haben würden, wonach es mit Lambert's Ergebniss buchstäblich über- einstimmte).
Wie Herr Venn1 p. 272 bemerkt, besitzt vorstehende Aufgabe ein ge- wisses historisches Interesse als einer der frühesten Versuche, logische Auf- gaben rechnerisch (in Symbolen) zu lösen, und reiht sich unter dem gleichen Gesichtspunkt hieran auch die folgende von Lambert behandelte Frage.
9. Frage. Wenn a d = b c ist, lässt sich alsdann schliessen, dass
[Formel 1]
=
[Formel 2]
sein müsse, d. h. wenn die a mit den d die nämlichen Individuen gemein haben, wie die b mit den c, muss dann jede (resp. überhaupt eine, resp. eine bestimmte) Klasse, welche durch b determinirt sich in a zu- sammenzieht, sich decken mit jeder (resp. etc.) Klasse, welche durch d determinirt c gibt?
Wie in den Klammern schon angedeutet, unterscheiden wir mehrerlei Auffassungen der Frage, für welche alle sie verneinend zu beantworten sein wird. Herr Venn l. c. konstatirt einen Irrtum Lambert's, welcher, obwol die Nichthebbarkeit beiderseits übereinstimmender Faktoren in einer Gleichung schon bemerkend, doch mehr als einmal annehme, dass es sich also verhalte (die Frage nämlich zu bejahen sei). Indessen gibt Venn selbst, unter Äusserung berechtigter Zweifel, eine unrichtige Beantwortung der Frage, indem er ihre Bejahung an die Bedingung knüpft, dass a = c und b = d sei -- was sich bei einer jeden der Auffassungen nicht gerade als notwendig, eventuell als nicht hinreichend, herausstellen wird.
Um dies alles aufzuhellen, sei die Frage auch hier behandelt, obwol sie nicht ganz in den die übrigen Aufgaben umschliessenden Rahmen passt: wir wünschten mit § 23 die inversen Operationen des Kalkuls endgültig aus unserer Disziplin ausgemerzt zu haben, weshalb wir denn auch die Untersuchung auf gegenwärtigen Kontext beschränken.
Zur Unterscheidung von General- und Prinzipalwert des Quotienten greifen wir auf die Bezeichnungen des § 23 zurück.
Die Prämisse, rechts auf 0 gebracht lautet: a d (b1 + c1) + b c (a1 + d1) = 0, oder links nach a, b, c, d entwickelt a d (b1c1 + b1c + b c1) + b c (a1d1 + a1d + a d1) = 0; sie leugnet also die Existenz von sechsen der sechzehn zwischen a, b, c, d und ihren Negationen überhaupt denkbaren Kombinationen, welche die Mannigfaltigkeit 1 der Möglichkeiten zusammensetzen, wogegen sie über die zehn übrigen Kombinationen derselben nichts aussagt.
Soll nun überhaupt ein Wert von a : : b übereinstimmen mit einem Werte von c : : d, so müssen zunächst die beiderseitigen Valenzbedingungen erfüllt sein, welche lauten: a b1 = 0 und c d1 = 0. Um die vereinigte Gleichung der letztern a b1 + c d1 = 0 nach allen vier Symbolen zu ent- wickeln, wird man am besten das Th. 33+) links anwenden, wonach sie die Form annimmt: a b1c d1 + a b1 (c1 + d) + c d1 (a1 + b) = 0,
§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
haben würden, wonach es mit Lambert's Ergebniss buchstäblich über- einstimmte).
Wie Herr Venn1 p. 272 bemerkt, besitzt vorstehende Aufgabe ein ge- wisses historisches Interesse als einer der frühesten Versuche, logische Auf- gaben rechnerisch (in Symbolen) zu lösen, und reiht sich unter dem gleichen Gesichtspunkt hieran auch die folgende von Lambert behandelte Frage.
9. Frage. Wenn a d = b c ist, lässt sich alsdann schliessen, dass
[Formel 1]
=
[Formel 2]
sein müsse, d. h. wenn die a mit den d die nämlichen Individuen gemein haben, wie die b mit den c, muss dann jede (resp. überhaupt eine, resp. eine bestimmte) Klasse, welche durch b determinirt sich in a zu- sammenzieht, sich decken mit jeder (resp. etc.) Klasse, welche durch d determinirt c gibt?
Wie in den Klammern schon angedeutet, unterscheiden wir mehrerlei Auffassungen der Frage, für welche alle sie verneinend zu beantworten sein wird. Herr Venn l. c. konstatirt einen Irrtum Lambert's, welcher, obwol die Nichthebbarkeit beiderseits übereinstimmender Faktoren in einer Gleichung schon bemerkend, doch mehr als einmal annehme, dass es sich also verhalte (die Frage nämlich zu bejahen sei). Indessen gibt Venn selbst, unter Äusserung berechtigter Zweifel, eine unrichtige Beantwortung der Frage, indem er ihre Bejahung an die Bedingung knüpft, dass a = c und b = d sei — was sich bei einer jeden der Auffassungen nicht gerade als notwendig, eventuell als nicht hinreichend, herausstellen wird.
