§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
schneiden wird. Ein Ausdruck wie: "was b und nicht etwas Gewisses oder auch nicht a aber gleichzeitig jenes Gewisse ist" entbehrt doch wol der wünschenswerten Durchsichtigkeit. Auch passen Subsumtionen sich bequemer der Wortsprache an, als wie Gleichungen.
Dem Mangel wird leichtlich abgeholfen, indem man auf die Form 49+) des Theorems 50+) zurückgeht.
Jenes Theorem statuirte, dass die Gleichung a x + b x1 = 0 auch äquivalent ist dem Paare der Subsumtionen: bx und xa1, oder -- noch einfacher geschrieben -- der Doppelsubsumtion: bxa1.
Demnach werden die beiden zusammengültigen Aussagen: "Alle b sind x, und kein x ist a" mit Worten die "Auflösung" der Gleichung a x + b x1 = 0 nach der Un- bekannten x leisten.
In der That erscheint in diesen Aussagen die Unbekannte x auf der einen Seite, als Prädikat resp. Subjekt einer Subsumtion, isolirt, während auf deren andrer Seite nur bekannte Terme, gegebene Klassen stehen -- und dieses muss als das Charakteristikum der "Auflösung" für die Wortsprache angesehen werden.
Auch wenn wir eine Gleichung für die Wurzel haben -- wir mögen sie für den Augenblick kurz mittelst x = c darstellen -- könnte die- selbe ja mit Worten nur in Gestalt der beiden Subsumtionen cx und xc -- vergl. Def. (1) der Gleichheit -- ausgedrückt werden, welche wesentlich von dem eben beschriebenen Charakter sind. [Diese würden sich auch wieder in eine Doppelsubsumtion cxc, oder auch xcx, zusammenziehen lassen.]
Allerdings wäre hier die "andre" Seite, das aus den bekannten Klassen zusammengesetzte Subjekt oder Prädikat der Subsumtionen, beidemal das nämliche: c, was vorhin nicht der Fall war. Es wird sich aber im Hinblick auf den obigen Satz 49+) oder o) empfehlen, bei dem Begriff der "verbalen Auflösung" von dieser Anforderung Umgang zu nehmen, ja den Begriff der "Auflösung" überhaupt eben dadurch zu erweitern.
Zu demselben Ergebnisse kann man auch von den Formeln k) oder l) aus, d. h. auf dem Umwege über diese Darstellungen der Wurzeln, ver- mittelst des Theorems 48) gelangen.
Darnach in der That muss x = b u1 + a1u zwischen dem Produkte und der Summe seiner Koeffizienten liegen, und sich in Gestalt von:
§ 21. Auflösung und Elimination bei Gleichungen und Subsumtionen.
schneiden wird. Ein Ausdruck wie: „was b und nicht etwas Gewisses oder auch nicht a aber gleichzeitig jenes Gewisse ist“ entbehrt doch wol der wünschenswerten Durchsichtigkeit. Auch passen Subsumtionen sich bequemer der Wortsprache an, als wie Gleichungen.
Dem Mangel wird leichtlich abgeholfen, indem man auf die Form 49+) des Theorems 50+) zurückgeht.
Jenes Theorem statuirte, dass die Gleichung a x + b x1 = 0 auch äquivalent ist dem Paare der Subsumtionen: b ⋹ x und x ⋹ a1, oder — noch einfacher geschrieben — der Doppelsubsumtion: b ⋹ x ⋹ a1.
Demnach werden die beiden zusammengültigen Aussagen: „Alle b sind x, und kein x ist a“ mit Worten die „Auflösung“ der Gleichung a x + b x1 = 0 nach der Un- bekannten x leisten.
In der That erscheint in diesen Aussagen die Unbekannte x auf der einen Seite, als Prädikat resp. Subjekt einer Subsumtion, isolirt, während auf deren andrer Seite nur bekannte Terme, gegebene Klassen stehen — und dieses muss als das Charakteristikum der „Auflösung“ für die Wortsprache angesehen werden.
