Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

0 = x y z (phn111 + psn111 + khn111) (phn110 + psn110 + khn110) (phn101 + psn101 + khn101) (phn100 + psn100 + khn100) ·
· (phn011 + psn011 + khn011) (phn010 + psn010 + khn010) (phn001 + psn001 + khn001) (phn000 + psn000 + khn000) +
+ x y z1 (phn111 + psn111 + kh111) (phn110 + psn110 + kh110) (phn101 + psn101 + kh101) (phn100 + psn100 + kh100) ·
· (phn011 + psn011 + kh011) (phn010 + psn010 + kh010) (phn001 + psn001 + kh001) (phn000 + psn000 + kh000) +
+ x y1 z (phn111 + ps111 + khn111) (phn110 + ps110 + khn110) (phn101 + ps101 + khn101) (phn100 + ps100 + khn100) ·
· (phn011 + ps011 + khn011) (phn010 + ps010 + khn010) (phn001 + ps001 + khn001) (phn000 + ps000 + khn000) +
+ x y1 z1 (phn111 + ps111 + kh111) (phn110 + ps110 + kh110) (phn101 + ps101 + kh101) (phn100 + ps100 + kh100) ·
· (phn011 + ps011 + kh011) (phn010 + ps010 + kh010) (phn001 + ps001 + kh001) (phn000 + ps000 + kh000) +
+ x1 y z (ph111 + psn111 + khn111) (ph110 + psn110 + khn110) (ph101 + psn101 + khn101) (ph100 + psn100 + khn100) ·
· (ph011 + psn011 + khn011) (ph010 + psn010 + khn010) (ph001 + psn001 + khn001) (ph000 + psn000 + khn000) +
+ x1 y z1 (ph111 + psn111 + kh111) (ph110 + psn110 + kh110) (ph101 + psn101 + kh101) (ph100 + psn100 + kh100) ·
· (ph011 + psn011 + kh011) (ph010 + psn010 + kh010) (ph001 + psn001 + kh001) (ph000 + psn000 + kh000) +
+ x1 y1 z (ph111 + ps111 + khn111) (ph110 + ps110 + khn110) (ph101 + ps101 + khn101) (ph100 + ps100 + khn100) ·
· (ph011 + ps011 + khn011) (ph010 + ps010 + khn010) (ph001 + ps001 + khn001) (ph000 + ps000 + khn000) +
+ x1 y1 z1 (ph111 + ps111 + kh111) (ph110 + ps110 + kh110) (ph101 + ps101 + kh101) (ph100 + ps100 + kh100) ·
· (ph011 + ps011 + kh011) (ph010 + ps010 + kh010) (ph001 + ps001 + kh001) (ph000 + ps000 + kh000).

Sei nun insbesondere:
ps (a, b, c) = ph (b, c, a), kh (a, b, c) = ph (c, a, b),
mithin
ps (a, b, c) = ph111 a b c + ph101 a b c1 + ph011 a b1 c + ph001 a b1 c1 +
+ ph110 a1 b c + ph100 a1 b c1 + ph010 a1 b1 c + ph000 a1 b1 c1,
kh (a, b, c) = ph111 a b c + ph011 a b c1 + ph110 a b1 c + ph010 a b1 c1 +
+ ph101 a1 b c + ph001 a1 b c1 + ph100 a1 b1 c + ph000 a1 b1 c1,
oder also:
ps111 = ph111, ps110 = ph101, ps101 = ph011, ps100 = ph001,
ps011 = ph110, ps010 = ph100, ps001 = ph010, ps000 = ph000,
kh111 = ph111, kh110 = ph011, kh101 = ph110, kh100 = ph010,
kh011 = ph101, kh010 = ph001, kh001 = ph100, kh000 = ph000,
desgleichen mit übergesetzten Horizontalstrichen, so erhalten wir durch
diese Einsetzungen als die Resultante der Elimination von a, b, c aus den
drei Gleichungen:
x = ph (a, b, c) y = ph (b, c, a), z = ph (c, a, b)
die nachstehende Gleichung:

