Nehmen wir vorläufig als erwiesen an, dass die Resultante aus den drei letzten Gleichungen, wie immer auch die Funktion ph (a, b, c) be- schaffen sein möge, hinsichtlich x, y, z symmetrisch sein muss -- ein Punkt über welchen nachher noch zu sprechen sein wird -- so kommt aber um die Menge der auf Resultanten zu prüfenden Ausdrücke zu vereinigen noch folgendes hinzu.
War R (x, y, z) = 0 die zum Ansatz x = ph (a, b, c) etc. gehörige Re- sultante, so muss ebendiese, nämlich R (x, z, y) = 0 auch zu dem An- satze x = ph (a, c, b) gehören, weil die Gleichungen x = ph (a, c, b), y = ph (b, a, c), z = ph (c, b, a) durch die gleichzeitige Vertauschung von b mit c und y mit z in die vorigen augenscheinlich verwandelt werden (mit Umstellung der beiden letzten von ihnen).
Von den sechs Ausdrücken, welche aus ph (a, b, c) durch Vertauschung, Permutation der Argumente ableitbar wären, braucht also immer nur einer auf seine Resultante (wenn = x gesetzt, etc.) geprüft zu werden -- womit im Allgemeinen (d. h. sofern jene sechs Ausdrücke verschieden), eine Re- duktion der Arbeit auf ihren sechsten Teil erzielt sein wird.
Weiter aber muss der Ansatz x = ph (a1, b1, c1), etc. auch seinerseits die obige Resultante R (x, y, z) = 0 liefern, da die Bezeichnung der Eli- minanden gleichgültig ist, diese also auch durch ihre Negationen durchweg ersetzt werden durften -- eine Bemerkung, durch welche die restirende Arbeit sich abermals um nahe die Hälfte reduzirt, nämlich nur dann sich nicht verringern wird, wenn die Funktion ph (a, b, c) bei Vertauschung der Argumente mit ihren Negationen ungeändert blieb.
Eine abermalige Reduktion der Arbeit auf ihre Hälfte ermöglicht endlich diese Bemerkung: Hat der Ansatz x = ph (a, b, c), etc. zu einer Resultante Rx (x, y, z) = 0 geführt, wo x einen gewissen von den Indices 1 bis 8 vorstellt, so muss natürlich aus den Gleichungen: x1 = ph1 (a, b, c) etc. [d. h. y1 = ph1 (b, c, a), z1 = ph1 (c, a, b)] -- unter ph1 die Negation von ph verstanden -- sich ganz dieselbe Resul- tante ergeben, weil diese Gleichungen bezüglich äquivalent, blosse Trans- skriptionen von, den vorhergehenden sind. Daraus folgt aber, dass nun auch der Ansatz: x = ph1 (a, b, c) etc. [d. h. y = ph1 (b, c, a), z = ph1 (c, a, b)] nun auch nicht mehr durch mühsames Eliminiren auf seine Resultante ge- prüft zu werden braucht, vielmehr letztere sich aus der vorigen unmittelbar abschreiben lässt, indem man die Symbole x, y, z mit ihren Negationen vertauscht. Das heisst, die hier in Frage kommende Resultante lautet: Rx (x1, y1, z1) = 0, oder nach der eingeführten Nomenklatur: Rk' (x, y, z) = 0.
Die gleiche Bemerkung trifft auch für x = 0 zu, wenn man R0' für einerlei mit R0 gelten lässt.
Auf Grund derselben brauchen die Ausdrücke der zu schon geprüften "komplementären" Typen nicht mehr auf ihre Resultanten geprüft zu werden,
Anhang 6.
Nehmen wir vorläufig als erwiesen an, dass die Resultante aus den drei letzten Gleichungen, wie immer auch die Funktion φ (a, b, c) be- schaffen sein möge, hinsichtlich x, y, z symmetrisch sein muss — ein Punkt über welchen nachher noch zu sprechen sein wird — so kommt aber um die Menge der auf Resultanten zu prüfenden Ausdrücke zu vereinigen noch folgendes hinzu.
War R (x, y, z) = 0 die zum Ansatz x = φ (a, b, c) etc. gehörige Re- sultante, so muss ebendiese, nämlich R (x, z, y) = 0 auch zu dem An- satze x = φ (a, c, b) gehören, weil die Gleichungen x = φ (a, c, b), y = φ (b, a, c), z = φ (c, b, a) durch die gleichzeitige Vertauschung von b mit c und y mit z in die vorigen augenscheinlich verwandelt werden (mit Umstellung der beiden letzten von ihnen).
Von den sechs Ausdrücken, welche aus φ (a, b, c) durch Vertauschung, Permutation der Argumente ableitbar wären, braucht also immer nur einer auf seine Resultante (wenn = x gesetzt, etc.) geprüft zu werden — womit im Allgemeinen (d. h. sofern jene sechs Ausdrücke verschieden), eine Re- duktion der Arbeit auf ihren sechsten Teil erzielt sein wird.
Weiter aber muss der Ansatz x = φ (a1, b1, c1), etc. auch seinerseits die obige Resultante R (x, y, z) = 0 liefern, da die Bezeichnung der Eli- minanden gleichgültig ist, diese also auch durch ihre Negationen durchweg ersetzt werden durften — eine Bemerkung, durch welche die restirende Arbeit sich abermals um nahe die Hälfte reduzirt, nämlich nur dann sich nicht verringern wird, wenn die Funktion φ (a, b, c) bei Vertauschung der Argumente mit ihren Negationen ungeändert blieb.