Um dies alles aufzuhellen, sei die Frage auch hier behandelt, obwol sie nicht ganz in den die übrigen Aufgaben umschliessenden Rahmen passt: wir wünschten mit § 23 die inversen Operationen des Kalkuls endgültig aus unserer Disziplin ausgemerzt zu haben, weshalb wir denn auch die Untersuchung auf gegenwärtigen Kontext beschränken.
Zur Unterscheidung von General- und Prinzipalwert des Quotienten greifen wir auf die Bezeichnungen des § 23 zurück.
Die Prämisse, rechts auf 0 gebracht lautet: a d (b1 + c1) + b c (a1 + d1) = 0, oder links nach a, b, c, d entwickelt a d (b1c1 + b1c + b c1) + b c (a1d1 + a1d + a d1) = 0; sie leugnet also die Existenz von sechsen der sechzehn zwischen a, b, c, d und ihren Negationen überhaupt denkbaren Kombinationen, welche die Mannigfaltigkeit 1 der Möglichkeiten zusammensetzen, wogegen sie über die zehn übrigen Kombinationen derselben nichts aussagt.
Soll nun überhaupt ein Wert von a : : b übereinstimmen mit einem Werte von c : : d, so müssen zunächst die beiderseitigen Valenzbedingungen erfüllt sein, welche lauten: a b1 = 0 und c d1 = 0. Um die vereinigte Gleichung der letztern a b1 + c d1 = 0 nach allen vier Symbolen zu ent- wickeln, wird man am besten das Th. 33+) links anwenden, wonach sie die Form annimmt: a b1c d1 + a b1 (c1 + d) + c d1 (a1 + b) = 0,
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§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
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wisses historisches Interesse als einer der frühesten Versuche, logische Auf-
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Gesichtspunkt hieran auch die folgende von Lambert behandelte Frage.
9. Frage. Wenn a d = b c ist, lässt sich alsdann schliessen, dass
[FORMEL] = [FORMEL] sein müsse, d. h. wenn die a mit den d die nämlichen Individuen
gemein haben, wie die b mit den c, muss dann jede (resp. überhaupt eine,
resp. eine bestimmte) Klasse, welche durch b determinirt sich in a zu-
sammenzieht, sich decken mit jeder (resp. etc.) Klasse, welche durch d
determinirt c gibt?
Wie in den Klammern schon angedeutet, unterscheiden wir mehrerlei
Auffassungen der Frage, für welche alle sie verneinend zu beantworten
sein wird. Herr Venn l. c. konstatirt einen Irrtum Lambert's, welcher,
obwol die Nichthebbarkeit beiderseits übereinstimmender Faktoren in einer
Gleichung schon bemerkend, doch mehr als einmal annehme, dass es sich
also verhalte (die Frage nämlich zu bejahen sei). Indessen gibt Venn
selbst, unter Äusserung berechtigter Zweifel, eine unrichtige Beantwortung
der Frage, indem er ihre Bejahung an die Bedingung knüpft, dass a = c
und b = d sei — was sich bei einer jeden der Auffassungen nicht gerade
als notwendig, eventuell als nicht hinreichend, herausstellen wird.
Um dies alles aufzuhellen, sei die Frage auch hier behandelt, obwol
sie nicht ganz in den die übrigen Aufgaben umschliessenden Rahmen passt:
wir wünschten mit § 23 die inversen Operationen des Kalkuls endgültig
aus unserer Disziplin ausgemerzt zu haben, weshalb wir denn auch die
Untersuchung auf gegenwärtigen Kontext beschränken.
Zur Unterscheidung von General- und Prinzipalwert des Quotienten
greifen wir auf die Bezeichnungen des § 23 zurück.
Die Prämisse, rechts auf 0 gebracht lautet:
a d (b1 + c1) + b c (a1 + d1) = 0,
oder links nach a, b, c, d entwickelt
a d (b1 c1 + b1 c + b c1) + b c (a1 d1 + a1 d + a d1) = 0;
sie leugnet also die Existenz von sechsen der sechzehn zwischen a, b, c, d
und ihren Negationen überhaupt denkbaren Kombinationen, welche die
Mannigfaltigkeit 1 der Möglichkeiten zusammensetzen, wogegen sie über
die zehn übrigen Kombinationen derselben nichts aussagt.
Soll nun überhaupt ein Wert von a : : b übereinstimmen mit einem
Werte von c : : d, so müssen zunächst die beiderseitigen Valenzbedingungen
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die Form annimmt:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 533. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/553>, abgerufen am 21.05.2024.
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