebige binäre Relative. Sie
wären vom „zweiten Teile“ der Dedekind’schen Schrift — nach meiner
Abgrenzung desselben — eigentlich auszuschliessen gewesen. Und es ist
hier nicht der Ort, ihre Geltung für eindeutige Abbildungen a und Systeme
b, c zu prüfen.] —
Zu allerletzt — die Wissenschaft ist ja unendlich! — noch etwas
Neues:
Für die Ketten gelten auch die Sätze:
39) [FORMEL]
welche äusserst leicht aus ihrem Bildungsgesetze zu beweisen sind —
vergl. 6) des § 22 S. 325. Ist a ⋹ 1', so auch a ; a ⋹ 1' ; 1' = 1', etc. Dazu:
40) [FORMEL]
Die Kette von a ist mithin einerlei mit der Kette von 0'a, d. i. des
Alioteils von a.
Beweis auf verschiedne Arten möglich; am einfachsten aufgrund
von 15) S. 365 mit
a0 = (1' + a)∞ = (1' + 0'a)∞ = (0'a)0.
Mit den gelösten Auflösungsproblemen haben natürlich — im Ein-
klang mit S. 174 sq. — auch einige Eliminationsprobleme ihre Lösung
gefunden. Namentlich muss in den folgenden Aussagensubsumtionen:
41) (x00 = a) ⋹ (a ; a ⋹ a) = (a00 = a),
42) (x0 = a) ⋹ (a0 = a), (a = 1' + y)(y ; y ⋹ y) ⋹ (a0 = a)
die rechte Seite uns die volle Resultante der Elimination von x resp. y
aus der linken vorstellen.
Beweis auch direkt leicht zu führen:
Da nach 5) S. 361: x00 ; x00 ⋹ x00, so folgt durch Einsetzung aus der
Prämisse von 41) zunächst die Behauptung a ; a ⋹ a als „eine“ Resultante.
Diese ist nach D 51 äquivalent mit der a0 ; a = a, d. h. mit der letzten
Gleichung in 41), und letztre lässt erkennen, dass, wenn sie erfüllt, auch
x = a eine Wurzel der Gleichung x00 = a sein wird, dass unsre Resultante
mithin die volle gewesen.
Hienach deckt sich überhaupt der Begriff einer Bildkette mit dem
eines transitiven Relativs.
26*
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 403. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/417>, abgerufen am 30.04.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.
