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Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882.

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jedes dieser Vorkommnisse für sich betrachten, worauf es eine nützliche Uebung sein wird, sich in einzelnen Fällen das Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen.

Sei zuvörderst ein logarithmischer Unendlichkeitspunct. Wir haben dann:

Hier ist A diejenige Grösse, welche man, mit multiplicirt, nach Cauchy als Residuum des logarithmischen Unendlichkeitspunctes bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden gelegentlich angewandt werden soll. Für die Strömung in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von primärer Wichtigkeit, ob A reell ist oder rein imaginär, oder endlich complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung der beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch ihn bei Seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten Möglichkeiten zu beschäftigen.

1) Wenn A reell ist, so werde gesetzt. Man hat dann in erster Annäherung für , :

Die Curven Const. umgeben also den Unendlichkeitspunct in Gestalt kleiner Kreise; die Curven Const. laufen, den wechselnden Werthen von entsprechend, in allen Richtungen auf den Unendlichkeitspunct zu. Wir haben eine Bewegung, bei welcher eine Quelle von einer gewissen positiven oder negativen Ergiebigkeit vorstellt. Um diese Ergiebigkeit zu berechnen, multipliciren wir das Bogenelement eines kleinen mit dem Radius r um den Unstetigkeitspunct beschriebenen Kreises mit der zugehörigen Geschwindigkeit und integriren den so gewonnenen Ausdruck längs der Kreisperipherie. Da in erster Annäherung mit und dieses mit zusammenfällt, so kommt:


als Werth der Ergiebigkeit. Die Ergiebigkeit ist also gleich dem Residuum, getheilt durch i; sie ist positiv oder negativ je nach dem Werthe von A.

jedes dieser Vorkommnisse für sich betrachten, worauf es eine nützliche Uebung sein wird, sich in einzelnen Fällen das Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen.

Sei zuvörderst ein logarithmischer Unendlichkeitspunct. Wir haben dann:

Hier ist A diejenige Grösse, welche man, mit multiplicirt, nach Cauchy als Residuum des logarithmischen Unendlichkeitspunctes bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden gelegentlich angewandt werden soll. Für die Strömung in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von primärer Wichtigkeit, ob A reell ist oder rein imaginär, oder endlich complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung der beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch ihn bei Seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten Möglichkeiten zu beschäftigen.

1) Wenn A reell ist, so werde gesetzt. Man hat dann in erster Annäherung für , :

Die Curven Const. umgeben also den Unendlichkeitspunct in Gestalt kleiner Kreise; die Curven Const. laufen, den wechselnden Werthen von entsprechend, in allen Richtungen auf den Unendlichkeitspunct zu. Wir haben eine Bewegung, bei welcher eine Quelle von einer gewissen positiven oder negativen Ergiebigkeit vorstellt. Um diese Ergiebigkeit zu berechnen, multipliciren wir das Bogenelement eines kleinen mit dem Radius r um den Unstetigkeitspunct beschriebenen Kreises mit der zugehörigen Geschwindigkeit und integriren den so gewonnenen Ausdruck längs der Kreisperipherie. Da in erster Annäherung mit und dieses mit zusammenfällt, so kommt:


als Werth der Ergiebigkeit. Die Ergiebigkeit ist also gleich dem Residuum, getheilt durch i; sie ist positiv oder negativ je nach dem Werthe von A.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div>
          <p><pb facs="#f0014" n="6"/>
jedes dieser Vorkommnisse für sich betrachten, worauf es
 eine nützliche Uebung sein wird, sich in einzelnen Fällen
 das Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen.</p>
          <p>Sei <formula notation="TeX">z = z_0</formula> zuvörderst ein <hi rendition="#i">logarithmischer</hi> Unendlichkeitspunct.
 Wir haben dann:<lb/><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[
 w = \log{(z - z_0)} + C_0 + C_1(z - z_0) + C_2(z - z_0)^2 + \dotsb
 \]
 </formula></p>
          <p>Hier ist <hi rendition="#i">A</hi> diejenige Grösse, welche man, mit <formula notation="TeX">2i\pi</formula> multiplicirt,
 nach <hi rendition="#g">Cauchy</hi> als <hi rendition="#i">Residuum</hi> des logarithmischen Unendlichkeitspunctes
 bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden
 gelegentlich angewandt werden soll. Für die Strömung
 in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von primärer
 Wichtigkeit, ob <hi rendition="#i">A</hi> reell ist oder rein imaginär, oder endlich
 complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung
 der beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch
 ihn bei Seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten
 Möglichkeiten zu beschäftigen.</p>
          <p>1) Wenn <hi rendition="#i">A</hi> reell ist, so werde <formula notation="TeX">C_0 = a + ib</formula> gesetzt. Man
 hat dann in erster Annäherung für <formula notation="TeX">w = u + iv</formula>, <formula notation="TeX">z-z_0 = re^{i\varphi}</formula>:</p>
          <p>
            <formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[
 u = A \cdot \log{r + a},\qquad  v = A\varphi + b.
 \]
 </formula>
          </p>
          <p>Die Curven <formula notation="TeX">u =</formula> Const. umgeben also den Unendlichkeitspunct
 in Gestalt kleiner Kreise; die Curven <formula notation="TeX">v =</formula> Const. laufen,
 den wechselnden Werthen von <formula notation="TeX">\varphi</formula> entsprechend, in
 allen Richtungen auf den Unendlichkeitspunct zu. Wir haben
 eine Bewegung, bei welcher <hi rendition="#i"><formula notation="TeX">z = z_0</formula> eine Quelle von einer gewissen
 positiven oder negativen Ergiebigkeit vorstellt</hi>. Um diese
 Ergiebigkeit zu berechnen, multipliciren wir das Bogenelement
 eines kleinen mit dem Radius <hi rendition="#i">r</hi> um den Unstetigkeitspunct
 beschriebenen Kreises mit der zugehörigen Geschwindigkeit
 und integriren den so gewonnenen Ausdruck längs der Kreisperipherie.
 Da <formula notation="TeX">\sqrt{\left(\dfrac{\partial{u}}{\partial{x}}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial{u}}{\partial{y}}\right)^2}</formula> in erster Annäherung mit
 <formula notation="TeX">\dfrac{\partial{u}}{\partial{r}}</formula> und dieses mit <formula notation="TeX">\dfrac Ar</formula> zusammenfällt, so kommt:</p>
          <p><formula rendition="#c" notation="TeX">
 \[
 \int_0^{2\pi} \frac Ar \cdot r\,d\varphi = 2\, A\pi
 \]
 </formula><lb/>
als Werth der Ergiebigkeit. <hi rendition="#i">Die Ergiebigkeit ist also gleich
 dem Residuum, getheilt durch <hi rendition="#i">i</hi>; sie ist positiv oder negativ je
 nach dem Werthe von <hi rendition="#i">A</hi></hi>.</p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[6/0014] jedes dieser Vorkommnisse für sich betrachten, worauf es eine nützliche Uebung sein wird, sich in einzelnen Fällen das Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen. Sei [FORMEL] zuvörderst ein logarithmischer Unendlichkeitspunct. Wir haben dann: [FORMEL] Hier ist A diejenige Grösse, welche man, mit [FORMEL] multiplicirt, nach Cauchy als Residuum des logarithmischen Unendlichkeitspunctes bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden gelegentlich angewandt werden soll. Für die Strömung in der Nähe des Unstetigkeitspunctes ist es von primärer Wichtigkeit, ob A reell ist oder rein imaginär, oder endlich complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung der beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch ihn bei Seite lassen und haben uns somit nur mit zwei getrennten Möglichkeiten zu beschäftigen. 1) Wenn A reell ist, so werde [FORMEL] gesetzt. Man hat dann in erster Annäherung für [FORMEL], [FORMEL]: [FORMEL] Die Curven [FORMEL] Const. umgeben also den Unendlichkeitspunct in Gestalt kleiner Kreise; die Curven [FORMEL] Const. laufen, den wechselnden Werthen von [FORMEL] entsprechend, in allen Richtungen auf den Unendlichkeitspunct zu. Wir haben eine Bewegung, bei welcher [FORMEL] eine Quelle von einer gewissen positiven oder negativen Ergiebigkeit vorstellt. Um diese Ergiebigkeit zu berechnen, multipliciren wir das Bogenelement eines kleinen mit dem Radius r um den Unstetigkeitspunct beschriebenen Kreises mit der zugehörigen Geschwindigkeit und integriren den so gewonnenen Ausdruck längs der Kreisperipherie. Da [FORMEL] in erster Annäherung mit [FORMEL] und dieses mit [FORMEL] zusammenfällt, so kommt: [FORMEL] als Werth der Ergiebigkeit. Die Ergiebigkeit ist also gleich dem Residuum, getheilt durch i; sie ist positiv oder negativ je nach dem Werthe von A.

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Zitationshilfe: Klein, Felix: Über Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen und ihrer Integrale. Leipzig, 1882, S. 6. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/klein_riemann_1882/14>, abgerufen am 04.07.2022.