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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Anhang 6.

mit c vertauscht und dazu das zweite Argument mit dem dritten, so gehen
die drei letzten Gleichungen in der That in die drei vorigen über. Von
rechtswegen heisst es dann aber durchweg nun Ph statt ph. --

Auch die Hinzuziehung der Annahme, dass die Funktion ph (a, b, c)
ausser a, b, c sonst keine Parameter enthalte -- eine Annahme, die sich
übrigens für die Geltung des Satzes als unwesentlich erweisen wird --
scheint eine aprioristische Beweisführung nicht zu fördern.

Und somit bleibt nichts übrig als den Beweis des Satzes a posteriori
anzutreten, indem man die Resultante für die allgemeinste Funktion ph (a, b, c)
wirklich herstellt, und ihre Symmetrie darnach sozusagen empirisch nach-
weist als eine unmittelbar wahrzunehmende.

Zu dem Ende lösen wir zunächst die noch allgemeinere

Aufgabe. Die Parameter a, b, c zu eliminiren aus den drei Glei-
chungen:
x = ph (a, b, c), y = ps (a, b, c), z = kh (a, b, c),
wo ph, ps, kh irgendwelche Funktionen im identischen Kalkul sind.

Auflösung. Man hat "entwickelt":
ph (a, b, c) = ph111 a b c + ph110 a b c1 + ph101 a b1 c + ph100 a b1 c1 +
+ ph011 a1 b c + ph010 a1 b c1 + ph001 a1 b1 c + ph000 a1 b1 c1,
analog für ps und kh, worin nun also die Koeffizienten als gegeben zu
denken sind in Gestalt von irgendwelchen Gebiets- oder Klassensymbolen.

Bezeichnen wir bei diesen Koeffizienten die Negation durch übergesetzten
Horizontalstrich, so ist ferner:
ph1 (a, b, c) = phn111 a b c + phn110 a b c1 + phn101 a b1 c + phn100 a b1 c1 +
+ phn011 a1 b c + phn010 a1 b1 c + phn101 a1 b1 c + phn000 a1 b1 c1,
analog für ps und kh.

Vereinigte Gleichung der Prämissen ist nun:
x1 ph + x ph1 + y1 ps + y ps1 + z1 kh + z kh1 = 0,
wo die linke Seite nun leichtlich nach den a, b, c geordnet sich schreiben
liesse. Man liest indess die Koeffizienten der verschiedenen Konstituenten
schon bequem aus den für ph und ph1 gemachten Angaben heraus. Resul-
tante der Elimination von a, b, c ist das Produkt dieser Koeffizienten = 0
gesetzt, mithin:

0 = (x1 ph111 + x phn111 + y1 ps111 + y psn111 + z1 kh111 + z khn111) (x1 ph110 + x phn110 + y1 ps110 + y psn110 + z1 kh110 + z khn110) ·
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Diese Resultante soll jetzt noch nach den Argumenten x, y, z ent-
wickelt werden. Man erhält unschwer:

Anhang 6.

Auch die Hinzuziehung der Annahme, dass die Funktion φ (a, b, c)
ausser a, b, c sonst keine Parameter enthalte — eine Annahme, die sich
übrigens für die Geltung des Satzes als unwesentlich erweisen wird —
scheint eine aprioristische Beweisführung nicht zu fördern.

Und somit bleibt nichts übrig als den Beweis des Satzes a posteriori
anzutreten, indem man die Resultante für die allgemeinste Funktion φ (a, b, c)
wirklich herstellt, und ihre Symmetrie darnach sozusagen empirisch nach-
weist als eine unmittelbar wahrzunehmende.

Zu dem Ende lösen wir zunächst die noch allgemeinere

Aufgabe. Die Parameter a, b, c zu eliminiren aus den drei Glei-
chungen:
x = φ (a, b, c), y = ψ (a, b, c), z = χ (a, b, c),
wo φ, ψ, χ irgendwelche Funktionen im identischen Kalkul sind.

Auflösung. Man hat „entwickelt“:
φ (a, b, c) = φ111 a b c + φ110 a b c1 + φ101 a b1 c + φ100 a b1 c1 +
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analog für ψ und χ, worin nun also die Koeffizienten als gegeben zu
denken sind in Gestalt von irgendwelchen Gebiets- oder Klassensymbolen.

Bezeichnen wir bei diesen Koeffizienten die Negation durch übergesetzten
Horizontalstrich, so ist ferner:
φ1 (a, b, c) = φ̄111 a b c + φ̄110 a b c1 + φ̄101 a b1 c + φ̄100 a b1 c1 +
+ φ̄011 a1 b c + φ̄010 a1 b1 c + φ̄101 a1 b1 c + φ̄000 a1 b1 c1,
analog für ψ und χ.

