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Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855.

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Schneidung einer Zonenaxe.
der Axen OA und oB, folglich
[Formel 1] , und [Formel 2] . Nehmen
wir [Formel 3] als Axeneinheit, so folgt [Formel 4] und [Formel 5] .

Anwendung. Wollen wir an das Oktaeder den Pyramidenwürfel
[Abbildung] a : 1/2a : infinitya schneiden, so machen wir uns den Basalschnitt
des Oktaeder aaa. Der Pyramidenwürfel geht von a : [Formel 6] ,
folglich muß er die gegenüberliegende Kante in [Formel 7]
schneiden, die vier Oktaederkanten werden also im Verhältniß 1 : 1/2 : 1/3 : 1/2
geschnitten. Für den Pyramidenwürfel a : 1/3 a : infinitya ist [Formel 8] , also
schneidet dieser die Kanten im Verhältniß 1 : 1/3 : 1/2 : 1/3 . Für das Leuci-
toeder machen wir uns den Aufriß in der Granatoederfläche (Median-
ebene des Oktaeder senkrecht auf die Kante), die Fläche a : a : 1/2a schneidet
daher die Oktaederkanten 1 : 1/3 : 1/3 : 1. Das Pyramidenoktaeder geht von
a : a : 2a, folglich muß es die Kante zuschärfen: wir stellen im Aufriß
[Abbildung] der Granatoederfläche die digonale Axe d nach oben, so
wird die gegenüberliegende Kante wieder in 1/3 , folglich
die Seitenkante wie 1 : 1/4 : 1/3 : infinity geschnitten, denn [Formel 9] bezeich-
net an der Kante 1/4. Diese Sätze sind ebenso einfach wie elegant.

Allgemeine Lösung. Gegeben sei eine Fläche c : [Formel 10] : [Formel 11] , und

[Abbildung]
[Abbildung] eine Zonenaxe c : p [Formel 12] . Legt man nun die
Fläche durch den Mittelpunkt, so ist das abgeschnittene
Stück der Zonenaxe i = [Formel 13] , worin k die
Länge der Zonenaxe von c bis p bezeichnet. Zum
Beweise

verbindet man p mit dem Mittelpunkte o, und
verlängert op bis p1, so ist op = p = [Formel 14] ,
und setzen wir in der Zonenpunktformel pag. 41 m1 = infinitym, und n1 = - infinityn,
so ist Zonenpunkt p1 = [Formel 15] , folglich
p1 o = p1 = [Formel 16] .

Machen wir jetzt einen Aufriß durch copp', legen die Fläche [Formel 17] : [Formel 18]
durch den Mittelpunkt, so muß sie die verlängerte Zonenaxe cp in i schnei-
den, sobald die Zonenaxe innerhalb der Ebene liegt, welchen Fall wir nur
zu betrachten haben. Es verhält sich

Schneidung einer Zonenaxe.
der Axen OA und oB, folglich
[Formel 1] , und [Formel 2] . Nehmen
wir [Formel 3] als Axeneinheit, ſo folgt [Formel 4] und [Formel 5] .

Anwendung. Wollen wir an das Oktaeder den Pyramidenwürfel
[Abbildung] a : ½a : ∞a ſchneiden, ſo machen wir uns den Baſalſchnitt
des Oktaeder aaa. Der Pyramidenwürfel geht von a : [Formel 6] ,
folglich muß er die gegenüberliegende Kante in [Formel 7]
ſchneiden, die vier Oktaederkanten werden alſo im Verhältniß 1 : ½ : ⅓ : ½
geſchnitten. Für den Pyramidenwürfel a : ⅓a : ∞a iſt [Formel 8] , alſo
ſchneidet dieſer die Kanten im Verhältniß 1 : ⅓ : ½ : ⅓. Für das Leuci-
toeder machen wir uns den Aufriß in der Granatoederfläche (Median-
ebene des Oktaeder ſenkrecht auf die Kante), die Fläche a : a : ½a ſchneidet
daher die Oktaederkanten 1 : ⅓ : ⅓ : 1. Das Pyramidenoktaeder geht von
a : a : 2a, folglich muß es die Kante zuſchärfen: wir ſtellen im Aufriß
[Abbildung] der Granatoederfläche die digonale Axe d nach oben, ſo
wird die gegenüberliegende Kante wieder in ⅓, folglich
die Seitenkante wie 1 : ¼ : ⅓ : ∞ geſchnitten, denn [Formel 9] bezeich-
net an der Kante ¼. Dieſe Sätze ſind ebenſo einfach wie elegant.

