Keineswegs braucht man alle 256 Elemente von G (a, b, c) einzeln gleich x gesetzt (und durch cyklische Permutation der beiden Buchstaben- systeme a, b, c und x, y, z zu einem Systeme von drei Gleichungen er- gänzt) direkt auf ihre Resultante zu prüfen.
Zunächst liefern die hinsichtlich a, b, c symmetrischen Ausdrücke oder Elemente von G (a, b, c) stets ohne alle Rechnung R7, weil der Ansatz auf x = y = z augenscheinlich hinausläuft. Dergleichen Ausdrücke kommen nur bei dem 1. und 22., 2. und 21., 5. und 18., 8. und 15., beim 9., und beim 14. Typus vor, mithin bei 10 Typen und 6 Haupttypen, und finden sich -- abgesehen von den Elementen 0 und 1 -- oben bei R7 vertreten durch Repräsentanten, welche mit Rücksicht auf die nachfolgenden Bemerkungen als ausreichende hingestellt werden durften.
Wir brauchten also nur mehr die Ausdrücke durchzugehen, welche nicht bezüglich aller drei Buchstaben a, b, c symmetrisch erscheinen.
Solche können nun aber noch in Hinsicht zweier von diesen drei Buch- staben symmetrisch sein, was in der That vorkommt bei den Typen: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13. und 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, sonach bei allen Typen ausser 11 und den schon abgethanen 1 nebst 22 und 14.
In solchem Falle braucht man nur solche Ausdrücke zu berücksichtigen, bei welchen der Buchstabe a bevorzugt erscheint, die Symmetrie also hin- sichtlich b und c vorliegt. Denn war dies nicht der Fall, war ein andrer Buchstabe als a bevorzugt, so lässt sich durch cyklische Vertauschung der drei Parameter immer hinbringen, dass es der Fall wird, dass in dem = x zu setzenden Ausdrucke ph (a, b, c) der bevorzugte Buchstabe gerade a ist.
Denken wir für den Augenblick uns den bevorzugten Buchstaben als das erste Argument angeführt, so müssen in der That die drei Gleichungen x = ph (b, c, a), y = ph (c, a, b), z = ph (a, b, c), desgleichen diese: x = ph (c, a, b), y = ph (a, b, c), z = ph (b, c, a) bei der Elimination von a, b, c uns die nämliche Resultante R = 0 liefern, als wie die drei Gleichungen: x = ph (a, b, c), y = ph (b, c, a), z = ph (c, a, b) sintemal die Resultante, weil sie die Eliminanden a, b, c gar nicht ent- hält, auch ungeändert bleiben muss, wenn man diese irgendwie unter sich vertauscht.
Auf Grund dieser Bemerkung reduzirt sich nicht nur bei den hin- sichtlich zweier Argumente symmetrischen, sondern auch bei den gänzlich unsymmetrischen Funktionen ph (a, b, c) die Menge der direkt zu ermit- telnden Resultanten sehr beträchtlich, und wird die Resultante schon nur für höchstens ein Drittel der Ausdrücke wirklich aufzusuchen sein.
Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
Keineswegs braucht man alle 256 Elemente von G (a, b, c) einzeln gleich x gesetzt (und durch cyklische Permutation der beiden Buchstaben- systeme a, b, c und x, y, z zu einem Systeme von drei Gleichungen er- gänzt) direkt auf ihre Resultante zu prüfen.
Zunächst liefern die hinsichtlich a, b, c symmetrischen Ausdrücke oder Elemente von G (a, b, c) stets ohne alle Rechnung R7, weil der Ansatz auf x = y = z augenscheinlich hinausläuft. Dergleichen Ausdrücke kommen nur bei dem 1. und 22., 2. und 21., 5. und 18., 8. und 15., beim 9., und beim 14. Typus vor, mithin bei 10 Typen und 6 Haupttypen, und finden sich — abgesehen von den Elementen 0 und 1 — oben bei R7 vertreten durch Repräsentanten, welche mit Rücksicht auf die nachfolgenden Bemerkungen als ausreichende hingestellt werden durften.
Wir brauchten also nur mehr die Ausdrücke durchzugehen, welche nicht bezüglich aller drei Buchstaben a, b, c symmetrisch erscheinen.
Solche können nun aber noch in Hinsicht zweier von diesen drei Buch- staben symmetrisch sein, was in der That vorkommt bei den Typen: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13. und 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, sonach bei allen Typen ausser 11 und den schon abgethanen 1 nebst 22 und 14.
