die Summe sämtlicher Konstituenten sein wird. Diese eine Aussage ist als absurde, unzulässige, nicht mitzurechnen, sonach die fragliche Anzahl der über n Klassen möglichen Aussagen: = 22n -- 1.
Eingerechnet dagegen ist (wieder) die "nichtssagende" oder "iden- tische Aussage, bei der linkerhand alle Koeffizienten Nullen sein werden und welche auf: 0 = 0 hinausläuft.
Nach diesen Ergebnissen muss also a priori 222 = 24 = 16, 223 = 28 = 256, 224 = 216 = 65 536, 225 = 232 = 4 294 967296, 226 = 264 = 18 446744 073709 551616, ... die Anzahl sein der im Allgemeinen unter sich verschiedenen Aus- drücke, welche aus zwei Gebieten a, b resp. aus dreien a, b, c, resp. aus vieren, a, b, c, d, resp. etc. durch die Operationen des identischen Kalkuls aufgebaut werden können (bei sechs Gebieten mithin über 18 Millionen Billionen!).
Ebendiese muss bezüglich auch die Anzahl sein der Elemente für die Gruppen G (a, b), resp. G (a, b, c), resp. G (a, b, c, d), ...
Die Vollständigkeit der oben angegebenen Gruppe G (a, b) ist hiermit auch auf dem zweiten Wege bewiesen.
Wir wenden uns nunmehr der Frage zu, wie vielerlei und welche Typen die Ausdrücke aufweisen müssen, welche unsre Gruppen G (a), G (a, b), G (a, b, c), G (a, b, c, d), ... -- in nunmehr ja bekannter An- zahl -- als Elemente zusammensetzen.
Es zeigt sich, dass diese Frage für die Anwendungen der Gruppen- theorie (von denen wir am Schluss eine geben) von Wichtigkeit ist.
Leicht ist die Frage bei den Gruppen G (a) und G (a, b) zu beant- worten, die ja oben schon fertig gebildet vor unsern Augen stehen.
Zunächst müssen die Elemente 0 und 1 für von verschiedenem · Typus erklärt werden, welcher Gruppe sie auch angehören mögen, sodass jedes von diesen beiden Elementen als für sich allein schon einen aparten Typus konstituirend anzusehen ist. Es ist nämlich nicht möglich, von den beiden Ausdrücken 0 · a + 0 . a1, 1 · a + 1 · a1, desgleichen von den beiden
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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
die Summe sämtlicher Konstituenten sein wird. Diese eine Aussage ist als absurde, unzulässige, nicht mitzurechnen, sonach die fragliche Anzahl der über n Klassen möglichen Aussagen: = 22n — 1.
Eingerechnet dagegen ist (wieder) die „nichtssagende“ oder „iden- tische Aussage, bei der linkerhand alle Koeffizienten Nullen sein werden und welche auf: 0 = 0 hinausläuft.
Nach diesen Ergebnissen muss also a priori 222 = 24 = 16, 223 = 28 = 256, 224 = 216 = 65 536, 225 = 232 = 4 294 967296, 226 = 264 = 18 446744 073709 551616, … die Anzahl sein der im Allgemeinen unter sich verschiedenen Aus- drücke, welche aus zwei Gebieten a, b resp. aus dreien a, b, c, resp. aus vieren, a, b, c, d, resp. etc. durch die Operationen des identischen Kalkuls aufgebaut werden können (bei sechs Gebieten mithin über 18 Millionen Billionen!).
Ebendiese muss bezüglich auch die Anzahl sein der Elemente für die Gruppen G (a, b), resp. G (a, b, c), resp. G (a, b, c, d), …
Die Vollständigkeit der oben angegebenen Gruppe G (a, b) ist hiermit auch auf dem zweiten Wege bewiesen.
Wir wenden uns nunmehr der Frage zu, wie vielerlei und welche Typen die Ausdrücke aufweisen müssen, welche unsre Gruppen G (a), G (a, b), G (a, b, c), G (a, b, c, d), … — in nunmehr ja bekannter An- zahl — als Elemente zusammensetzen.
Es zeigt sich, dass diese Frage für die Anwendungen der Gruppen- theorie (von denen wir am Schluss eine geben) von Wichtigkeit ist.
Leicht ist die Frage bei den Gruppen G (a) und G (a, b) zu beant- worten, die ja oben schon fertig gebildet vor unsern Augen stehen.
Zunächst müssen die Elemente 0 und 1 für von verschiedenem · Typus erklärt werden, welcher Gruppe sie auch angehören mögen, sodass jedes von diesen beiden Elementen als für sich allein schon einen aparten Typus konstituirend anzusehen ist. Es ist nämlich nicht möglich, von den beiden Ausdrücken 0 · a + 0 . a1, 1 · a + 1 · a1, desgleichen von den beiden
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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
die Summe sämtlicher Konstituenten sein wird. Diese eine Aussage
ist als absurde, unzulässige, nicht mitzurechnen, sonach die fragliche
Anzahl der über n Klassen möglichen Aussagen:
= 22n — 1.
Eingerechnet dagegen ist (wieder) die „nichtssagende“ oder „iden-
tische Aussage, bei der linkerhand alle Koeffizienten Nullen sein werden
und welche auf: 0 = 0 hinausläuft.
Nach diesen Ergebnissen muss also a priori
222 = 24 = 16, 223 = 28 = 256, 224 = 216 = 65 536,
225 = 232 = 4 294 967296, 226 = 264 = 18 446744 073709 551616, …
die Anzahl sein der im Allgemeinen unter sich verschiedenen Aus-
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aus vieren, a, b, c, d, resp. etc. durch die Operationen des identischen
Kalkuls aufgebaut werden können (bei sechs Gebieten mithin über
18 Millionen Billionen!).
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die Gruppen
G (a, b), resp. G (a, b, c), resp. G (a, b, c, d), …
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theorie (von denen wir am Schluss eine geben) von Wichtigkeit ist.
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desgleichen von den beiden
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 659. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/679>, abgerufen am 22.05.2024.
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