Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

Bild:
<< vorherige Seite

gleich Null. Ueberdiess wird sie in den und nur in den , dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine überall endliche Function. Die gesuchte Function ist also in der Gestalt darstellbar:

womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben.

Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich thut, der Lehre von der Partialbruchzerlegung rationaler Functionen entnahmen.

§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen.

Die Functionen , welche wir auf unseren Flächen studieren, sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicitätsmodul mit sich, andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln an den Querschnitten , deren reelle Theile wir willkürlich annehmen konnten. Ich sage nun, dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von in der That erschöpft ist. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen, den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten. Da die Differentialquotienten von u und v (oder, was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung) auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei Durchlaufung denselben Zuwachs von u, wie von v. Nun fanden wir aber, dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der Querschnitte aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (§. 10), dass die Durchlaufung von denjenigen Periodicitätsmodul liefert, welcher der Ueberschreitung von entspricht, und umgekehrt. Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise.

Es wird uns nun insbesondere interessiren, eindeutige

gleich Null. Ueberdiess wird sie in den und nur in den , dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine überall endliche Function. Die gesuchte Function ist also in der Gestalt darstellbar:

womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben.

Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich thut, der Lehre von der Partialbruchzerlegung rationaler Functionen entnahmen.

§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen.

Die Functionen , welche wir auf unseren Flächen studieren, sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicitätsmodul mit sich, andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln an den Querschnitten , deren reelle Theile wir willkürlich annehmen konnten. Ich sage nun, dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von in der That erschöpft ist. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen, den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten. Da die Differentialquotienten von u und v (oder, was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung) auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei Durchlaufung denselben Zuwachs von u, wie von v. Nun fanden wir aber, dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der Querschnitte aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (§. 10), dass die Durchlaufung von denjenigen Periodicitätsmodul liefert, welcher der Ueberschreitung von entspricht, und umgekehrt. Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise.

Es wird uns nun insbesondere interessiren, eindeutige

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div>
          <p><pb facs="#f0051" n="43"/>
gleich Null. Ueberdiess wird sie in den <formula notation="TeX">\xi</formula> und nur in den <formula notation="TeX">\xi</formula>,
 dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie unterscheidet
 sich also von der gesuchten Function nur um eine
 überall endliche Function. <hi rendition="#i">Die gesuchte Function ist also in
 der Gestalt darstellbar:</hi><lb/><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[
 F_1 + F_2 + \cdots F_{\mu} + c_1 w_1 + c_2 w_2 + \cdots c_p w_p + C,
 \]
 </formula><lb/>
womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende
 Theorem gefunden haben.</p>
          <p>Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir
 in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen
 betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich
 thut, der Lehre von der <hi rendition="#i">Partialbruchzerlegung rationaler
 Functionen</hi> entnahmen.</p>
        </div>
        <div>
          <head>§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen.</head><lb/>
          <p>Die Functionen <formula notation="TeX">u + iv</formula>, welche wir auf unseren Flächen
 studieren, sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal
 bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen
 Periodicitätsmodul mit sich, andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln
 an den <formula notation="TeX">2p</formula> Querschnitten <formula notation="TeX">A_i, B_i</formula>, deren reelle
 Theile wir willkürlich annehmen konnten. Ich sage nun, <hi rendition="#i">dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von <formula notation="TeX">u + iv</formula> in der
 That erschöpft ist</hi>. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff
 der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen,
 den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten.
 Da die Differentialquotienten von <hi rendition="#i">u</hi> und <hi rendition="#i">v</hi> (oder,
 was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung)
 auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei
 aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen
 Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei Durchlaufung
 denselben Zuwachs von <hi rendition="#i">u</hi>, wie von <hi rendition="#i">v</hi>. Nun fanden wir aber,
 dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination
 der Querschnitte <formula notation="TeX">A_i B_i</formula> aequivalent ist. Wir bemerkten
 ferner (§. 10), dass die Durchlaufung von <formula notation="TeX">A_i</formula> denjenigen
 Periodicitätsmodul
 liefert, welcher der Ueberschreitung von <formula notation="TeX">B_i</formula>
 entspricht, und umgekehrt. Hieraus aber folgt das ausgesprochene
 Theorem in bekannter Weise.</p>
          <p>Es wird uns nun insbesondere interessiren, <hi rendition="#i">eindeutige</hi> </p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[43/0051] gleich Null. Ueberdiess wird sie in den [FORMEL] und nur in den [FORMEL], dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine überall endliche Function. Die gesuchte Function ist also in der Gestalt darstellbar: [FORMEL] womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben. Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich thut, der Lehre von der Partialbruchzerlegung rationaler Functionen entnahmen. §. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen. Die Functionen [FORMEL], welche wir auf unseren Flächen studieren, sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicitätsmodul mit sich, andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln an den [FORMEL] Querschnitten [FORMEL], deren reelle Theile wir willkürlich annehmen konnten. Ich sage nun, dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von [FORMEL] in der That erschöpft ist. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen, den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten. Da die Differentialquotienten von u und v (oder, was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung) auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei Durchlaufung denselben Zuwachs von u, wie von v. Nun fanden wir aber, dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der Querschnitte [FORMEL] aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (§. 10), dass die Durchlaufung von [FORMEL] denjenigen Periodicitätsmodul liefert, welcher der Ueberschreitung von [FORMEL] entspricht, und umgekehrt. Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise. Es wird uns nun insbesondere interessiren, eindeutige

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde im Rahmen des Moduls DTA-Erweiterungen (DTAE) digitalisiert. Weitere Informationen …

gutenberg.org: Bereitstellung der Texttranskription und Auszeichnung in HTML. (2012-11-06T13:54:31Z) Bitte beachten Sie, dass die aktuelle Transkription (und Textauszeichnung) mittlerweile nicht mehr dem Stand zum Zeitpunkt der Übernahme aus gutenberg.org entsprechen muss.
gutenberg.org: Bereitstellung der Bilddigitalisate (2012-11-06T13:54:31Z)
Frank Wiegand: Konvertierung von HTML nach XML/TEI gemäß DTA-Basisformat. (2012-11-06T13:54:31Z)

Weitere Informationen:

Anmerkungen zur Transkription:

  • Schreibweise und Interpunktion des Originaltextes wurden übernommen.
  • Der Zeilenfall wurde nicht beibehalten, die Silbentrennung wurde aufgehoben.



Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/51
Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 43. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/51>, abgerufen am 19.03.2024.