Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.
Anmerkungen des Herausgebers. Dem entsprechend ist auch bei den auf Seite 408 und 409 folgen-den Sätzen, die von homogenen linearen Funktionen disjunkter Argu- mente handeln, die Homogenität stets besonders vorauszusetzen. Seite 413--414. Die Figuren oder sonstigen Objekte mit den Eigenschaften g werden mit denen von den Eigenschaften h in der Regel eben das gemein haben, was an Merkmalen den Komplexen g und h gemein ist (Seite 413, Absatz 2); d. h. das -- kurz so zu nennende -- "Schröder- sche" Begriffsinhalts-Produkt g h wird mit dem "Voigtschen" in häufigen Fällen übereinstimmen. Zur weiteren Verdeutlichung des Unterschiedes könnte daher vielleicht noch folgende Bemerkung dienen. Für das Voigtsche Beispiel seien mit a', b', c', d' die Begriffsumfänge bezeichnet, welche den vier Begriffsinhalten a des Rechtecks, b des Rhombus, c der vierfach und d der zweifach symmetrischen ebenen Figur der Reihe nach zukommen. Dann ist zunächst umfangslogisch (a' + c') (b' + c') = a' b' + c', = c', d. h. es gehören zu den Rechtecken a' und den vierfach symmetrischen Figuren c', sowie zugleich zur Klasse der Rhomben b' nebst wieder den vierfach symmetrischen Figuren c' ausser diesen c' nur solche Rechtecke a', welche gleichzeitig Rhomben a' b' sind, d. h. die Quadrate, und ebenso unter den Rhomben nur die Quadrate, -- welch letztere indessen bei den vierfach symmetrischen Figuren c' ohnehin schon mit inbegriffen waren. Dies lediglich dual umgeschrieben, ergibt für die "Schröder- sche" Inhaltslogik a c + b c = (a + b) c = c. (a + b) c = c gilt auch nach "Voigtscher" Auffassung. Dagegen sind zu unterscheiden der "Voigtsche" Begriff V = a c von dem, was "das Rechteck a mit allen vierfach symmetrischen Figuren c gemein hat", (nämlich die zweifache Symmetrie a c = d, Seite 411, vorletzter Absatz), -- und der "Schrödersche" Begriff S = a c dessen, "was (nur entweder) a oder c (oder auch beides zugleich) ist" (Seite 414, 1. Zeile), -- und wozu unter den zweifach symmetrischen Figuren z. B. die Rhomben nicht gehören Dem beschränkteren Umfang des letzteren Begriffes S muss ein inhaltlicher Überschuss irgend welcher Art über den ersteren Begriff V entsprechen; allein dieses Überschussmerkmal anzugeben, darin dürfte eine von den Seite 414 oben angedeuteten Schwierigkeiten bestehen. Vergl. auch Bd. 1, Seite 99 (über "inhaltslose" Begriffe). Wenn nach Seite 419 des gegenwärtigen Bandes der Verfasser mit Herrn Lüroth (und Voigt, cf. Seite 410/411) den Kernpunkt der Frage nach weiteren gruppenlogischen Beispielen in dem Umstand erblickt, "dass a + b nicht nur die Individuen der beiden Klassen a und b enthält, sondern auch noch andere", -- ein Fall, der bei der "Schröderschen" identischen Inhaltslogik nicht minder vorliegt als bei der "Voigtschen" Gruppenlogik, -- so ist dabei stillschweigend angenommen, dass das Klassen- oder Begriffsprodukt a b als gewöhnliches identisches definirt bleibt. Sind dann nämlich etwa die Individuen g1, g2, g3, ... nicht in a und nicht in b, dennoch aber in a + b enthalten, so braucht man unter c zunächst nur eben ein solches Individuum g (vergl. das Korselt- sche Beispiel 5, Seite 415--417) oder auch eine Klasse von solchen zu verstehen, damit a c = b c = 0 = a c + b c neben (a + b) c = c 0 werde; oft findet sich aber auch eine Klasse c, welche wenigstens eines oder mehrere dieser g mit a + b gemein hat, während nicht nur -- selbst- verständlich -- a c und b c, sondern dann auch a c + b c von den g frei sind. -- Wenn nun aber dem "Schröderschen" Produkt a c bezw. b c das Merkmal c (der vierfachen Symmetrie), obschon fehlend in a und b, doch derart alternativ bedingt zukommt, dass