Eine abermalige Reduktion der Arbeit auf ihre Hälfte ermöglicht endlich diese Bemerkung: Hat der Ansatz x = φ (a, b, c), etc. zu einer Resultante R× (x, y, z) = 0 geführt, wo x einen gewissen von den Indices 1 bis 8 vorstellt, so muss natürlich aus den Gleichungen: x1 = φ1 (a, b, c) etc. [d. h. y1 = φ1 (b, c, a), z1 = φ1 (c, a, b)] — unter φ1 die Negation von φ verstanden — sich ganz dieselbe Resul- tante ergeben, weil diese Gleichungen bezüglich äquivalent, blosse Trans- skriptionen von, den vorhergehenden sind. Daraus folgt aber, dass nun auch der Ansatz: x = φ1 (a, b, c) etc. [d. h. y = φ1 (b, c, a), z = φ1 (c, a, b)] nun auch nicht mehr durch mühsames Eliminiren auf seine Resultante ge- prüft zu werden braucht, vielmehr letztere sich aus der vorigen unmittelbar abschreiben lässt, indem man die Symbole x, y, z mit ihren Negationen vertauscht. Das heisst, die hier in Frage kommende Resultante lautet: R× (x1, y1, z1) = 0, oder nach der eingeführten Nomenklatur: Rϰ' (x, y, z) = 0.
Die gleiche Bemerkung trifft auch für x = 0 zu, wenn man R0' für einerlei mit R0 gelten lässt.
Auf Grund derselben brauchen die Ausdrücke der zu schon geprüften „komplementären“ Typen nicht mehr auf ihre Resultanten geprüft zu werden,
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[694/0714]
Anhang 6.
Nehmen wir vorläufig als erwiesen an, dass die Resultante aus den
drei letzten Gleichungen, wie immer auch die Funktion φ (a, b, c) be-
schaffen sein möge, hinsichtlich x, y, z symmetrisch sein muss — ein Punkt
über welchen nachher noch zu sprechen sein wird — so kommt aber um
die Menge der auf Resultanten zu prüfenden Ausdrücke zu vereinigen noch
folgendes hinzu.
War R (x, y, z) = 0 die zum Ansatz x = φ (a, b, c) etc. gehörige Re-
sultante, so muss ebendiese, nämlich R (x, z, y) = 0 auch zu dem An-
satze x = φ (a, c, b) gehören, weil die Gleichungen
x = φ (a, c, b), y = φ (b, a, c), z = φ (c, b, a)
durch die gleichzeitige Vertauschung von b mit c und y mit z in die vorigen
augenscheinlich verwandelt werden (mit Umstellung der beiden letzten von
ihnen).
Von den sechs Ausdrücken, welche aus φ (a, b, c) durch Vertauschung,
Permutation der Argumente ableitbar wären, braucht also immer nur einer
auf seine Resultante (wenn = x gesetzt, etc.) geprüft zu werden — womit
im Allgemeinen (d. h. sofern jene sechs Ausdrücke verschieden), eine Re-
duktion der Arbeit auf ihren sechsten Teil erzielt sein wird.
Weiter aber muss der Ansatz x = φ (a1, b1, c1), etc. auch seinerseits
die obige Resultante R (x, y, z) = 0 liefern, da die Bezeichnung der Eli-
minanden gleichgültig ist, diese also auch durch ihre Negationen durchweg
ersetzt werden durften — eine Bemerkung, durch welche die restirende
Arbeit sich abermals um nahe die Hälfte reduzirt, nämlich nur dann sich
nicht verringern wird, wenn die Funktion φ (a, b, c) bei Vertauschung der
Argumente mit ihren Negationen ungeändert blieb.
Eine abermalige Reduktion der Arbeit auf ihre Hälfte ermöglicht
endlich diese Bemerkung: Hat der Ansatz x = φ (a, b, c), etc. zu einer
Resultante R× (x, y, z) = 0 geführt, wo x einen gewissen von den Indices
1 bis 8 vorstellt, so muss natürlich aus den Gleichungen:
x1 = φ1 (a, b, c) etc. [d. h. y1 = φ1 (b, c, a), z1 = φ1 (c, a, b)]
— unter φ1 die Negation von φ verstanden — sich ganz dieselbe Resul-
tante ergeben, weil diese Gleichungen bezüglich äquivalent, blosse Trans-
skriptionen von, den vorhergehenden sind. Daraus folgt aber, dass nun
auch der Ansatz:
x = φ1 (a, b, c) etc. [d. h. y = φ1 (b, c, a), z = φ1 (c, a, b)]
nun auch nicht mehr durch mühsames Eliminiren auf seine Resultante ge-
prüft zu werden braucht, vielmehr letztere sich aus der vorigen unmittelbar
abschreiben lässt, indem man die Symbole x, y, z mit ihren Negationen
vertauscht. Das heisst, die hier in Frage kommende Resultante lautet:
R× (x1, y1, z1) = 0, oder nach der eingeführten Nomenklatur: Rϰ' (x, y, z) = 0.
Die gleiche Bemerkung trifft auch für x = 0 zu, wenn man R0' für
einerlei mit R0 gelten lässt.
Auf Grund derselben brauchen die Ausdrücke der zu schon geprüften
„komplementären“ Typen nicht mehr auf ihre Resultanten geprüft zu werden,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 694. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/714>, abgerufen am 30.04.2024.
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