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

0 = x y z (φ̄111 + ψ̄111 + χ̄111) (φ̄110 + ψ̄110 + χ̄110) (φ̄101 + ψ̄101 + χ̄101) (φ̄100 + ψ̄100 + χ̄100) ·
· (φ̄011 + ψ̄011 + χ̄011) (φ̄010 + ψ̄010 + χ̄010) (φ̄001 + ψ̄001 + χ̄001) (φ̄000 + ψ̄000 + χ̄000) +
+ x y z1 (φ̄111 + ψ̄111 + χ111) (φ̄110 + ψ̄110 + χ110) (φ̄101 + ψ̄101 + χ101) (φ̄100 + ψ̄100 + χ100) ·
· (φ̄011 + ψ̄011 + χ011) (φ̄010 + ψ̄010 + χ010) (φ̄001 + ψ̄001 + χ001) (φ̄000 + ψ̄000 + χ000) +
+ x y1 z (φ̄111 + ψ111 + χ̄111) (φ̄110 + ψ110 + χ̄110) (φ̄101 + ψ101 + χ̄101) (φ̄100 + ψ100 + χ̄100) ·
· (φ̄011 + ψ011 + χ̄011) (φ̄010 + ψ010 + χ̄010) (φ̄001 + ψ001 + χ̄001) (φ̄000 + ψ000 + χ̄000) +
+ x y1 z1 (φ̄111 + ψ111 + χ111) (φ̄110 + ψ110 + χ110) (φ̄101 + ψ101 + χ101) (φ̄100 + ψ100 + χ100) ·
· (φ̄011 + ψ011 + χ011) (φ̄010 + ψ010 + χ010) (φ̄001 + ψ001 + χ001) (φ̄000 + ψ000 + χ000) +
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Sei nun insbesondere:
ψ (a, b, c) = φ (b, c, a), χ (a, b, c) = φ (c, a, b),
mithin
ψ (a, b, c) = φ111 a b c + φ101 a b c1 + φ011 a b1 c + φ001 a b1 c1 +
+ φ110 a1 b c + φ100 a1 b c1 + φ010 a1 b1 c + φ000 a1 b1 c1,
χ (a, b, c) = φ111 a b c + φ011 a b c1 + φ110 a b1 c + φ010 a b1 c1 +
+ φ101 a1 b c + φ001 a1 b c1 + φ100 a1 b1 c + φ000 a1 b1 c1,
oder also:
ψ111 = φ111, ψ110 = φ101, ψ101 = φ011, ψ100 = φ001,
ψ011 = φ110, ψ010 = φ100, ψ001 = φ010, ψ000 = φ000,
χ111 = φ111, χ110 = φ011, χ101 = φ110, χ100 = φ010,
χ011 = φ101, χ010 = φ001, χ001 = φ100, χ000 = φ000,
desgleichen mit übergesetzten Horizontalstrichen, so erhalten wir durch
diese Einsetzungen als die Resultante der Elimination von a, b, c aus den
drei Gleichungen:
x = φ (a, b, c) y = φ (b, c, a), z = φ (c, a, b)
die nachstehende Gleichung:

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[697/0717] Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls. 0 = x y z (φ̄111 + ψ̄111 + χ̄111) (φ̄110 + ψ̄110 + χ̄110) (φ̄101 + ψ̄101 + χ̄101) (φ̄100 + ψ̄100 + χ̄100) · · (φ̄011 + ψ̄011 + χ̄011) (φ̄010 + ψ̄010 + χ̄010) (φ̄001 + ψ̄001 + χ̄001) (φ̄000 + ψ̄000 + χ̄000) + + x y z1 (φ̄111 + ψ̄111 + χ111) (φ̄110 + ψ̄110 + χ110) (φ̄101 + ψ̄101 + χ101) (φ̄100 + ψ̄100 + χ100) · · (φ̄011 + ψ̄011 + χ011) (φ̄010 + ψ̄010 + χ010) (φ̄001 + ψ̄001 + χ001) (φ̄000 + ψ̄000 + χ000) + + x y1 z (φ̄111 + ψ111 + χ̄111) (φ̄110 + ψ110 + χ̄110) (φ̄101 + ψ101 + χ̄101) (φ̄100 + ψ100 + χ̄100) · · (φ̄011 + ψ011 + χ̄011) (φ̄010 + ψ010 + χ̄010) (φ̄001 + ψ001 + χ̄001) (φ̄000 + ψ000 + χ̄000) + + x y1 z1 (φ̄111 + ψ111 + χ111) (φ̄110 + ψ110 + χ110) (φ̄101 + ψ101 + χ101) (φ̄100 + ψ100 + χ100) · · (φ̄011 + ψ011 + χ011) (φ̄010 + ψ010 + χ010) (φ̄001 + ψ001 + χ001) (φ̄000 + ψ000 + χ000) + + x1 y z (φ111 + ψ̄111 + χ̄111) (φ110 + ψ̄110 + χ̄110) (φ101 + ψ̄101 + χ̄101) (φ100 + ψ̄100 + χ̄100) · · (φ011 + ψ̄011 + χ̄011) (φ010 + ψ̄010 + χ̄010) (φ001 + ψ̄001 + χ̄001) (φ000 + ψ̄000 + χ̄000) + + x1 y z1 (φ111 + ψ̄111 + χ111) (φ110 + ψ̄110 + χ110) (φ101 + ψ̄101 + χ101) (φ100 + ψ̄100 + χ100) · · (φ011 + ψ̄011 + χ011) (φ010 + ψ̄010 + χ010) (φ001 + ψ̄001 + χ001) (φ000 + ψ̄000 + χ000) + + x1 y1 z (φ111 + ψ111 + χ̄111) (φ110 + ψ110 + χ̄110) (φ101 + ψ101 + χ̄101) (φ100 + ψ100 + χ̄100) · · (φ011 + ψ011 + χ̄011) (φ010 + ψ010 + χ̄010) (φ001 + ψ001 + χ̄001) (φ000 + ψ000 + χ̄000) + + x1 y1 z1 (φ111 + ψ111 + χ111) (φ110 + ψ110 + χ110) (φ101 + ψ101 + χ101) (φ100 + ψ100 + χ100) · · (φ011 + ψ011 + χ011) (φ010 + ψ010 + χ010) (φ001 + ψ001 + χ001) (φ000 + ψ000 + χ000). Sei nun insbesondere: ψ (a, b, c) = φ (b, c, a), χ (a, b, c) = φ (c, a, b), mithin ψ (a, b, c) = φ111 a b c + φ101 a b c1 + φ011 a b1 c + φ001 a b1 c1 + + φ110 a1 b c + φ100 a1 b c1 + φ010 a1 b1 c + φ000 a1 b1 c1, χ (a, b, c) = φ111 a b c + φ011 a b c1 + φ110 a b1 c + φ010 a b1 c1 + + φ101 a1 b c + φ001 a1 b c1 + φ100 a1 b1 c + φ000 a1 b1 c1, oder also: ψ111 = φ111, ψ110 = φ101, ψ101 = φ011, ψ100 = φ001, ψ011 = φ110, ψ010 = φ100, ψ001 = φ010, ψ000 = φ000, χ111 = φ111, χ110 = φ011, χ101 = φ110, χ100 = φ010, χ011 = φ101, χ010 = φ001, χ001 = φ100, χ000 = φ000, desgleichen mit übergesetzten Horizontalstrichen, so erhalten wir durch diese Einsetzungen als die Resultante der Elimination von a, b, c aus den drei Gleichungen: x = φ (a, b, c) y = φ (b, c, a), z = φ (c, a, b) die nachstehende Gleichung:

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 697. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/717>, abgerufen am 01.05.2024.

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