Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855.

Theilung des Dreiecks.

Wenn zwei Körper ſich miteinander verbinden, ſo müſſen ihre dreierlei
Axen zuſammenfallen, weitere Einſicht zu bekommen, muß man projiciren.
Suchen wir VI • 4, wie das Leucitoeder a : a : ½ a am Pyramidenoktaeder
a : a : 2a auftritt. Wegen der Unterſcheidung haben wir die
drei gleichen Axen mit cba bezeichnet, c iſt die aufrechte Axe.
Wir brauchen nur einen Oktanten ins Auge zu faſſen: die
Fläche 1 = c : a : 2b und 2 = c : b : 2a, beide müſſen ſich
im Kantenzonenpunkte p = ⅔ ſchneiden, folglich würde eine
Fläche $\frac{4}{3}$ a : $\frac{4}{3}$ b : c die Kante p gerade abſtumpfen. Nun
geht aber die Leucitoederfläche von c : 2a : 2b = ⅔c : $\frac{4}{3}$ a : $\frac{4}{3}$b,
folglich müſſen die Pyramidenkanten des Pyramidenoktaeders

[Abbildung]

[Abbildung] vom Leucitoeder unter Kanten geſchnitten werden, welche von der Axe t
nach a divergiren. In IV • 6 ſtumpft ein Pyramidenoktaeder die gebrochene
Würfelkante des Leucitoeders a : a : ½a ab, die Kante geht von c nach
[Formel 5] , folglich hat das Pyramidenoktaeder c : ⅔ a : ⅔ b = $\frac{3}{2}$ a : a : a,
wie aus der Projektion ſogleich erſichtlich iſt.

Projiciren wir das Pyramidengranatoeder VII • 7 = a : ⅓ a : ½ a, und
unterſcheiden wieder die Axen in abc, ſo iſt
1 = c : $\frac{3}{2}$ a : 3b = ⅓ c : ½ a : b;
2 = c : $\frac{3}{2}$ b : 3a = ⅓ c : a : ½b;
3 = a : $\frac{3}{2}$ c : 3b = ⅔ a : c : 2b;
4 = b : $\frac{3}{2}$ c: 3a = ⅔ b : c : 2a;
5 = a : $\frac{3}{2}$ b : 3c = ⅓ a : ½ b : c;
6 = b : $\frac{3}{2}$ a : 3c = ⅓ b : ½a : c,
woraus ſich die darunter ſtehende Pro-
jektion des betreffenden Oktanten ſogleich
ergibt. Die Granatoederkante p liegt
in der Kantenzone 1+1, weil ⅔+⅓ = 1
iſt, folglich wird ſie durch das Leucitoeder
[Abbildung] a : a : ½ a abgeſtumpft. Die gebrochene Würfelkante 5/6 liegt in der Kanten-
zone ⅕, folglich wird ſie durch ein Pyramidenoktaeder ⅖ a : ⅖ b : c gerade
abgeſtumpft. Da der gewöhnliche aber von ½a : ½b : c = ⅖a : ⅖b : ⅘c geht,
ſo muß derſelbe die Kanten 5/6 unter Linien ſchneiden, die von d nach t
convergiren. VII • 6. Die gebrochene Oktaederkante, worin 1 liegt, geht
von c : $\frac{3}{2}$a, der Pyramidenwürfel aber von c : 2a, alſo müſſen die Kanten
auch von d nach a convergiren VII • 5.

Um dieſe Körper aus Holz modelliren zu können, müſſen wir einige
Sätze vorausſchicken. Einen höchſt eleganten verdanken wir Hrn. Prof.
Weiß über

die Theilung des Dreiecks. Haben wir ein
beliebiges Dreieck AoB, ziehen vom Anfangspunkte o nach
dem Halbirungspunkte der AB in [Formel 14] eine Linie, und wird
dieſe von einer beliebigen A : [Formel 15] geſchnitten, ſo iſt das Stück
[Formel 16] . Denn die Linie o nach [Formel 17] iſt die Kantenzone

[Abbildung]

Quenſtedt, Mineralogie. 5