Auch wenn wir eine Gleichung für die Wurzel haben — wir mögen sie für den Augenblick kurz mittelst x = c darstellen — könnte die- selbe ja mit Worten nur in Gestalt der beiden Subsumtionen c ⋹ x und x ⋹ c — vergl. Def. (1) der Gleichheit — ausgedrückt werden, welche wesentlich von dem eben beschriebenen Charakter sind. [Diese würden sich auch wieder in eine Doppelsubsumtion c ⋹ x ⋹ c, oder auch x ⋹ c ⋹ x, zusammenziehen lassen.]
Allerdings wäre hier die „andre“ Seite, das aus den bekannten Klassen zusammengesetzte Subjekt oder Prädikat der Subsumtionen, beidemal das nämliche: c, was vorhin nicht der Fall war. Es wird sich aber im Hinblick auf den obigen Satz 49+) oder ο) empfehlen, bei dem Begriff der „verbalen Auflösung“ von dieser Anforderung Umgang zu nehmen, ja den Begriff der „Auflösung“ überhaupt eben dadurch zu erweitern.
Zu demselben Ergebnisse kann man auch von den Formeln ϰ) oder λ) aus, d. h. auf dem Umwege über diese Darstellungen der Wurzeln, ver- mittelst des Theorems 48) gelangen.
Darnach in der That muss x = b u1 + a1u zwischen dem Produkte und der Summe seiner Koeffizienten liegen, und sich in Gestalt von:
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wol der wünschenswerten Durchsichtigkeit. Auch passen Subsumtionen
sich bequemer der Wortsprache an, als wie Gleichungen.
Dem Mangel wird leichtlich abgeholfen, indem man auf die Form
49+) des Theorems 50+) zurückgeht.
Jenes Theorem statuirte, dass die Gleichung
a x + b x1 = 0
auch äquivalent ist dem Paare der Subsumtionen:
b ⋹ x und x ⋹ a1,
oder — noch einfacher geschrieben — der Doppelsubsumtion:
b ⋹ x ⋹ a1.
Demnach werden die beiden zusammengültigen Aussagen:
„Alle b sind x, und kein x ist a“
mit Worten die „Auflösung“ der Gleichung a x + b x1 = 0 nach der Un-
bekannten x leisten.
In der That erscheint in diesen Aussagen die Unbekannte x auf
der einen Seite, als Prädikat resp. Subjekt einer Subsumtion, isolirt,
während auf deren andrer Seite nur bekannte Terme, gegebene Klassen
stehen — und dieses muss als das Charakteristikum der „Auflösung“
für die Wortsprache angesehen werden.
Auch wenn wir eine Gleichung für die Wurzel haben — wir mögen
sie für den Augenblick kurz mittelst x = c darstellen — könnte die-
selbe ja mit Worten nur in Gestalt der beiden Subsumtionen c ⋹ x
und x ⋹ c — vergl. Def. (1) der Gleichheit — ausgedrückt werden,
welche wesentlich von dem eben beschriebenen Charakter sind. [Diese
würden sich auch wieder in eine Doppelsubsumtion c ⋹ x ⋹ c, oder
auch x ⋹ c ⋹ x, zusammenziehen lassen.]
Allerdings wäre hier die „andre“ Seite, das aus den bekannten
Klassen zusammengesetzte Subjekt oder Prädikat der Subsumtionen,
beidemal das nämliche: c, was vorhin nicht der Fall war. Es wird sich
aber im Hinblick auf den obigen Satz 49+) oder ο) empfehlen, bei
dem Begriff der „verbalen Auflösung“ von dieser Anforderung Umgang
zu nehmen, ja den Begriff der „Auflösung“ überhaupt eben dadurch
zu erweitern.
Zu demselben Ergebnisse kann man auch von den Formeln ϰ) oder
λ) aus, d. h. auf dem Umwege über diese Darstellungen der Wurzeln, ver-
mittelst des Theorems 48) gelangen.
Darnach in der That muss x = b u1 + a1 u zwischen dem Produkte und
der Summe seiner Koeffizienten liegen, und sich in Gestalt von:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 461. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/481>, abgerufen am 14.06.2024.
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