es in der Summe a c + b c wieder unbedingt auftritt, so versteht sich, wie hier der Distributions- satz statt haben kann trotz des gruppenlogischen Charakters der Begriffssumme. Anmerkungen des Herausgebers. Dem entsprechend ist auch bei den auf Seite 408 und 409 folgen-den Sätzen, die von homogenen linearen Funktionen disjunkter Argu- mente handeln, die Homogenität stets besonders vorauszusetzen. Seite 413—414. Die Figuren oder sonstigen Objekte mit den Eigenschaften g werden mit denen von den Eigenschaften h in der Regel eben das gemein haben, was an Merkmalen den Komplexen g und h gemein ist (Seite 413, Absatz 2); d. h. das — kurz so zu nennende — „Schröder- sche“ Begriffsinhalts-Produkt g h wird mit dem „Voigtschen“ in häufigen Fällen übereinstimmen. Zur weiteren Verdeutlichung des Unterschiedes könnte daher vielleicht noch folgende Bemerkung dienen. Für das Voigtsche Beispiel seien mit a', b', c', d' die Begriffsumfänge bezeichnet, welche den vier Begriffsinhalten a des Rechtecks, b des Rhombus, c der vierfach und d der zweifach symmetrischen ebenen Figur der Reihe nach zukommen. Dann ist zunächst umfangslogisch (a' + c') (b' + c') = a' b' + c', = c', d. h. es gehören zu den Rechtecken a' und den vierfach symmetrischen Figuren c', sowie zugleich zur Klasse der Rhomben b' nebst wieder den vierfach symmetrischen Figuren c' ausser diesen c' nur solche Rechtecke a', welche gleichzeitig Rhomben a' b' sind, d. h. die Quadrate, und ebenso unter den Rhomben nur die Quadrate, — welch letztere indessen bei den vierfach symmetrischen Figuren c' ohnehin schon mit inbegriffen waren. Dies lediglich dual umgeschrieben, ergibt für die „Schröder- sche“ Inhaltslogik a c + b c = (a + b) c = c. (a + b) c = c gilt auch nach „Voigtscher“ Auffassung. Dagegen sind zu unterscheiden der „Voigtsche“ Begriff V = a c von dem, was „das Rechteck a mit allen vierfach symmetrischen Figuren c gemein hat“, (nämlich die zweifache Symmetrie a c = d, Seite 411, vorletzter Absatz), — und der „Schrödersche“ Begriff S = a c dessen, „was (nur entweder) a oder c (oder auch beides zugleich) ist“ (Seite 414, 1. Zeile), — und wozu unter den zweifach symmetrischen Figuren z. B. die Rhomben nicht gehören Dem beschränkteren Umfang des letzteren Begriffes S muss ein inhaltlicher Überschuss irgend welcher Art über den ersteren Begriff V entsprechen; allein dieses Überschussmerkmal anzugeben, darin dürfte eine von den Seite 414 oben angedeuteten Schwierigkeiten bestehen. Vergl. auch Bd. 1, Seite 99 (über „inhaltslose“ Begriffe). Wenn nach Seite 419 des gegenwärtigen Bandes der Verfasser mit Herrn Lüroth (und Voigt, cf. Seite 410/411) den Kernpunkt der Frage nach weiteren gruppenlogischen Beispielen in dem Umstand erblickt, „dass a + b nicht nur die Individuen der beiden Klassen a und b enthält, sondern auch noch andere“, — ein Fall, der bei der „Schröderschen“ identischen Inhaltslogik nicht minder vorliegt als bei der „Voigtschen“ Gruppenlogik, — so ist dabei stillschweigend angenommen, dass das Klassen- oder Begriffsprodukt a b als gewöhnliches identisches definirt bleibt. Sind dann nämlich etwa die Individuen γ1, γ2, γ3, … nicht in a und nicht in b, dennoch aber in a + b enthalten, so braucht man unter c zunächst nur eben ein solches Individuum γ (vergl. das Korselt- sche Beispiel 5, Seite 415—417) oder auch eine Klasse von solchen zu verstehen, damit a c = b c = 0 = a c + b c neben (a + b) c = c ≠ 0 werde; oft findet sich aber auch eine Klasse c, welche wenigstens eines oder mehrere dieser γ mit a + b gemein hat, während nicht nur — selbst- verständlich — a c und b c, sondern dann auch a c + b c von den γ frei sind. — Wenn nun aber dem „Schröderschen“ Produkt a c bezw. b c das Merkmal c (der vierfachen Symmetrie), obschon fehlend in a und b, doch derart alternativ bedingt zukommt, dass es in der Summe a c + b c wieder unbedingt auftritt, so versteht sich, wie hier der Distributions- satz statt haben kann trotz des gruppenlogischen Charakters der Begriffssumme. <TEI> <text> <back> <div n="1"> <list> <item> <pb facs="#f0238" n="594"/> <fw place="top" type="header">Anmerkungen des Herausgebers.