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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 25. Relativkoeffizienten als ausgezeichnete Relative.
35) ai k = (i ; a)h k, ah j = (a ; j)h k
und als der umfassendste Satz der ganzen Gruppe:
36) ai j = (i ; a ; j)h k.

Beweis des letztern:
(i ; a ; j)h k = Sl mil hal mjm k = Sl m1'i lal m1'j m = ai j,
q. e. d. Und ähnlich für die vorhergehenden Sätze. Der zahlreichen
Varianten ihrer Ausdrucksform, deren die Sätze, wegen 1'a ; 1 = (0' + a) j 0,
und a ; j = a j jn, etc. noch fähig sind, sei nur ganz beiläufig hiermit Er-
wähnung gethan.

Der letzte Satz setzt uns nun bei jedem Relativkoeffizienten in den
Stand, irgend ein gegebenes Suffix ij in irgend ein gewünschtes hk zu
verwandeln
.

Aber noch mehr als das.

Weil nämlich das Relativ i ; a ; j = 1 ; i ; a ; j ; 1 "ein ausgezeich-
netes" und als solches lediglich der Werte 0 und 1 fähig ist, so wird
es seinem allgemeinen Koeffizienten (zu beliebigem Suffixe hk) gleich
sein, und kann man auch schreiben:
37) ai j = i ; a ; j,
d. h. jeder Relativkoeffizient lässt sich selber als ein binäres Relativ
ansehen und darstellen.

Speziell wird -- vergl. 3), 4):
38) [Formel 1]

Im vorgeschrittensten der Peirce'schen Bezeichnungssysteme, als
welches ich dasjenige in 9c hinstellen muss, würde die Gleichung 37) nur
für den Fall ai j = 0 zutreffen, im andern Falle dagegen als linke Seite 1,
als rechte infinity auftreten. Es würde unsre Theorie dadurch zwecklos einer
Einfachheit, Symmetrie und Schönheit beraubt, und scheint mir dies der
unabweislichste von allen Gründen, welche mich bestimmten, die Peirce'sche
infinity zu verwerfen und für sie der Boole'schen 1 den Vorzug zu geben.
Mit dieser Modifikation, die doch wol nicht so unwesentlich sein dürfte,
sowie mit der Einführung der Zeichen 1', 0', des; und der Gestaltung des
j Zeichens, wage ich zu hoffen, "die letzte Hand", den coup d'epingle oder
finishing touch an die Vervollkommnung des fundamentalen Bezeichnungs-
systems der relativen Logik haben legen zu dürfen -- das von den rudi-
mentären "spiculae" De Morgan's an einen so weiten und schweren Weg
bis hier zurückzulegen hatte!

Wird hiermit zusammengehalten, dass nach unserm Satze 18) auch
der Doppelpunkt entbehrlich geworden, die Elementepaare i ; j nämlich

§ 25. Relativkoeffizienten als ausgezeichnete Relative.
35) ai k = ( ; a)h k, ah j = (a ; j)h k
und als der umfassendste Satz der ganzen Gruppe:
36) ai j = ( ; a ; j)h k.

Beweis des letztern:
( ; a ; j)h k = Σl mil hal mjm k = Σl m1'i lal m1'j m = ai j,
q. e. d. Und ähnlich für die vorhergehenden Sätze. Der zahlreichen
Varianten ihrer Ausdrucksform, deren die Sätze, wegen 1'a ; 1 = (0' + a) ɟ 0,
und a ; j = a ɟ , etc. noch fähig sind, sei nur ganz beiläufig hiermit Er-
wähnung gethan.

Der letzte Satz setzt uns nun bei jedem Relativkoeffizienten in den
Stand, irgend ein gegebenes Suffix ij in irgend ein gewünschtes hk zu
verwandeln
.

Aber noch mehr als das.

Weil nämlich das Relativ ; a ; j = 1 ; ; a ; j ; 1 „ein ausgezeich-
netes“ und als solches lediglich der Werte 0 und 1 fähig ist, so wird
es seinem allgemeinen Koeffizienten (zu beliebigem Suffixe hk) gleich
sein, und kann man auch schreiben:
37) ai j = ; a ; j,
d. h. jeder Relativkoeffizient lässt sich selber als ein binäres Relativ
ansehen und darstellen.

