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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 48. Erweiterte Syllogistik.
(A C1 + A1 C = 1) (A C1 0) (A1 C 0) m = dA, C1 dA1, C m aus 27' · 29';
(A C1 + A1 C = 1) (A C1 0) (A1 C 0) s = dA, C1 dA1, C s " 29' · 30'.

Die letztern dreizehn sind gewissermassen überreiche Schlüsse, so-
fern bei ihnen noch mehr als eine Gergonne'sche Elementarbeziehung
zu folgern ist.

Paradigmata.
15' · 27' = (C B + C1 B1 = 1) (A B 0) (A1 B 0) (C B 0) (A B1 0)
(A C 0) (A1 C 0) (C 0) (A C1 0) l = (A C 0) (A C1 0) (A1 C 0) = aA, C;
der Boole'sche Faktor der Konklusion wird hier:
(C + C1 = 1) = (1 = 1) = i
und ist also zu unterdrücken; ferner ist der nach dem Eliminationsschema
sich ergebende Faktor C C 0 oder C 0 in der Konklusion zu unter-
drücken, da er durch den ausserdem auftretenden Faktor A C 0 derselben
überflüssig gemacht wird. Nach bekannten Sätzen haben wir nämlich:
(A C 0) (C 0), sonach (A C 0) (C 0) = (A C 0)
-- eine Überlegung, wie sie ungemein häufig zur Vereinfachung der nach
dem Schema sich ergebenden Konklusionen anzubringen ist.

Die Klausel ergibt sich im vorliegenden Falle, indem man in den
Ungleichungsfaktoren des Prämissensystems den Koeffizienten A von B1
zusammenhält mit einem jeden der Koeffizienten A, A1 und C von B, und
statuirt, ausspricht, dass er mit diesem nicht in ein Individuum zusammen-
fallen dürfe. Da nun A mit A nicht zu einem solchen zusammenfallen,
d. h. A nicht selbst eine singuläre Klasse, ein Individuum vorstellend, sein
darf, so erscheint es überflüssig, noch ausdrücklich zu fordern, dass auch
A mit C nicht zu einem Individuum zusammenfallen dürfe, weil dies doch
nur möglich würde, wenn A selbst ein solches wäre. Mit seiner Negation
A1 aber kann A ohnehin nie etwas gemein haben. Die ganze Klausel re-
duzirt also hier sich zu l.

Die Anmerkung dieses Faktors bei der Konklusion wird indess hier
schliesslich überflüssig, weil die zwei ersten Faktoren derselben:
(A C 0) (A C1 0)
denselben ohnehin (als "Klausel" bei der Elimination von C) bedingen.

Überlegungen nach Art der vorstehend ausführlich dargelegten spielen
ungemein häufig mit, wenn die Resultante oder Konklusion auf ihre ein-
fachste Ausdrucksform gebracht wird. --

13' · 19' = (A B + C1 B1 = 1) (C B 0) (C1 B 0)
(A + C1 = 1) (A C 0) (A C1 0) = bA, C. --
27' · 27' = (A C B + A1 C1 B1 = 1) (A B 0) (C B 0)
(A C + A1 C1 = 1) (A C 0) = dA, C. --
§ 48. Erweiterte Syllogistik.
(A C1 + A1 C = 1) (A C1 ≠ 0) (A1 C ≠ 0) μ = δA, C1 δA1, C μ aus 27’ · 29’;
(A C1 + A1 C = 1) (A C1 ≠ 0) (A1 C ≠ 0) σ = δA, C1 δA1, C σ „ 29’ · 30’.

Die letztern dreizehn sind gewissermassen überreiche Schlüsse, so-
fern bei ihnen noch mehr als eine Gergonne’sche Elementarbeziehung
zu folgern ist.

Paradigmata.
15’ · 27’ = (C B + C1 B1 = 1) (A B ≠ 0) (A1 B ≠ 0) (C B ≠ 0) (A B1 ≠ 0) ⊆
⊆ (A C ≠ 0) (A1 C ≠ 0) (C ≠ 0) (A C1 ≠ 0) λ = (A C ≠ 0) (A C1 ≠ 0) (A1 C ≠ 0) = αA, C;
der Boole’sche Faktor der Konklusion wird hier:
(C + C1 = 1) = (1 = 1) = i
und ist also zu unterdrücken; ferner ist der nach dem Eliminationsschema
sich ergebende Faktor C C ≠ 0 oder C ≠ 0 in der Konklusion zu unter-
drücken, da er durch den ausserdem auftretenden Faktor A C ≠ 0 derselben
überflüssig gemacht wird. Nach bekannten Sätzen haben wir nämlich:
(A C ≠ 0) ⊆ (C ≠ 0), sonach (A C ≠ 0) (C ≠ 0) = (A C ≠ 0)
— eine Überlegung, wie sie ungemein häufig zur Vereinfachung der nach
dem Schema sich ergebenden Konklusionen anzubringen ist.

