Anmelden (DTAQ)

DWDS dlexDB CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

Fünfte Vorlesung.

der Fall. Über Zweck, Sinn und Verwendungsweise dieses Elementes
der Zeichensprache, welches für die Erzielung knapper Ausdrucks-
formen so hoch wichtig ist, im Grunde jedoch -- zur Not -- ent-
behrt werden könnte, möge auf den Exkurs über Klammern in An-
hang 2 verwiesen sein.

Beweis des Theorems. Nach 6x) resp. 6+) ist:

b c c und a (b c) b c,	c b + c und b + c a + (b + c)
folglich nach II:	somit nach II:
a (b c) c.	c a + (b + c).
Ebenso ergibt aus	Ebenso ist:
b c b und a (b c) b c	b b + c, b + c a + (b + c),
sich auch:	somit:
a (b c) b.	b a + (b + c).
Endlich ist nach 6x) unmittelbar:	Endlich ist nach 6+) unmittelbar:
a (b c) a.	a a + (b + c).
Aus dieser letzten und der vorher- gehenden Subsumtion folgt nach Def. (3x)': a (b c) a b	Aus dieser und der vorhergehenden Subsumtion folgt nach (3+)': a + b a + (b + c)
und hieraus, in Verbindung mit der vorher erwiesenen Subsumtion [a (b c) c] folgt ebenso:	und hieraus, in Verbindung mit der zuerst konstatirten Subsumtion c a + (b + c) folgt ebenso:
a (b c) (a b) c.	(a + b) + c a + (b + c).

Analog zeigt man, dass umgekehrt:

(a b) c a (b c)

a + (b + c) (a + b) + c

ist, womit sich dann die Gleichheit der beiderseitigen Ausdrücke nach
Def. (1) bewiesen findet.

In der That ist nach 6x):	Man hat nämlich nach 6+):
(a b) c a b, desgl. a b a	a a + b, a + b (a + b) + c,
folglich a fortiori:	folglich
(a b) c a.	a (a + b) + c.
Aus	Ebenso
(a b) c a b und a b b	b a + b, a + b (a + b) + c,
folgt ebenso:	woraus:
(a b) c b.	b (a + b) + c.
Endlich ist nach 6x) direkt:	Endlich nach 6+) direkt:
(a b) c c.	c (a + b) + c.

Fünfte Vorlesung.

der Fall. Über Zweck, Sinn und Verwendungsweise dieses Elementes
der Zeichensprache, welches für die Erzielung knapper Ausdrucks-
formen so hoch wichtig ist, im Grunde jedoch — zur Not — ent-
behrt werden könnte, möge auf den Exkurs über Klammern in An-
hang 2 verwiesen sein.

Beweis des Theorems. Nach 6×) resp. 6+) ist:

b c ⋹ c und a (b c) ⋹ b c,	c ⋹ b + c und b + c ⋹ a + (b + c)
folglich nach II:	somit nach II:
a (b c) ⋹ c.	c ⋹ a + (b + c).
Ebenso ergibt aus	Ebenso ist:
b c ⋹ b und a (b c) ⋹ b c	b ⋹ b + c, b + c ⋹ a + (b + c),
sich auch:	somit:
a (b c) ⋹ b.	b ⋹ a + (b + c).
Endlich ist nach 6×) unmittelbar:	Endlich ist nach 6+) unmittelbar:
a (b c) ⋹ a.	a ⋹ a + (b + c).
Aus dieser letzten und der vorher- gehenden Subsumtion folgt nach Def. (3×)': a (b c) ⋹ a b	Aus dieser und der vorhergehenden Subsumtion folgt nach (3+)': a + b ⋹ a + (b + c)
und hieraus, in Verbindung mit der vorher erwiesenen Subsumtion [a (b c) ⋹ c] folgt ebenso:	und hieraus, in Verbindung mit der zuerst konstatirten Subsumtion c ⋹ a + (b + c) folgt ebenso:
a (b c) ⋹ (a b) c.	(a + b) + c ⋹ a + (b + c).