Speziell wird — vergl. 3), 4):
38) [Formel 1]

Im vorgeschrittensten der Peirce’schen Bezeichnungssysteme, als
welches ich dasjenige in 9c hinstellen muss, würde die Gleichung 37) nur
für den Fall ai j = 0 zutreffen, im andern Falle dagegen als linke Seite 1,
als rechte ∞ auftreten. Es würde unsre Theorie dadurch zwecklos einer
Einfachheit, Symmetrie und Schönheit beraubt, und scheint mir dies der
unabweislichste von allen Gründen, welche mich bestimmten, die Peirce’sche
∞ zu verwerfen und für sie der Boole’schen 1 den Vorzug zu geben.
Mit dieser Modifikation, die doch wol nicht so unwesentlich sein dürfte,
sowie mit der Einführung der Zeichen 1', 0', des; und der Gestaltung des
ɟ Zeichens, wage ich zu hoffen, „die letzte Hand“, den coup d’épingle oder
finishing touch an die Vervollkommnung des fundamentalen Bezeichnungs-
systems der relativen Logik haben legen zu dürfen — das von den rudi-
mentären „spiculae“ De Morgan’s an einen so weiten und schweren Weg
bis hier zurückzulegen hatte!

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der Doppelpunkt entbehrlich geworden, die Elementepaare i ; j nämlich

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[423/0437] § 25. Relativkoeffizienten als ausgezeichnete Relative. 35) ai k = (ĭ ; a)h k, ah j = (a ; j)h k und als der umfassendste Satz der ganzen Gruppe: 36) ai j = (ĭ ; a ; j)h k. Beweis des letztern: (ĭ ; a ; j)h k = Σl mil hal mjm k = Σl m1'i lal m1'j m = ai j, q. e. d. Und ähnlich für die vorhergehenden Sätze. Der zahlreichen Varianten ihrer Ausdrucksform, deren die Sätze, wegen 1'a ; 1 = (0' + a) ɟ 0, und a ; j = a ɟ j̄, etc. noch fähig sind, sei nur ganz beiläufig hiermit Er- wähnung gethan. Der letzte Satz setzt uns nun bei jedem Relativkoeffizienten in den Stand, irgend ein gegebenes Suffix ij in irgend ein gewünschtes hk zu verwandeln. Aber noch mehr als das. Weil nämlich das Relativ ĭ ; a ; j = 1 ; ĭ ; a ; j ; 1 „ein ausgezeich- netes“ und als solches lediglich der Werte 0 und 1 fähig ist, so wird es seinem allgemeinen Koeffizienten (zu beliebigem Suffixe hk) gleich sein, und kann man auch schreiben: 37) ai j = ĭ ; a ; j, d. h. jeder Relativkoeffizient lässt sich selber als ein binäres Relativ ansehen und darstellen. Speziell wird — vergl. 3), 4): 38) [FORMEL] Im vorgeschrittensten der Peirce’schen Bezeichnungssysteme, als welches ich dasjenige in 9c hinstellen muss, würde die Gleichung 37) nur für den Fall ai j = 0 zutreffen, im andern Falle dagegen als linke Seite 1, als rechte ∞ auftreten. Es würde unsre Theorie dadurch zwecklos einer Einfachheit, Symmetrie und Schönheit beraubt, und scheint mir dies der unabweislichste von allen Gründen, welche mich bestimmten, die Peirce’sche ∞ zu verwerfen und für sie der Boole’schen 1 den Vorzug zu geben. Mit dieser Modifikation, die doch wol nicht so unwesentlich sein dürfte, sowie mit der Einführung der Zeichen 1', 0', des; und der Gestaltung des ɟ Zeichens, wage ich zu hoffen, „die letzte Hand“, den coup d’épingle oder finishing touch an die Vervollkommnung des fundamentalen Bezeichnungs- systems der relativen Logik haben legen zu dürfen — das von den rudi- mentären „spiculae“ De Morgan’s an einen so weiten und schweren Weg bis hier zurückzulegen hatte! Wird hiermit zusammengehalten, dass nach unserm Satze 18) auch der Doppelpunkt entbehrlich geworden, die Elementepaare i ; j nämlich

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 423. In: Deutsches Textarchiv <http://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/437>, abgerufen am 07.08.2020.