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Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872.

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Transformationen der Hauptgruppe nicht geän-
dert
. Auch umgekehrt kann man sagen: Geometrische
Eigenschaften sind durch ihre Unveränderlich-
keit gegenüber den Transformationen der Haupt-
gruppe characterisirt
. Betrachtet man nämlich den
Raum einen Augenblick als unbeweglich etc., als eine starre
Mannigfaltigkeit, so hat jede Figur ein individuelles Interesse;
von den Eigenschaften, die sie als Individuum hat, sind
es nur die eigentlich geometrischen, welche bei den Aen-
derungen der Hauptgruppe erhalten bleiben. Dieser hier
etwas unbestimmt formulirte Gedanke wird im weiteren
Verlaufe der Auseinandersetzung deutlicher erscheinen.

Streifen wird jetzt das mathematisch unwesentliche
sinnliche Bild ab, und erblicken im Raume nur eine mehr-
fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, also, indem wir an der
gewohnten Vorstellung des Punctes als Raumelement fest-
halten, eine dreifach ausgedehnte. Nach Analogie mit den
räumlichen Transformationen reden wir von Transforma-
tionen der Mannigfaltigkeit; auch sie bilden Gruppen.
Nur ist nicht mehr, wie im Raume, eine Gruppe vor den
übrigen durch ihre Bedeutung ausgezeichnet; jede Gruppe
ist mit jeder anderen gleichberechtigt. Als Verallgemeiner-
ung der Geometrie entsteht so das folgende umfassende
Problem:

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in dersel-
ben eine Transformationsgruppe gegeben; man
soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Ge-
bilde hinsichtlich solcher Eigenschaften unter-
suchen, die durch die Transformationen der
Gruppe nicht geändert werden
.

In Anlehnung an die moderne Ausdrucksweise, die
man freilich nur auf eine bestimmte Gruppe, die Gruppe
aller linearen Umformungen, zu beziehen pflegt, mag man
auch so sagen:

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in dersel-
ben eine Transformationsgruppe gegeben. Man
entwickele die auf die Gruppe bezügliche Inva-
riantentheorie
.

Transformationen der Hauptgruppe nicht geän-
dert
. Auch umgekehrt kann man sagen: Geometrische
Eigenschaften sind durch ihre Unveränderlich-
keit gegenüber den Transformationen der Haupt-
gruppe characterisirt
. Betrachtet man nämlich den
Raum einen Augenblick als unbeweglich etc., als eine starre
Mannigfaltigkeit, so hat jede Figur ein individuelles Interesse;
von den Eigenschaften, die sie als Individuum hat, sind
es nur die eigentlich geometrischen, welche bei den Aen-
derungen der Hauptgruppe erhalten bleiben. Dieser hier
etwas unbestimmt formulirte Gedanke wird im weiteren
Verlaufe der Auseinandersetzung deutlicher erscheinen.

Streifen wird jetzt das mathematisch unwesentliche
sinnliche Bild ab, und erblicken im Raume nur eine mehr-
fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, also, indem wir an der
gewohnten Vorstellung des Punctes als Raumelement fest-
halten, eine dreifach ausgedehnte. Nach Analogie mit den
räumlichen Transformationen reden wir von Transforma-
tionen der Mannigfaltigkeit; auch sie bilden Gruppen.
Nur ist nicht mehr, wie im Raume, eine Gruppe vor den
übrigen durch ihre Bedeutung ausgezeichnet; jede Gruppe
ist mit jeder anderen gleichberechtigt. Als Verallgemeiner-
ung der Geometrie entsteht so das folgende umfassende
Problem:

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in dersel-
ben eine Transformationsgruppe gegeben; man
soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Ge-
bilde hinsichtlich solcher Eigenschaften unter-
suchen, die durch die Transformationen der
Gruppe nicht geändert werden
.

In Anlehnung an die moderne Ausdrucksweise, die
man freilich nur auf eine bestimmte Gruppe, die Gruppe
aller linearen Umformungen, zu beziehen pflegt, mag man
auch so sagen:

Es ist eine Mannigfaltigkeit und in dersel-
ben eine Transformationsgruppe gegeben. Man
entwickele die auf die Gruppe bezügliche Inva-
riantentheorie
.

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[7/0015] Transformationen der Hauptgruppe nicht geän- dert. Auch umgekehrt kann man sagen: Geometrische Eigenschaften sind durch ihre Unveränderlich- keit gegenüber den Transformationen der Haupt- gruppe characterisirt. Betrachtet man nämlich den Raum einen Augenblick als unbeweglich etc., als eine starre Mannigfaltigkeit, so hat jede Figur ein individuelles Interesse; von den Eigenschaften, die sie als Individuum hat, sind es nur die eigentlich geometrischen, welche bei den Aen- derungen der Hauptgruppe erhalten bleiben. Dieser hier etwas unbestimmt formulirte Gedanke wird im weiteren Verlaufe der Auseinandersetzung deutlicher erscheinen. Streifen wird jetzt das mathematisch unwesentliche sinnliche Bild ab, und erblicken im Raume nur eine mehr- fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, also, indem wir an der gewohnten Vorstellung des Punctes als Raumelement fest- halten, eine dreifach ausgedehnte. Nach Analogie mit den räumlichen Transformationen reden wir von Transforma- tionen der Mannigfaltigkeit; auch sie bilden Gruppen. Nur ist nicht mehr, wie im Raume, eine Gruppe vor den übrigen durch ihre Bedeutung ausgezeichnet; jede Gruppe ist mit jeder anderen gleichberechtigt. Als Verallgemeiner- ung der Geometrie entsteht so das folgende umfassende Problem: Es ist eine Mannigfaltigkeit und in dersel- ben eine Transformationsgruppe gegeben; man soll die der Mannigfaltigkeit angehörigen Ge- bilde hinsichtlich solcher Eigenschaften unter- suchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht geändert werden. In Anlehnung an die moderne Ausdrucksweise, die man freilich nur auf eine bestimmte Gruppe, die Gruppe aller linearen Umformungen, zu beziehen pflegt, mag man auch so sagen: Es ist eine Mannigfaltigkeit und in dersel- ben eine Transformationsgruppe gegeben. Man entwickele die auf die Gruppe bezügliche Inva- riantentheorie.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Erlangen, 1872, S. 7. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_geometrische_1872/15>, abgerufen am 25.01.2022.