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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Eilfte Vorlesung.
p) x = a1 b + w (a1 + b)
auch darstellen lassen -- vergl. Th. 47), zweite Form; m. a. W. die Glei-
chung ist äquivalent dem Subsumtionenpaare:
a1 b x, x a1 + b.
Wegen a b = 0 haben wir aber, wie bereits gezeigt:
a1 b = b und a1 + b = a1,
also wieder
b x a1, q. e. d.

Ebenso sieht man dem Ausdruck x = b + u a1 augenblicklich an, dass
er zwischen b und b + a1 irgendwie gelegen, welches letztere sich aber da,
wo a b = 0 ist, in a1 selbst zusammenzieht.*)

r) Es erübrigt, dass wir uns noch vollends über die "Determina-
tion" des Auflösungsproblems orientiren, vor allem, dass wir uns über
die Frage klar werden, wann die Gleichung nur eine Wurzel besitzt,
wann dagegen mehrere; in welchen Fällen sie gar keine Wurzel hat,
wurde bereits festgestellt.

Wenn ein Gebiet x durch eine gegebene Gleichung
a x + b x1 = 0
ausschliesslich bestimmt ist, wenn an x keine andern Anforderungen
gestellt werden, als dass es eben diese Gleichung erfülle, m. a. W.
wenn x geradezu definirt erscheint als die Wurzel dieser Gleichung,
dann bleibt in unsrer Formel für die Auflösung:
x = a1 u + b u1,
das unbestimmte Gebiet u vollkommen beliebig oder arbiträr.

Die Wurzel x ist dann in der Regel nicht ein Gebiet, sondern --
kann man sagen -- eine ganze Klasse von Gebieten, die sich eben
aus unsrer Formel ergeben, indem man dem u alle möglichen Bedeu-
tungen (in der Mannigfaltigkeit der Gebiete) beilegt.

s) Je nachdem die Werte der gegebenen Koeffizienten a, b be-
schaffen sind, kann indess auch der Fall eintreten, dass alle Werte
dieser Klasse zusammenfallen, sich auf einen einzigen reduziren.

*) In den Formen b x a1 + b habe ich in meinem Operationskreis
die Lösung bei den Boole'schen Problemen jeweils mit Worten gedeutet, jedoch
dieses Schema selbst als eine "auf die Interpretation bezügliche Bemerkung" --
vergl. p. 24 -- dort nicht mitgeteilt, da ich mich in jener Schrift immer nur der
Gleichheitszeichen bediente. Ich wüsste demnach kaum zu sagen, wem nun das
Th. 49+) eigentlich zuzuschreiben wäre. Von spätern Schriftstellern kommt ihm
McColl am nächsten, indem er nach seiner in § 27 dargelegten Methode die
Lösung in Gestalt der beiden Subsumtionen: b x, a x1 gewinnen müsste. --

Eilfte Vorlesung.
π) x = a1 b + w (a1 + b)
auch darstellen lassen — vergl. Th. 47), zweite Form; m. a. W. die Glei-
chung ist äquivalent dem Subsumtionenpaare:
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Wegen a b = 0 haben wir aber, wie bereits gezeigt:
a1 b = b und a1 + b = a1,
also wieder
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Ebenso sieht man dem Ausdruck x = b + u a1 augenblicklich an, dass
er zwischen b und b + a1 irgendwie gelegen, welches letztere sich aber da,
wo a b = 0 ist, in a1 selbst zusammenzieht.*)

ϱ) Es erübrigt, dass wir uns noch vollends über die „Determina-
tion“ des Auflösungsproblems orientiren, vor allem, dass wir uns über
die Frage klar werden, wann die Gleichung nur eine Wurzel besitzt,
wann dagegen mehrere; in welchen Fällen sie gar keine Wurzel hat,
wurde bereits festgestellt.

Wenn ein Gebiet x durch eine gegebene Gleichung
a x + b x1 = 0
ausschliesslich bestimmt ist, wenn an x keine andern Anforderungen
gestellt werden, als dass es eben diese Gleichung erfülle, m. a. W.
wenn x geradezu definirt erscheint als die Wurzel dieser Gleichung,
dann bleibt in unsrer Formel für die Auflösung:
x = a1 u + b u1,
das unbestimmte Gebiet u vollkommen beliebig oder arbiträr.