</fw><lb/> <hi rendition="#et">Dem entsprechend ist auch bei den auf Seite 408 und 409 folgen-<lb/> den Sätzen, die von homogenen linearen Funktionen disjunkter Argu-<lb/> mente handeln, die Homogenität stets besonders vorauszusetzen.</hi> </item><lb/> <item>Seite 413—414. Die Figuren oder sonstigen Objekte mit den Eigenschaften <hi rendition="#i">g</hi><lb/> werden mit denen von den Eigenschaften <hi rendition="#i">h</hi> in der Regel eben das<lb/> gemein haben, was an Merkmalen den Komplexen <hi rendition="#i">g</hi> und <hi rendition="#i">h</hi> gemein ist<lb/> (Seite 413, Absatz 2); d. h. das — kurz so zu nennende — „<hi rendition="#g">Schröder</hi>-<lb/> sche“ Begriffsinhalts-Produkt <hi rendition="#i">g h</hi> wird mit dem „<hi rendition="#g">Voigt</hi>schen“ in häufigen<lb/> Fällen übereinstimmen. Zur weiteren Verdeutlichung des Unterschiedes<lb/> könnte daher vielleicht noch folgende Bemerkung dienen. Für das<lb/><hi rendition="#g">Voigt</hi>sche Beispiel seien mit <hi rendition="#i">a</hi>', <hi rendition="#i">b</hi>', <hi rendition="#i">c</hi>', <hi rendition="#i">d</hi>' die Begriffsumfänge bezeichnet,<lb/> welche den vier Begriffsinhalten <hi rendition="#i">a</hi> des Rechtecks, <hi rendition="#i">b</hi> des Rhombus, <hi rendition="#i">c</hi> der<lb/> vierfach und <hi rendition="#i">d</hi> der zweifach symmetrischen ebenen Figur der Reihe<lb/> nach zukommen. Dann ist zunächst umfangslogisch<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">a</hi>' + <hi rendition="#i">c</hi>') (<hi rendition="#i">b</hi>' + <hi rendition="#i">c</hi>') = <hi rendition="#i">a</hi>' <hi rendition="#i">b</hi>' + <hi rendition="#i">c</hi>', = <hi rendition="#i">c</hi>',</hi><lb/> d. h. es gehören zu den Rechtecken <hi rendition="#i">a</hi>' und den vierfach symmetrischen<lb/> Figuren <hi rendition="#i">c</hi>', sowie zugleich zur Klasse der Rhomben <hi rendition="#i">b</hi>' nebst wieder den<lb/> vierfach symmetrischen Figuren <hi rendition="#i">c</hi>' ausser diesen <hi rendition="#i">c</hi>' nur solche Rechtecke <hi rendition="#i">a</hi>',<lb/> welche gleichzeitig Rhomben <hi rendition="#i">a</hi>' <hi rendition="#i">b</hi>' sind, d. h. die Quadrate, und ebenso<lb/> unter den Rhomben nur die Quadrate, — welch letztere indessen bei<lb/> den vierfach symmetrischen Figuren <hi rendition="#i">c</hi>' ohnehin schon mit inbegriffen<lb/> waren. Dies lediglich dual umgeschrieben, ergibt für die „<hi rendition="#g">Schröder</hi>-<lb/> sche“ Inhaltslogik<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a c</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">c</hi>.</hi><lb/> (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">c</hi> gilt auch nach „<hi rendition="#g">Voigt</hi>scher“ Auffassung. Dagegen sind<lb/> zu unterscheiden der „<hi rendition="#g">Voigt</hi>sche“ Begriff <hi rendition="#i">V</hi> = <hi rendition="#i">a c</hi> von dem, was „das<lb/> Rechteck <hi rendition="#i">a</hi> mit allen vierfach symmetrischen Figuren <hi rendition="#i">c</hi> gemein hat“,<lb/> (nämlich die zweifache Symmetrie <hi rendition="#i">a c</hi> = <hi rendition="#i">d</hi>, Seite 411, vorletzter Absatz), —<lb/> und der „<hi rendition="#g">Schröder</hi>sche“ Begriff <hi rendition="#i">S</hi> = <hi rendition="#i">a