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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 6.

Die von Clifford gegebne Typenzahl 396 war hier um 2 zu ver-
mehren, weil er die Elemente 0 und 1 der Gruppe, als identische (0-fold
statement) und absurde Aussage (16-fold statement) nicht mitberücksichtigte.

Ich habe nur die vier ersten Typenzahlangaben des obigen Schema's
selbst nachgerechnet.

Bei drei Aushebungen hat man in der That in Bezug auf die Ab-
standsverhältnisse der drei ausgehobenen Glieder die folgenden 6 Möglich-
keiten: p p m, p m u, p u o, m m m, m m o, m u u, oder
112, 123, 134, 222, 224, 233
wo die Buchstaben p, m, u, o als Anfangsbuchstaben auf "proximate, me-
diate, ultimate und obverse" hinweisen sollen, und selber -- oder besser
die darunter gesetzten Abstandsziffern -- je an die Seiten eines Dreiecks
gesetzt zu denken sind, an dessen Ecken die drei ausgehobenen Glieder
stehen. Repräsentanten dieser 6 Typen sind etwa die Ausdrücke:

a b c d + a b c d1 + a b c1 d = a b (c + d),
a b c d + a b c d1 + a b1 c1 d = a (b c + b1 c1 d),
a b c d + a b c d1 + a1 b1 c1 d = a b c + a1 b1 c1 d,
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a b c d + a b c1 d1 + a1 b1 c1 d = (a b c + a1 b1 c1) d + a b c1 d1.

Wie man sieht läuft das Problem, arithmetisch gefasst, hinaus
auf die additive Zerlegung der Binomialkoeffizienten von der Form (2n)l
in die Formenzahlen der verschiedenen Typen, welche sich bei l Aus-
hebungen ergeben. Für n = 2 und 3 ergaben sich als solche Zer-
legungen:

(4)2 = 4 + 2;
(8)2 = (8)6 = 12 + 4 + 12, (8)3 = (8)5 = 24 + 8 + 24,
(8)4 = 24 + 6 + (8 + 2) + 6 + 24.

Das allgemeine Gesetz scheint jedoch nicht leicht zu ermitteln.

Will man das Problem bei beliebigem n und l mithin allgemein be-
handeln, so empfiehlt es sich vielleicht, die 2n Konstituenten der Ent-
wickelung so zu numeriren, dass ihre Ordnungszahlen im "dyadischen Zahlen-
system" dargestellt erscheinen. Aus dem strenge nach den Argumentbuch-
staben geordnet dargestellten Konstituenten ergibt sich die Ordnungszahl
in der dyadischen Darstellung auf's leichteste, indem man alle unnegirten
Argumentfaktoren in Nullen, alle mit Negationsstrich versehenen in Einser
umschreibt. Man kann hernach die Entwickelung der identischen Eins so
zusammenfassen:
[Formel 1] (als "identische Summe).

Anhang 6.

Die von Clifford gegebne Typenzahl 396 war hier um 2 zu ver-
mehren, weil er die Elemente 0 und 1 der Gruppe, als identische (0-fold
statement) und absurde Aussage (16-fold statement) nicht mitberücksichtigte.

Ich habe nur die vier ersten Typenzahlangaben des obigen Schema's
selbst nachgerechnet.

Bei drei Aushebungen hat man in der That in Bezug auf die Ab-
standsverhältnisse der drei ausgehobenen Glieder die folgenden 6 Möglich-
keiten: p p m, p m u, p u o, m m m, m m o, m u u, oder
112, 123, 134, 222, 224, 233
wo die Buchstaben p, m, u, o als Anfangsbuchstaben auf „proximate, me-
diate, ultimate und obverse“ hinweisen sollen, und selber — oder besser
die darunter gesetzten Abstandsziffern — je an die Seiten eines Dreiecks
gesetzt zu denken sind, an dessen Ecken die drei ausgehobenen Glieder
stehen. Repräsentanten dieser 6 Typen sind etwa die Ausdrücke:

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Wie man sieht läuft das Problem, arithmetisch gefasst, hinaus
auf die additive Zerlegung der Binomialkoeffizienten von der Form (2n)λ
in die Formenzahlen der verschiedenen Typen, welche sich bei λ Aus-
hebungen ergeben. Für n = 2 und 3 ergaben sich als solche Zer-
legungen:

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(8)2 = (8)6 = 12 + 4 + 12, (8)3 = (8)5 = 24 + 8 + 24,
(8)4 = 24 + 6 + (8 + 2) + 6 + 24.