In solchem Falle braucht man nur solche Ausdrücke zu berücksichtigen, bei welchen der Buchstabe a bevorzugt erscheint, die Symmetrie also hin- sichtlich b und c vorliegt. Denn war dies nicht der Fall, war ein andrer Buchstabe als a bevorzugt, so lässt sich durch cyklische Vertauschung der drei Parameter immer hinbringen, dass es der Fall wird, dass in dem = x zu setzenden Ausdrucke φ (a, b, c) der bevorzugte Buchstabe gerade a ist.
Denken wir für den Augenblick uns den bevorzugten Buchstaben als das erste Argument angeführt, so müssen in der That die drei Gleichungen x = φ (b, c, a), y = φ (c, a, b), z = φ (a, b, c), desgleichen diese: x = φ (c, a, b), y = φ (a, b, c), z = φ (b, c, a) bei der Elimination von a, b, c uns die nämliche Resultante R = 0 liefern, als wie die drei Gleichungen: x = φ (a, b, c), y = φ (b, c, a), z = φ (c, a, b) sintemal die Resultante, weil sie die Eliminanden a, b, c gar nicht ent- hält, auch ungeändert bleiben muss, wenn man diese irgendwie unter sich vertauscht.
Auf Grund dieser Bemerkung reduzirt sich nicht nur bei den hin- sichtlich zweier Argumente symmetrischen, sondern auch bei den gänzlich unsymmetrischen Funktionen φ (a, b, c) die Menge der direkt zu ermit- telnden Resultanten sehr beträchtlich, und wird die Resultante schon nur für höchstens ein Drittel der Ausdrücke wirklich aufzusuchen sein.
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[693/0713]
Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.
Keineswegs braucht man alle 256 Elemente von G (a, b, c) einzeln
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systeme a, b, c und x, y, z zu einem Systeme von drei Gleichungen er-
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Zunächst liefern die hinsichtlich a, b, c symmetrischen Ausdrücke oder
Elemente von G (a, b, c) stets ohne alle Rechnung R7, weil der Ansatz
auf x = y = z augenscheinlich hinausläuft. Dergleichen Ausdrücke kommen
nur bei dem
1. und 22., 2. und 21., 5. und 18., 8. und 15., beim 9., und beim 14.
Typus vor, mithin bei 10 Typen und 6 Haupttypen, und finden sich —
abgesehen von den Elementen 0 und 1 — oben bei R7 vertreten durch
Repräsentanten, welche mit Rücksicht auf die nachfolgenden Bemerkungen
als ausreichende hingestellt werden durften.
Wir brauchten also nur mehr die Ausdrücke durchzugehen, welche
nicht bezüglich aller drei Buchstaben a, b, c symmetrisch erscheinen.
Solche können nun aber noch in Hinsicht zweier von diesen drei Buch-
staben symmetrisch sein, was in der That vorkommt bei den Typen:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13.
und 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15,
sonach bei allen Typen ausser 11 und den schon abgethanen 1 nebst 22
und 14.
In solchem Falle braucht man nur solche Ausdrücke zu berücksichtigen,
bei welchen der Buchstabe a bevorzugt erscheint, die Symmetrie also hin-
sichtlich b und c vorliegt. Denn war dies nicht der Fall, war ein andrer
Buchstabe als a bevorzugt, so lässt sich durch cyklische Vertauschung der
drei Parameter immer hinbringen, dass es der Fall wird, dass in dem = x
zu setzenden Ausdrucke φ (a, b, c) der bevorzugte Buchstabe gerade a ist.
Denken wir für den Augenblick uns den bevorzugten Buchstaben als
das erste Argument angeführt, so müssen in der That die drei Gleichungen
x = φ (b, c, a), y = φ (c, a, b), z = φ (a, b, c),
desgleichen diese:
x = φ (c, a, b), y = φ (a, b, c), z = φ (b, c, a)
bei der Elimination von a, b, c uns die nämliche Resultante R = 0 liefern,
als wie die drei Gleichungen:
x = φ (a, b, c), y = φ (b, c, a), z = φ (c, a, b)
sintemal die Resultante, weil sie die Eliminanden a, b, c gar nicht ent-
hält, auch ungeändert bleiben muss, wenn man diese irgendwie unter sich
vertauscht.
Auf Grund dieser Bemerkung reduzirt sich nicht nur bei den hin-
sichtlich zweier Argumente symmetrischen, sondern auch bei den gänzlich
unsymmetrischen Funktionen φ (a, b, c) die Menge der direkt zu ermit-
telnden Resultanten sehr beträchtlich, und wird die Resultante schon nur
für höchstens ein Drittel der Ausdrücke wirklich aufzusuchen sein.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 693. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/713>, abgerufen am 01.05.2024.
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