0 · a b + 0 · a b1 + 0 · a1b + 0 · a1b1, 1 · a b + 1 · a b1 + 1 · a1b + 1 · a1b1 etc. den einen aus dem andern durch eine Buchstabenvertauschung ab- zuleiten.
Bei G (a) gesellt sich nun zu dem "ersten" Typus 0, als "zweiter" der Typus a, a1, dessen beide Repräsentanten in der That durch die Vertauschung von a mit a1 in einander übergehen, und endlich als "dritter" der Typus 1. Wir haben also nach Typen ordnend für G (a) das Schema: 0 a, a1 1
Die Reihenfolge der Typen bestimmt sich hier unter dem Gesichts- punkt, dass aus der Entwickelung der 1 nach dem Bestimmungs- elemente a der Gruppe: 1 = a + a1 beim ersten Typus kein, beim zweiten ein Glied und beim dritten Typus alle zwei Glieder in einem Repräsentanten des Typus vereinigt, zu einem solchen zusammengefasst erscheinen.
"Komplementär" werden wir zwei Typen zu nennen haben, wenn ein Repräsentant des einen Typus die Negation ist von einem Reprä- sentanten des andern. Als "Repräsentanten" eines Typus dürfen wir jeden aus den Bestimmungselementen der Gruppe aufgebauten Ausdruck bezeichnen, der zu dem Typus gehört ("von" diesem Typus "ist").
Darnach wäre es nicht schwer zu zeigen, dass zwei komplemen- täre Typen immer gleichviele Repräsentanten besitzen, gleichviel Ele- mente der Gruppe umfassen müssen, und zwar sind die Repräsentanten des einen gerade die Negationen von denen des andern. "Entwickelt" nach den Bestimmungselementen der Gruppe enthält der eine Reprä- sentant immer gerade diejenigen Glieder, welche in der Entwickelung des andern fehlen -- vgl. den Zusatz auf S. 314 sq.
Bei strenger Anordnung der Typen nach der Zahl von Gliedern in der Entwickelung ihrer Repräsentanten werden also komplementäre Typen einen Rang einnehmen, der sich dadurch kennzeichnet, dass der eine Typus vom Anfang der Typenreihe gerade so weit absteht, als der komplementäre vom Ende derselben. Es wird sich aber später zumeist empfehlen, von dieser strengen Anordnung abzugehen, nämlich die Reihe der Typen gleichsam in der Mitte zu knicken und die beiden Schenkel zusammenzulegen, sodass die komplementären Typen zu Nachbarn werden.
Von zwei komplementären Typen werden wir sagen, dass sie zu- sammen einen "Haupttypus" ausmachen.
Anhang 6.
0 · a b + 0 · a b1 + 0 · a1b + 0 · a1b1, 1 · a b + 1 · a b1 + 1 · a1b + 1 · a1b1 etc. den einen aus dem andern durch eine Buchstabenvertauschung ab- zuleiten.
Bei G (a) gesellt sich nun zu dem „ersten“ Typus 0, als „zweiter“ der Typus a, a1, dessen beide Repräsentanten in der That durch die Vertauschung von a mit a1 in einander übergehen, und endlich als „dritter“ der Typus 1. Wir haben also nach Typen ordnend für G (a) das Schema: 0 a, a1 1
Die Reihenfolge der Typen bestimmt sich hier unter dem Gesichts- punkt, dass aus der Entwickelung der 1 nach dem Bestimmungs- elemente a der Gruppe: 1 = a + a1 beim ersten Typus kein, beim zweiten ein Glied und beim dritten Typus alle zwei Glieder in einem Repräsentanten des Typus vereinigt, zu einem solchen zusammengefasst erscheinen.
„Komplementär“ werden wir zwei Typen zu nennen haben, wenn ein Repräsentant des einen Typus die Negation ist von einem Reprä- sentanten des andern. Als „Repräsentanten“ eines Typus dürfen wir jeden aus den Bestimmungselementen der Gruppe aufgebauten Ausdruck bezeichnen, der zu dem Typus gehört („von“ diesem Typus „ist“).