Analog zeigt man, dass umgekehrt:

(a b) c ⋹ a (b c)

a + (b + c) ⋹ (a + b) + c

ist, womit sich dann die Gleichheit der beiderseitigen Ausdrücke nach
Def. (1) bewiesen findet.

In der That ist nach 6×):	Man hat nämlich nach 6+):
(a b) c ⋹ a b, desgl. a b ⋹ a	a ⋹ a + b, a + b ⋹ (a + b) + c,
folglich a fortiori:	folglich
(a b) c ⋹ a.	a ⋹ (a + b) + c.
Aus	Ebenso
(a b) c ⋹ a b und a b ⋹ b	b ⋹ a + b, a + b ⋹ (a + b) + c,
folgt ebenso:	woraus:
(a b) c ⋹ b.	b ⋹ (a + b) + c.
Endlich ist nach 6×) direkt:	Endlich nach 6+) direkt:
(a b) c ⋹ c.	c ⋹ (a + b) + c.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0276" n="256"/><fw place="top" type="header">Fünfte Vorlesung.</fw><lb/>
der Fall. Über Zweck, Sinn und Verwendungsweise dieses Elementes<lb/>
der Zeichensprache, welches für die Erzielung knapper Ausdrucks-<lb/>
formen so hoch wichtig ist, im Grunde jedoch &#x2014; zur Not &#x2014; ent-<lb/>
behrt werden könnte, möge auf den Exkurs über Klammern in An-<lb/>
hang 2 verwiesen sein.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweis des Theorems</hi>. Nach 6<hi rendition="#sub">×</hi>) resp. 6<hi rendition="#sub">+</hi>) ist:<lb/><table><row><cell><hi rendition="#i">b c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi> und <hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi>) &#x22F9; <hi rendition="#i">b c</hi>,</cell><cell><hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>)</cell></row><lb/><row><cell>folglich nach II:</cell><cell>somit nach II:</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi>) &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>.</cell><cell><hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>).</cell></row><lb/><row><cell>Ebenso ergibt aus</cell><cell>Ebenso ist:</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">b c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> und <hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi>) &#x22F9; <hi rendition="#i">b c</hi></cell><cell><hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>),</cell></row><lb/><row><cell>sich auch:</cell><cell>somit:</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi>) &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>.</cell><cell><hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>).</cell></row><lb/><row><cell>Endlich ist nach 6<hi rendition="#sub">×</hi>) unmittelbar:</cell><cell>Endlich ist nach 6<hi rendition="#sub">+</hi>) unmittelbar:</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi>) &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi>.</cell><cell><hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>).</cell></row><lb/><row><cell>Aus dieser letzten und der vorher-<lb/>
gehenden Subsumtion folgt nach<lb/>
Def. (3<hi rendition="#sub">×</hi>)': <hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi>) &#x22F9; <hi rendition="#i">a b</hi></cell><cell>Aus dieser und der vorhergehenden<lb/>
Subsumtion folgt nach (3<hi rendition="#sub">+</hi>)':<lb/><hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>)</cell></row><lb/><row><cell>und hieraus, in Verbindung mit<lb/>
der vorher erwiesenen Subsumtion<lb/>
[<hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi>) &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>] folgt ebenso:</cell><cell>und hieraus, in Verbindung mit<lb/>
der zuerst konstatirten Subsumtion<lb/><hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) folgt ebenso:</cell></row><lb/><row><cell><hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi>) &#x22F9; (<hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi>.</cell><cell>(<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>).</cell></row><lb/></table></p>
          <p>Analog zeigt man, dass umgekehrt:<lb/><table><row><cell>(<hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> (<hi rendition="#i">b c</hi>)</cell><cell><hi rendition="#i">a</hi> + (<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi>) &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">c</hi></cell></row><lb/></table> ist, womit sich dann die Gleichheit der beiderseitigen Ausdrücke nach<lb/>
Def. (1) bewiesen findet.</p><lb/>