Die Wurzel x ist dann in der Regel nicht ein Gebiet, sondern —
kann man sagen — eine ganze Klasse von Gebieten, die sich eben
aus unsrer Formel ergeben, indem man dem u alle möglichen Bedeu-
tungen (in der Mannigfaltigkeit der Gebiete) beilegt.

σ) Je nachdem die Werte der gegebenen Koeffizienten a, b be-
schaffen sind, kann indess auch der Fall eintreten, dass alle Werte
dieser Klasse zusammenfallen, sich auf einen einzigen reduziren.

*) In den Formen b ⋹ x ⋹ a1 + b habe ich in meinem Operationskreis
die Lösung bei den Boole'schen Problemen jeweils mit Worten gedeutet, jedoch
dieses Schema selbst als eine „auf die Interpretation bezügliche Bemerkung“ —
vergl. p. 24 — dort nicht mitgeteilt, da ich mich in jener Schrift immer nur der
Gleichheitszeichen bediente. Ich wüsste demnach kaum zu sagen, wem nun das
Th. 49+) eigentlich zuzuschreiben wäre. Von spätern Schriftstellern kommt ihm
McColl am nächsten, indem er nach seiner in § 27 dargelegten Methode die
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[462/0482] Eilfte Vorlesung. π) x = a1 b + w (a1 + b) auch darstellen lassen — vergl. Th. 47), zweite Form; m. a. W. die Glei- chung ist äquivalent dem Subsumtionenpaare: a1 b ⋹ x, x ⋹ a1 + b. Wegen a b = 0 haben wir aber, wie bereits gezeigt: a1 b = b und a1 + b = a1, also wieder b ⋹ x ⋹ a1, q. e. d. Ebenso sieht man dem Ausdruck x = b + u a1 augenblicklich an, dass er zwischen b und b + a1 irgendwie gelegen, welches letztere sich aber da, wo a b = 0 ist, in a1 selbst zusammenzieht. *) ϱ) Es erübrigt, dass wir uns noch vollends über die „Determina- tion“ des Auflösungsproblems orientiren, vor allem, dass wir uns über die Frage klar werden, wann die Gleichung nur eine Wurzel besitzt, wann dagegen mehrere; in welchen Fällen sie gar keine Wurzel hat, wurde bereits festgestellt. Wenn ein Gebiet x durch eine gegebene Gleichung a x + b x1 = 0 ausschliesslich bestimmt ist, wenn an x keine andern Anforderungen gestellt werden, als dass es eben diese Gleichung erfülle, m. a. W. wenn x geradezu definirt erscheint als die Wurzel dieser Gleichung, dann bleibt in unsrer Formel für die Auflösung: x = a1 u + b u1, das unbestimmte Gebiet u vollkommen beliebig oder arbiträr. Die Wurzel x ist dann in der Regel nicht ein Gebiet, sondern — kann man sagen — eine ganze Klasse von Gebieten, die sich eben aus unsrer Formel ergeben, indem man dem u alle möglichen Bedeu- tungen (in der Mannigfaltigkeit der Gebiete) beilegt. σ) Je nachdem die Werte der gegebenen Koeffizienten a, b be- schaffen sind, kann indess auch der Fall eintreten, dass alle Werte dieser Klasse zusammenfallen, sich auf einen einzigen reduziren. *) In den Formen b ⋹ x ⋹ a1 + b habe ich in meinem Operationskreis die Lösung bei den Boole'schen Problemen jeweils mit Worten gedeutet, jedoch dieses Schema selbst als eine „auf die Interpretation bezügliche Bemerkung“ — vergl. p. 24 — dort nicht mitgeteilt, da ich mich in jener Schrift immer nur der Gleichheitszeichen bediente. Ich wüsste demnach kaum zu sagen, wem nun das Th. 49+) eigentlich zuzuschreiben wäre. Von spätern Schriftstellern kommt ihm McColl am nächsten, indem er nach seiner in § 27 dargelegten Methode die Lösung in Gestalt der beiden Subsumtionen: b ⋹ x, a ⋹ x1 gewinnen müsste. —

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 462. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/482>, abgerufen am 14.06.2024.