c</hi> dessen, „was (nur entweder) <hi rendition="#i">a</hi><lb/> oder <hi rendition="#i">c</hi> (oder auch beides zugleich) ist“ (Seite 414, 1. Zeile), — und wozu<lb/> unter den zweifach symmetrischen Figuren z. B. die Rhomben <hi rendition="#i">nicht</hi><lb/> gehören Dem beschränkteren Umfang des letzteren Begriffes <hi rendition="#i">S</hi> muss<lb/> ein inhaltlicher Überschuss irgend welcher Art über den ersteren Begriff <hi rendition="#i">V</hi><lb/> entsprechen; allein dieses Überschussmerkmal anzugeben, darin dürfte<lb/> eine von den Seite 414 oben angedeuteten Schwierigkeiten bestehen.<lb/> Vergl. auch Bd. 1, Seite 99 (über „inhaltslose“ Begriffe).<lb/><hi rendition="#et">Wenn nach Seite 419 des gegenwärtigen Bandes der Verfasser mit<lb/> Herrn <hi rendition="#g">Lüroth</hi> (und <hi rendition="#g">Voigt</hi>, cf. Seite 410/411) den Kernpunkt der Frage<lb/> nach weiteren gruppenlogischen Beispielen in dem Umstand erblickt,<lb/> „dass <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> nicht nur die Individuen der beiden Klassen <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi> enthält,<lb/> sondern auch noch andere“, — ein Fall, der bei der „<hi rendition="#g">Schröder</hi>schen“<lb/><hi rendition="#i">identischen</hi> Inhaltslogik nicht minder vorliegt als bei der „<hi rendition="#g">Voigt</hi>schen“<lb/><hi rendition="#i">Gruppen</hi>logik, — so ist dabei stillschweigend angenommen, dass das<lb/> Klassen- oder Begriffsprodukt <hi rendition="#i">a b</hi> als gewöhnliches identisches definirt<lb/> bleibt. Sind dann nämlich etwa die Individuen <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">2</hi>, <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">3</hi>, … nicht in<lb/><hi rendition="#i">a</hi> und nicht in <hi rendition="#i">b</hi>, dennoch aber in <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> enthalten, so braucht man<lb/> unter <hi rendition="#i">c</hi> zunächst nur eben ein solches Individuum <hi rendition="#i">γ</hi> (vergl. das <hi rendition="#g">Korselt</hi>-<lb/> sche Beispiel 5, Seite 415—417) oder auch eine Klasse von solchen zu<lb/> verstehen, damit <hi rendition="#i">a c</hi> = <hi rendition="#i">b c</hi> = 0 = <hi rendition="#i">a c</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi> neben (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">c</hi> ≠ 0 werde;<lb/> oft findet sich aber auch eine Klasse <hi rendition="#i">c</hi>, welche wenigstens eines oder<lb/> mehrere dieser <hi rendition="#i">γ</hi> mit <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> gemein hat, während nicht nur — selbst-<lb/> verständlich — <hi rendition="#i">a c</hi> und <hi rendition="#i">b c</hi>, sondern dann auch <hi rendition="#i">a c</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi> von den <hi rendition="#i">γ</hi> frei<lb/> sind. — Wenn nun aber dem „<hi rendition="#g">Schröder</hi>schen“ Produkt <hi rendition="#i">a c</hi> bezw. <hi rendition="#i">b c</hi><lb/> das Merkmal <hi rendition="#i">c</hi> (der vierfachen Symmetrie), obschon fehlend in <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi>,<lb/> doch derart alternativ bedingt zukommt, dass es in der Summe <hi rendition="#i">a c</hi> + <hi rendition="#i">b c</hi><lb/> wieder unbedingt auftritt, so versteht sich, wie hier der Distributions-<lb/> satz statt haben kann trotz des gruppenlogischen Charakters der<lb/> Begriffssumme.</hi></item> </list><lb/> </div> </back> </text> </TEI> [594/0238]
Anmerkungen des Herausgebers.
Dem entsprechend ist auch bei den auf Seite 408 und 409 folgen-
den Sätzen, die von homogenen linearen Funktionen disjunkter Argu-
mente handeln, die Homogenität stets besonders vorauszusetzen.