Die Klausel ergibt sich im vorliegenden Falle, indem man in den
Ungleichungsfaktoren des Prämissensystems den Koeffizienten A von B1
zusammenhält mit einem jeden der Koeffizienten A, A1 und C von B, und
statuirt, ausspricht, dass er mit diesem nicht in ein Individuum zusammen-
fallen dürfe. Da nun A mit A nicht zu einem solchen zusammenfallen,
d. h. A nicht selbst eine singuläre Klasse, ein Individuum vorstellend, sein
darf, so erscheint es überflüssig, noch ausdrücklich zu fordern, dass auch
A mit C nicht zu einem Individuum zusammenfallen dürfe, weil dies doch
nur möglich würde, wenn A selbst ein solches wäre. Mit seiner Negation
A1 aber kann A ohnehin nie etwas gemein haben. Die ganze Klausel re-
duzirt also hier sich zu λ.

Die Anmerkung dieses Faktors bei der Konklusion wird indess hier
schliesslich überflüssig, weil die zwei ersten Faktoren derselben:
(A C ≠ 0) (A C1 ≠ 0)
denselben ohnehin (als „Klausel“ bei der Elimination von C) bedingen.

Überlegungen nach Art der vorstehend ausführlich dargelegten spielen
ungemein häufig mit, wenn die Resultante oder Konklusion auf ihre ein-
fachste Ausdrucksform gebracht wird. —

13’ · 19’ = (A B + C1 B1 = 1) (C B ≠ 0) (C1 B ≠ 0) ⊆
⊆ (A + C1 = 1) (A C ≠ 0) (A C1 ≠ 0) = βA, C. —
27’ · 27’ = (A C B + A1 C1 B1 = 1) (A B ≠ 0) (C B ≠ 0) ⊆
⊆ (A C + A1 C1 = 1) (A C ≠ 0) = δA, C. —
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[367/0391] § 48. Erweiterte Syllogistik. (A C1 + A1 C = 1) (A C1 ≠ 0) (A1 C ≠ 0) μ = δA, C1 δA1, C μ aus 27’ · 29’; (A C1 + A1 C = 1) (A C1 ≠ 0) (A1 C ≠ 0) σ = δA, C1 δA1, C σ „ 29’ · 30’. Die letztern dreizehn sind gewissermassen überreiche Schlüsse, so- fern bei ihnen noch mehr als eine Gergonne’sche Elementarbeziehung zu folgern ist. Paradigmata. 15’ · 27’ = (C B + C1 B1 = 1) (A B ≠ 0) (A1 B ≠ 0) (C B ≠ 0) (A B1 ≠ 0)   (A C ≠ 0) (A1 C ≠ 0) (C ≠ 0) (A C1 ≠ 0) λ = (A C ≠ 0) (A C1 ≠ 0) (A1 C ≠ 0) = αA, C; der Boole’sche Faktor der Konklusion wird hier: (C + C1 = 1) = (1 = 1) = i und ist also zu unterdrücken; ferner ist der nach dem Eliminationsschema sich ergebende Faktor C C ≠ 0 oder C ≠ 0 in der Konklusion zu unter- drücken, da er durch den ausserdem auftretenden Faktor A C ≠ 0 derselben überflüssig gemacht wird. Nach bekannten Sätzen haben wir nämlich: (A C ≠ 0)  (C ≠ 0), sonach (A C ≠ 0) (C ≠ 0) = (A C ≠ 0) — eine Überlegung, wie sie ungemein häufig zur Vereinfachung der nach dem Schema sich ergebenden Konklusionen anzubringen ist. Die Klausel ergibt sich im vorliegenden Falle, indem man in den Ungleichungsfaktoren des Prämissensystems den Koeffizienten A von B1 zusammenhält mit einem jeden der Koeffizienten A, A1 und C von B, und statuirt, ausspricht, dass er mit diesem nicht in ein Individuum zusammen- fallen dürfe. Da nun A mit A nicht zu einem solchen zusammenfallen, d. h. A nicht selbst eine singuläre Klasse, ein Individuum vorstellend, sein darf, so erscheint es überflüssig, noch ausdrücklich zu fordern, dass auch A mit C nicht zu einem Individuum zusammenfallen dürfe, weil dies doch nur möglich würde, wenn A selbst ein solches wäre. Mit seiner Negation A1 aber kann A ohnehin nie etwas gemein haben. Die ganze Klausel re- duzirt also hier sich zu λ. Die Anmerkung dieses Faktors bei der Konklusion wird indess hier schliesslich überflüssig, weil die zwei ersten Faktoren derselben: (A C ≠ 0) (A C1 ≠ 0) denselben ohnehin (als „Klausel“ bei der Elimination von C) bedingen. Überlegungen nach Art der vorstehend ausführlich dargelegten spielen ungemein häufig mit, wenn die Resultante oder Konklusion auf ihre ein- fachste Ausdrucksform gebracht wird. — 13’ · 19’ = (A B + C1 B1 = 1) (C B ≠ 0) (C1 B ≠ 0)   (A + C1 = 1) (A C ≠ 0) (A C1 ≠ 0) = βA, C. — 27’ · 27’ = (A C B + A1 C1 B1 = 1) (A B ≠ 0) (C B ≠ 0)   (A C + A1 C1 = 1) (A C ≠ 0) = δA, C. —

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 367. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/391>, abgerufen am 17.06.2024.