Allgemeine Löſung. Gegeben ſei eine Fläche c : [Formel 10] : [Formel 11] , und

[Abbildung]
[Abbildung] eine Zonenaxe c : p [Formel 12] . Legt man nun die
Fläche durch den Mittelpunkt, ſo iſt das abgeſchnittene
Stück der Zonenaxe ι = [Formel 13] , worin k die
Länge der Zonenaxe von c bis p bezeichnet. Zum
Beweiſe

verbindet man p mit dem Mittelpunkte o, und
verlängert op bis p1, ſo iſt op = p = [Formel 14] ,
und ſetzen wir in der Zonenpunktformel pag. 41 μ1 = ∞m, und ν1 = ‒ ∞n,
ſo iſt Zonenpunkt p1 = [Formel 15] , folglich
p1 o = p1 = [Formel 16] .

Machen wir jetzt einen Aufriß durch copp', legen die Fläche [Formel 17] : [Formel 18]
durch den Mittelpunkt, ſo muß ſie die verlängerte Zonenaxe cp in ι ſchnei-
den, ſobald die Zonenaxe innerhalb der Ebene liegt, welchen Fall wir nur
zu betrachten haben. Es verhält ſich

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[66/0078] Schneidung einer Zonenaxe. der Axen OA und oB, folglich [FORMEL], und [FORMEL]. Nehmen wir [FORMEL] als Axeneinheit, ſo folgt [FORMEL] und [FORMEL]. Anwendung. Wollen wir an das Oktaeder den Pyramidenwürfel [Abbildung] a : ½a : ∞a ſchneiden, ſo machen wir uns den Baſalſchnitt des Oktaeder aaa. Der Pyramidenwürfel geht von a : [FORMEL], folglich muß er die gegenüberliegende Kante in [FORMEL] ſchneiden, die vier Oktaederkanten werden alſo im Verhältniß 1 : ½ : ⅓ : ½ geſchnitten. Für den Pyramidenwürfel a : ⅓a : ∞a iſt [FORMEL], alſo ſchneidet dieſer die Kanten im Verhältniß 1 : ⅓ : ½ : ⅓. Für das Leuci- toeder machen wir uns den Aufriß in der Granatoederfläche (Median- ebene des Oktaeder ſenkrecht auf die Kante), die Fläche a : a : ½a ſchneidet daher die Oktaederkanten 1 : ⅓ : ⅓ : 1. Das Pyramidenoktaeder geht von a : a : 2a, folglich muß es die Kante zuſchärfen: wir ſtellen im Aufriß [Abbildung] der Granatoederfläche die digonale Axe d nach oben, ſo wird die gegenüberliegende Kante wieder in ⅓, folglich die Seitenkante wie 1 : ¼ : ⅓ : ∞ geſchnitten, denn [FORMEL] bezeich- net an der Kante ¼. Dieſe Sätze ſind ebenſo einfach wie elegant. Allgemeine Löſung. Gegeben ſei eine Fläche c : [FORMEL] : [FORMEL], und [Abbildung] [Abbildung] eine Zonenaxe c : p [FORMEL]. Legt man nun die Fläche durch den Mittelpunkt, ſo iſt das abgeſchnittene Stück der Zonenaxe ι = [FORMEL], worin k die Länge der Zonenaxe von c bis p bezeichnet. Zum Beweiſe verbindet man p mit dem Mittelpunkte o, und verlängert op bis p1, ſo iſt op = p = [FORMEL], und ſetzen wir in der Zonenpunktformel pag. 41 μ1 = ∞m, und ν1 = ‒ ∞n, ſo iſt Zonenpunkt p1 = [FORMEL], folglich p1 o = p1 = [FORMEL]. Machen wir jetzt einen Aufriß durch copp', legen die Fläche [FORMEL] : [FORMEL] durch den Mittelpunkt, ſo muß ſie die verlängerte Zonenaxe cp in ι ſchnei- den, ſobald die Zonenaxe innerhalb der Ebene liegt, welchen Fall wir nur zu betrachten haben. Es verhält ſich

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Zitationshilfe: Quenstedt, Friedrich August: Handbuch der Mineralogie. Tübingen, 1855, S. 66. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/quenstedt_mineralogie_1854/78>, abgerufen am 29.04.2024.