Sobald hingegen ausser der Gleichung a x + b x1 = 0 über x noch anderweitige Information vorliegt, so wird die Variabilität von u ge- wissen Einschränkungen unterliegen.
Erledigen wir noch die Frage, welche Werte dem u zugeteilt wer- den dürfen, wenn x einen bekannten Wert hat oder einen gegebenen Wert erhalten soll, der jedoch immerhin der Gleichung a x + b x1 = 0 genügt.
Die Antwort ergibt sich, indem man unter letzterer Voraussetzung die Gleichung b u1 + a1u = x nach der Unbekannten u auflöst. Zu dem Ende hat man diese Gleichung rechts auf 0 zu bringen -- cf. Th. 39) und 46): x (b1u1 + a u) + x1 (b u1 + a1u) = 0, links nach u zu ordnen: (a x + a1x1) u + (b1x + b x1) u1 = 0 und nunmehr das Th. 50) selbst anzuwenden.
Als Resultante der Elimination des u ergibt sich: (a x + a1x1) (b1x + b x1) = a b1x + a1b x1 = 0, und ist diese wegen der vorausgesetzten Relationen a x = 0 und b x1 = 0 von selbst erfüllt. Darnach berechnet sich: u = (b1x + b x1) v1 + (a1x + a x1) v, u1 = (b x + b1x1) v1 + (a x + a1x1) v, wo nun v ein arbiträres Gebiet bleibt.
Machen wir mit diesen Ausdrücken die Probe der Auflösung, von der nicht ganz leicht zu sehen ist, dass sie wirklich stimmt.
Zunächst ist zu bemerken, dass man durch Tilgung der Terme a x und b x1 schon die aufzulösende Gleichung hätte vereinfachen kön- nen zu: a1x1u + b1x u1 = 0, und dass ebenso bei u der zweite, bei u1 der dritte von den vier Ter- men in Klammer wegfällt.
Indem man diese vereinfachte Gleichung gemäss Th. 50) nach der Unbekannten u auflöste, ergäben sich für u und u1 die noch ein- facheren Ausdrücke: u) u = b1x v1 + (a + x) v, u1 = (b + x1) v1 + a1x1v welche auch aus den vorigen durch einen Kunstgriff ableitbar, indem man z. B. oben bei u in der zweiten Klammer den Term a x, der ja 0 ist, zufügt und Th. 33+) anwendet.
Nun wird: a1u + b u1 = a1b1x v1 + a1x v + b v1 + a1b x1v, von welchem Ausdruck wir einzusehen haben, dass er (bei beliebigem v) gleich x sein muss.
Eilfte Vorlesung.
Sobald hingegen ausser der Gleichung a x + b x1 = 0 über x noch anderweitige Information vorliegt, so wird die Variabilität von u ge- wissen Einschränkungen unterliegen.
Erledigen wir noch die Frage, welche Werte dem u zugeteilt wer- den dürfen, wenn x einen bekannten Wert hat oder einen gegebenen Wert erhalten soll, der jedoch immerhin der Gleichung a x + b x1 = 0 genügt.
Die Antwort ergibt sich, indem man unter letzterer Voraussetzung die Gleichung b u1 + a1u = x nach der Unbekannten u auflöst. Zu dem Ende hat man diese Gleichung rechts auf 0 zu bringen — cf. Th. 39) und 46): x (b1u1 + a u) + x1 (b u1 + a1u) = 0, links nach u zu ordnen: (a x + a1x1) u + (b1x + b x1) u1 = 0 und nunmehr das Th. 50) selbst anzuwenden.
Als Resultante der Elimination des u ergibt sich: (a x + a1x1) (b1x + b x1) = a b1x + a1b x1 = 0, und ist diese wegen der vorausgesetzten Relationen a x = 0 und b x1 = 0 von selbst erfüllt. Darnach berechnet sich: u = (b1x + b x1) v1 + (a1x + a x1) v, u1 = (b x + b1x1) v1 + (a x + a1x1) v, wo nun v ein arbiträres Gebiet bleibt.
Machen wir mit diesen Ausdrücken die Probe der Auflösung, von der nicht ganz leicht zu sehen ist, dass sie wirklich stimmt.
Zunächst ist zu bemerken, dass man durch Tilgung der Terme a x und b x1 schon die aufzulösende Gleichung hätte vereinfachen kön- nen zu: a1x1u + b1x u1 = 0, und dass ebenso bei u der zweite, bei u1 der dritte von den vier Ter- men in Klammer wegfällt.
Indem man diese vereinfachte Gleichung gemäss Th. 50) nach der Unbekannten u auflöste, ergäben sich für u und u1 die noch ein- facheren Ausdrücke: υ) u = b1x v1 + (a + x) v, u1 = (b + x1) v1 + a1x1v welche auch aus den vorigen durch einen Kunstgriff ableitbar, indem man z. B. oben bei u in der zweiten Klammer den Term a x, der ja 0 ist, zufügt und Th. 33+) anwendet.
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Eilfte Vorlesung.
Sobald hingegen ausser der Gleichung a x + b x1 = 0 über x noch
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wissen Einschränkungen unterliegen.
Erledigen wir noch die Frage, welche Werte dem u zugeteilt wer-
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Wert erhalten soll, der jedoch immerhin der Gleichung a x + b x1 = 0
genügt.
Die Antwort ergibt sich, indem man unter letzterer Voraussetzung
die Gleichung b u1 + a1 u = x nach der Unbekannten u auflöst. Zu dem
Ende hat man diese Gleichung rechts auf 0 zu bringen — cf. Th. 39)
und 46): x (b1 u1 + a u) + x1 (b u1 + a1 u) = 0,
links nach u zu ordnen:
(a x + a1 x1) u + (b1 x + b x1) u1 = 0
und nunmehr das Th. 50) selbst anzuwenden.
Als Resultante der Elimination des u ergibt sich:
(a x + a1 x1) (b1 x + b x1) = a b1 x + a1 b x1 = 0,
und ist diese wegen der vorausgesetzten Relationen a x = 0 und b x1 = 0
von selbst erfüllt. Darnach berechnet sich:
u = (b1 x + b x1) v1 + (a1 x + a x1) v, u1 = (b x + b1 x1) v1 + (a x + a1 x1) v,
wo nun v ein arbiträres Gebiet bleibt.
Machen wir mit diesen Ausdrücken die Probe der Auflösung, von der
nicht ganz leicht zu sehen ist, dass sie wirklich stimmt.
Zunächst ist zu bemerken, dass man durch Tilgung der Terme
a x und b x1 schon die aufzulösende Gleichung hätte vereinfachen kön-
nen zu:
a1 x1 u + b1 x u1 = 0,
und dass ebenso bei u der zweite, bei u1 der dritte von den vier Ter-
men in Klammer wegfällt.
Indem man diese vereinfachte Gleichung gemäss Th. 50) nach der
Unbekannten u auflöste, ergäben sich für u und u1 die noch ein-
facheren Ausdrücke:
υ) u = b1 x v1 + (a + x) v, u1 = (b + x1) v1 + a1 x1 v
welche auch aus den vorigen durch einen Kunstgriff ableitbar, indem
man z. B. oben bei u in der zweiten Klammer den Term a x, der ja
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Nun wird:
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von welchem Ausdruck wir einzusehen haben, dass er (bei beliebigem v)
gleich x sein muss.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 464. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/484>, abgerufen am 29.04.2024.
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