Seite 413—414. Die Figuren oder sonstigen Objekte mit den Eigenschaften g
werden mit denen von den Eigenschaften h in der Regel eben das
gemein haben, was an Merkmalen den Komplexen g und h gemein ist
(Seite 413, Absatz 2); d. h. das — kurz so zu nennende — „Schröder-
sche“ Begriffsinhalts-Produkt g h wird mit dem „Voigtschen“ in häufigen
Fällen übereinstimmen. Zur weiteren Verdeutlichung des Unterschiedes
könnte daher vielleicht noch folgende Bemerkung dienen. Für das
Voigtsche Beispiel seien mit a', b', c', d' die Begriffsumfänge bezeichnet,
welche den vier Begriffsinhalten a des Rechtecks, b des Rhombus, c der
vierfach und d der zweifach symmetrischen ebenen Figur der Reihe
nach zukommen. Dann ist zunächst umfangslogisch
(a' + c') (b' + c') = a' b' + c', = c',
d. h. es gehören zu den Rechtecken a' und den vierfach symmetrischen
Figuren c', sowie zugleich zur Klasse der Rhomben b' nebst wieder den
vierfach symmetrischen Figuren c' ausser diesen c' nur solche Rechtecke a',
welche gleichzeitig Rhomben a' b' sind, d. h. die Quadrate, und ebenso
unter den Rhomben nur die Quadrate, — welch letztere indessen bei
den vierfach symmetrischen Figuren c' ohnehin schon mit inbegriffen
waren. Dies lediglich dual umgeschrieben, ergibt für die „Schröder-
sche“ Inhaltslogik
a c + b c = (a + b) c = c.
(a + b) c = c gilt auch nach „Voigtscher“ Auffassung. Dagegen sind
zu unterscheiden der „Voigtsche“ Begriff V = a c von dem, was „das
Rechteck a mit allen vierfach symmetrischen Figuren c gemein hat“,
(nämlich die zweifache Symmetrie a c = d, Seite 411, vorletzter Absatz), —
und der „Schrödersche“ Begriff S = a c dessen, „was (nur entweder) a
oder c (oder auch beides zugleich) ist“ (Seite 414, 1. Zeile), — und wozu
unter den zweifach symmetrischen Figuren z. B. die Rhomben nicht
gehören Dem beschränkteren Umfang des letzteren Begriffes S muss
ein inhaltlicher Überschuss irgend welcher Art über den ersteren Begriff V
entsprechen; allein dieses Überschussmerkmal anzugeben, darin dürfte
eine von den Seite 414 oben angedeuteten Schwierigkeiten bestehen.
Vergl. auch Bd. 1, Seite 99 (über „inhaltslose“ Begriffe).
Wenn nach Seite 419 des gegenwärtigen Bandes der Verfasser mit
Herrn Lüroth (und Voigt, cf. Seite 410/411) den Kernpunkt der Frage
nach weiteren gruppenlogischen Beispielen in dem Umstand erblickt,
„dass a + b nicht nur die Individuen der beiden Klassen a und b enthält,
sondern auch noch andere“, — ein Fall, der bei der „Schröderschen“
identischen Inhaltslogik nicht minder vorliegt als bei der „Voigtschen“
Gruppenlogik, — so ist dabei stillschweigend angenommen, dass das
Klassen- oder Begriffsprodukt a b als gewöhnliches identisches definirt
bleibt. Sind dann nämlich etwa die Individuen γ1, γ2, γ3, … nicht in
a und nicht in b, dennoch aber in a + b enthalten, so braucht man
unter c zunächst nur eben ein solches Individuum γ (vergl. das Korselt-
sche Beispiel 5, Seite 415—417) oder auch eine Klasse von solchen zu
verstehen, damit a c = b c = 0 = a c + b c neben (a + b) c = c ≠ 0 werde;
oft findet sich aber auch eine Klasse c, welche wenigstens eines oder
mehrere dieser γ mit a + b gemein hat, während nicht nur — selbst-
verständlich — a c und b c, sondern dann auch a c + b c von den γ frei
sind. — Wenn nun aber dem „Schröderschen“ Produkt a c bezw. b c
das Merkmal c (der vierfachen Symmetrie), obschon fehlend in a und b,
doch derart alternativ bedingt zukommt, dass es in der Summe a c + b c
wieder unbedingt auftritt, so versteht sich, wie hier der Distributions-
satz statt haben kann trotz des gruppenlogischen Charakters der
Begriffssumme.
Suche im WerkInformationen zum Werk
Download dieses Werks
XML (TEI P5) ·
HTML ·
Text Metadaten zum WerkTEI-Header · CMDI · Dublin Core Ansichten dieser Seite
Voyant Tools
|
| URL zu diesem Werk: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905 |
| URL zu dieser Seite: | https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/238 |
| Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 594. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/238>, abgerufen am 27.04.2024. |