Das allgemeine Gesetz scheint jedoch nicht leicht zu ermitteln.

Will man das Problem bei beliebigem n und λ mithin allgemein be-
handeln, so empfiehlt es sich vielleicht, die 2n Konstituenten der Ent-
wickelung so zu numeriren, dass ihre Ordnungszahlen im „dyadischen Zahlen-
system“ dargestellt erscheinen. Aus dem strenge nach den Argumentbuch-
staben geordnet dargestellten Konstituenten ergibt sich die Ordnungszahl
in der dyadischen Darstellung auf's leichteste, indem man alle unnegirten
Argumentfaktoren in Nullen, alle mit Negationsstrich versehenen in Einser
umschreibt. Man kann hernach die Entwickelung der identischen Eins so
zusammenfassen:
[Formel 1] (als „identische Summe).

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[682/0702] Anhang 6. Die von Clifford gegebne Typenzahl 396 war hier um 2 zu ver- mehren, weil er die Elemente 0 und 1 der Gruppe, als identische (0-fold statement) und absurde Aussage (16-fold statement) nicht mitberücksichtigte. Ich habe nur die vier ersten Typenzahlangaben des obigen Schema's selbst nachgerechnet. Bei drei Aushebungen hat man in der That in Bezug auf die Ab- standsverhältnisse der drei ausgehobenen Glieder die folgenden 6 Möglich- keiten: p p m, p m u, p u o, m m m, m m o, m u u, oder 112, 123, 134, 222, 224, 233 wo die Buchstaben p, m, u, o als Anfangsbuchstaben auf „proximate, me- diate, ultimate und obverse“ hinweisen sollen, und selber — oder besser die darunter gesetzten Abstandsziffern — je an die Seiten eines Dreiecks gesetzt zu denken sind, an dessen Ecken die drei ausgehobenen Glieder stehen. Repräsentanten dieser 6 Typen sind etwa die Ausdrücke: a b c d + a b c d1 + a b c1 d = a b (c + d), a b c d + a b c d1 + a b1 c1 d = a (b c + b1 c1 d), a b c d + a b c d1 + a1 b1 c1 d = a b c + a1 b1 c1 d, a b c d + a b c1 d1 + a b1 c d1 = a {b c d + (b c1 + b1 c) d1}, a b c d + a b c1 d1 + a1 b1 c d = a b (c d + c1 d1) + a1 b1 c d = (a b + a1 b1) c d + a b c1 d1, a b c d + a b c1 d1 + a1 b1 c1 d = (a b c + a1 b1 c1) d + a b c1 d1. Wie man sieht läuft das Problem, arithmetisch gefasst, hinaus auf die additive Zerlegung der Binomialkoeffizienten von der Form (2n)λ in die Formenzahlen der verschiedenen Typen, welche sich bei λ Aus- hebungen ergeben. Für n = 2 und 3 ergaben sich als solche Zer- legungen: (4)2 = 4 + 2; (8)2 = (8)6 = 12 + 4 + 12, (8)3 = (8)5 = 24 + 8 + 24, (8)4 = 24 + 6 + (8 + 2) + 6 + 24. Das allgemeine Gesetz scheint jedoch nicht leicht zu ermitteln. Will man das Problem bei beliebigem n und λ mithin allgemein be- handeln, so empfiehlt es sich vielleicht, die 2n Konstituenten der Ent- wickelung so zu numeriren, dass ihre Ordnungszahlen im „dyadischen Zahlen- system“ dargestellt erscheinen. Aus dem strenge nach den Argumentbuch- staben geordnet dargestellten Konstituenten ergibt sich die Ordnungszahl in der dyadischen Darstellung auf's leichteste, indem man alle unnegirten Argumentfaktoren in Nullen, alle mit Negationsstrich versehenen in Einser umschreibt. Man kann hernach die Entwickelung der identischen Eins so zusammenfassen: [FORMEL] (als „identische Summe).

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 682. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/702>, abgerufen am 30.04.2024.