Vereinigte Gleichung der Prämissen ist nun:
x1 φ + x φ1 + y1 ψ + y ψ1 + z1 χ + z χ1 = 0,
wo die linke Seite nun leichtlich nach den a, b, c geordnet sich schreiben
liesse. Man liest indess die Koeffizienten der verschiedenen Konstituenten
schon bequem aus den für φ und φ1 gemachten Angaben heraus. Resul-
tante der Elimination von a, b, c ist das Produkt dieser Koeffizienten = 0
gesetzt, mithin:

0 = (x1 φ111 + x φ̄111 + y1 ψ111 + y ψ̄111 + z1 χ111 + z χ̄111) (x1 φ110 + x φ̄110 + y1 ψ110 + y ψ̄110 + z1 χ110 + z χ̄110) ·
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Diese Resultante soll jetzt noch nach den Argumenten x, y, z ent-
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[696/0716] Anhang 6. mit c vertauscht und dazu das zweite Argument mit dem dritten, so gehen die drei letzten Gleichungen in der That in die drei vorigen über. Von rechtswegen heisst es dann aber durchweg nun Φ statt φ. — Auch die Hinzuziehung der Annahme, dass die Funktion φ (a, b, c) ausser a, b, c sonst keine Parameter enthalte — eine Annahme, die sich übrigens für die Geltung des Satzes als unwesentlich erweisen wird — scheint eine aprioristische Beweisführung nicht zu fördern. Und somit bleibt nichts übrig als den Beweis des Satzes a posteriori anzutreten, indem man die Resultante für die allgemeinste Funktion φ (a, b, c) wirklich herstellt, und ihre Symmetrie darnach sozusagen empirisch nach- weist als eine unmittelbar wahrzunehmende. Zu dem Ende lösen wir zunächst die noch allgemeinere Aufgabe. Die Parameter a, b, c zu eliminiren aus den drei Glei- chungen: x = φ (a, b, c), y = ψ (a, b, c), z = χ (a, b, c), wo φ, ψ, χ irgendwelche Funktionen im identischen Kalkul sind. Auflösung. Man hat „entwickelt“: φ (a, b, c) = φ111 a b c + φ110 a b c1 + φ101 a b1 c + φ100 a b1 c1 + + φ011 a1 b c + φ010 a1 b c1 + φ001 a1 b1 c + φ000 a1 b1 c1, analog für ψ und χ, worin nun also die Koeffizienten als gegeben zu denken sind in Gestalt von irgendwelchen Gebiets- oder Klassensymbolen. Bezeichnen wir bei diesen Koeffizienten die Negation durch übergesetzten Horizontalstrich, so ist ferner: φ1 (a, b, c) = φ̄111 a b c + φ̄110 a b c1 + φ̄101 a b1 c + φ̄100 a b1 c1 + + φ̄011 a1 b c + φ̄010 a1 b1 c + φ̄101 a1 b1 c + φ̄000 a1 b1 c1, analog für ψ und χ. Vereinigte Gleichung der Prämissen ist nun: x1 φ + x φ1 + y1 ψ + y ψ1 + z1 χ + z χ1 = 0, wo die linke Seite nun leichtlich nach den a, b, c geordnet sich schreiben liesse. Man liest indess die Koeffizienten der verschiedenen Konstituenten schon bequem aus den für φ und φ1 gemachten Angaben heraus. Resul- tante der Elimination von a, b, c ist das Produkt dieser Koeffizienten = 0 gesetzt, mithin: 0 = (x1 φ111 + x φ̄111 + y1 ψ111 + y ψ̄111 + z1 χ111 + z χ̄111) (x1 φ110 + x φ̄110 + y1 ψ110 + y ψ̄110 + z1 χ110 + z χ̄110) · · (x1 φ101 + x φ̄101 + y1 ψ101 + y ψ̄101 + z1 χ101 + z χ̄101) (x1 φ100 + x φ̄100 + y1 ψ100 + y ψ̄100 + z1 χ100 + z χ̄100) · · (x1 φ011 + x φ̄011 + y1 ψ011 + y ψ̄011 + z1 χ011 + z χ̄011) (x1 φ010 + x φ̄010 + y1 ψ010 + y ψ̄010 + z1 χ010 + z χ̄010) · · (x1 φ001 + x φ̄001 + y1 ψ001 + y ψ̄001 + z1 χ001 + z χ̄001) (x1 φ000 + x φ̄000 + y1 ψ000 + y ψ̄000 + z1 χ000 + z χ̄000) · Diese Resultante soll jetzt noch nach den Argumenten x, y, z ent- wickelt werden. Man erhält unschwer:

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 696. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/716>, abgerufen am 01.05.2024.

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