          <table>
            <row>
              <cell>In der That ist nach 6<hi rendition="#sub">×</hi>):</cell>
              <cell>Man hat nämlich nach 6<hi rendition="#sub">+</hi>):</cell>
            </row><lb/>
            <row>
              <cell>(<hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a b</hi>, desgl. <hi rendition="#i">a b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi></cell>
              <cell><hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">c</hi>,</cell>
            </row><lb/>
            <row>
              <cell>folglich a fortiori:</cell>
              <cell>folglich</cell>
            </row><lb/>
            <row>
              <cell>(<hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi>.</cell>
              <cell><hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">c</hi>.</cell>
            </row><lb/>
            <row>
              <cell>Aus</cell>
              <cell>Ebenso</cell>
            </row><lb/>
            <row>
              <cell>(<hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a b</hi> und <hi rendition="#i">a b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi></cell>
              <cell><hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">c</hi>,</cell>
            </row><lb/>
            <row>
              <cell>folgt ebenso:</cell>
              <cell>woraus:</cell>
            </row><lb/>
            <row>
              <cell>(<hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>.</cell>
              <cell><hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">c</hi>.</cell>
            </row><lb/>
            <row>
              <cell>Endlich ist nach 6<hi rendition="#sub">×</hi>) direkt:</cell>
              <cell>Endlich nach 6<hi rendition="#sub">+</hi>) direkt:</cell>
            </row><lb/>
            <row>
              <cell>(<hi rendition="#i">a b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">c</hi>.</cell>
              <cell><hi rendition="#i">c</hi> &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) + <hi rendition="#i">c</hi>.</cell>
            </row><lb/>
          </table>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[256/0276] Fünfte Vorlesung. der Fall. Über Zweck, Sinn und Verwendungsweise dieses Elementes der Zeichensprache, welches für die Erzielung knapper Ausdrucks- formen so hoch wichtig ist, im Grunde jedoch — zur Not — ent- behrt werden könnte, möge auf den Exkurs über Klammern in An- hang 2 verwiesen sein. Beweis des Theorems. Nach 6×) resp. 6+) ist: b c ⋹ c und a (b c) ⋹ b c, c ⋹ b + c und b + c ⋹ a + (b + c) folglich nach II: somit nach II: a (b c) ⋹ c. c ⋹ a + (b + c). Ebenso ergibt aus Ebenso ist: b c ⋹ b und a (b c) ⋹ b c b ⋹ b + c, b + c ⋹ a + (b + c), sich auch: somit: a (b c) ⋹ b. b ⋹ a + (b + c). Endlich ist nach 6×) unmittelbar: Endlich ist nach 6+) unmittelbar: a (b c) ⋹ a. a ⋹ a + (b + c). Aus dieser letzten und der vorher- gehenden Subsumtion folgt nach Def. (3×)': a (b c) ⋹ a b Aus dieser und der vorhergehenden Subsumtion folgt nach (3+)': a + b ⋹ a + (b + c) und hieraus, in Verbindung mit der vorher erwiesenen Subsumtion [a (b c) ⋹ c] folgt ebenso: und hieraus, in Verbindung mit der zuerst konstatirten Subsumtion c ⋹ a + (b + c) folgt ebenso: a (b c) ⋹ (a b) c. (a + b) + c ⋹ a + (b + c). Analog zeigt man, dass umgekehrt: (a b) c ⋹ a (b c) a + (b + c) ⋹ (a + b) + c ist, womit sich dann die Gleichheit der beiderseitigen Ausdrücke nach Def. (1) bewiesen findet. In der That ist nach 6×): Man hat nämlich nach 6+): (a b) c ⋹ a b, desgl. a b ⋹ a a ⋹ a + b, a + b ⋹ (a + b) + c, folglich a fortiori: folglich (a b) c ⋹ a. a ⋹ (a + b) + c. Aus Ebenso (a b) c ⋹ a b und a b ⋹ b b ⋹ a + b, a + b ⋹ (a + b) + c, folgt ebenso: woraus: (a b) c ⋹ b. b ⋹ (a + b) + c. Endlich ist nach 6×) direkt: Endlich nach 6+) direkt: (a b) c ⋹ c. c ⋹ (a + b) + c.

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/276
Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 256. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/276>, abgerufen am 26.04.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.