Darnach wäre es nicht schwer zu zeigen, dass zwei komplemen- täre Typen immer gleichviele Repräsentanten besitzen, gleichviel Ele- mente der Gruppe umfassen müssen, und zwar sind die Repräsentanten des einen gerade die Negationen von denen des andern. „Entwickelt“ nach den Bestimmungselementen der Gruppe enthält der eine Reprä- sentant immer gerade diejenigen Glieder, welche in der Entwickelung des andern fehlen — vgl. den Zusatz auf S. 314 sq.
Bei strenger Anordnung der Typen nach der Zahl von Gliedern in der Entwickelung ihrer Repräsentanten werden also komplementäre Typen einen Rang einnehmen, der sich dadurch kennzeichnet, dass der eine Typus vom Anfang der Typenreihe gerade so weit absteht, als der komplementäre vom Ende derselben. Es wird sich aber später zumeist empfehlen, von dieser strengen Anordnung abzugehen, nämlich die Reihe der Typen gleichsam in der Mitte zu knicken und die beiden Schenkel zusammenzulegen, sodass die komplementären Typen zu Nachbarn werden.
Von zwei komplementären Typen werden wir sagen, dass sie zu- sammen einen „Haupttypus“ ausmachen.
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Anhang 6.
0 · a b + 0 · a b1 + 0 · a1 b + 0 · a1 b1, 1 · a b + 1 · a b1 + 1 · a1 b + 1 · a1 b1
etc. den einen aus dem andern durch eine Buchstabenvertauschung ab-
zuleiten.
Bei G (a) gesellt sich nun zu dem „ersten“ Typus 0, als „zweiter“
der Typus a, a1, dessen beide Repräsentanten in der That durch die
Vertauschung von a mit a1 in einander übergehen, und endlich als
„dritter“ der Typus 1. Wir haben also nach Typen ordnend für G (a)
das Schema:
0
a, a1
1
Die Reihenfolge der Typen bestimmt sich hier unter dem Gesichts-
punkt, dass aus der Entwickelung der 1 nach dem Bestimmungs-
elemente a der Gruppe: 1 = a + a1 beim ersten Typus kein, beim
zweiten ein Glied und beim dritten Typus alle zwei Glieder in einem
Repräsentanten des Typus vereinigt, zu einem solchen zusammengefasst
erscheinen.
„Komplementär“ werden wir zwei Typen zu nennen haben, wenn
ein Repräsentant des einen Typus die Negation ist von einem Reprä-
sentanten des andern. Als „Repräsentanten“ eines Typus dürfen wir
jeden aus den Bestimmungselementen der Gruppe aufgebauten Ausdruck
bezeichnen, der zu dem Typus gehört („von“ diesem Typus „ist“).
Darnach wäre es nicht schwer zu zeigen, dass zwei komplemen-
täre Typen immer gleichviele Repräsentanten besitzen, gleichviel Ele-
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des einen gerade die Negationen von denen des andern. „Entwickelt“
nach den Bestimmungselementen der Gruppe enthält der eine Reprä-
sentant immer gerade diejenigen Glieder, welche in der Entwickelung
des andern fehlen — vgl. den Zusatz auf S. 314 sq.
Bei strenger Anordnung der Typen nach der Zahl von Gliedern
in der Entwickelung ihrer Repräsentanten werden also komplementäre
Typen einen Rang einnehmen, der sich dadurch kennzeichnet, dass
der eine Typus vom Anfang der Typenreihe gerade so weit absteht,
als der komplementäre vom Ende derselben. Es wird sich aber später
zumeist empfehlen, von dieser strengen Anordnung abzugehen, nämlich
die Reihe der Typen gleichsam in der Mitte zu knicken und die beiden
Schenkel zusammenzulegen, sodass die komplementären Typen zu
Nachbarn werden.
Von zwei komplementären Typen werden wir sagen, dass sie zu-
sammen einen „Haupttypus“ ausmachen.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 660. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/680>, abgerufen am 22.05.2024.
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