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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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McColl's Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Nun ist ein jedes Glied von R ein Produkt aus [Formel 1] Aussagen p
der Form p (xk -- xl); und in jedem dieser Glieder ist eine jede x-Grösse,
z. B. x1, gerade wieder n -- 1 mal vertreten, sei es als Minuend, sei es
als Subtrahend in je einem p- Faktor, und zwar so, dass keine von den n
x-Grössen durchweg als Minuend erscheint. Wäre nämlich etwa das
Element x1 durchweg Minuend in allen n -- 1 Faktoren p, in welchen das-
selbe vorkommt, so wäre das betreffende Glied von m1) schon mit a1 be-
rücksichtigt worden.

Dies vorausgesetzt, lässt sich nun beweisen, dass unter den Faktoren
eines jeden Gliedes von R sich stets eine geschlossene Kette, ein Ring oder
"Cyklus" finden muss -- mitunter auch deren mehrere -- von der Form

n1)	p (a -- b) p (b -- c) p (c -- a), = 0 p (a -- b) p (b -- c) p (c -- d) p (d -- a), = 0 . . . . . . . . . . . . . . .

Zunächst ist leicht einzusehen, dass ein solcher Cyklus jederzeit, (wie auch
schon der nur aus zwei Faktoren bestehende
p (a -- b) p (b -- a), = 0,
vergl. ps) Seite 525,) = 0 ist und damit, wofern er wirklich in einem Glied
von R vorhanden ist, auch dieses Glied zum Verschwinden bringt; denn
aus a -- b > 0, b -- c > 0 folgt durch überschiebendes Addiren a -- c > 0,
(oder aus a > b, b > c a fortiori a > c,) also
o1) p (a -- b) p (b -- c) p (a -- c)
und hieraus die erste der Inkonsistenzen n1), da p (c -- a) als Negation
von p (a -- c) zu gelten hat. U. s. w.

Dass aber wirklich in jedem Glied von R mindestens ein solcher
Cyklus notwendig auftreten muss, darin prägt sich ein eigener Satz der
Kombinatorik aus, den ich nachher für n Elemente irgend welcher Art --
die dann nicht x1, x3, x5, ... sondern 1, 2, 3, ... n genannt werden
sollen -- von allem bisherigen unabhängig aussprechen und beweisen
werde. Unter der Voraussetzung, dass dies bereits geschehen sei, möchte
ich jedoch, um den Gedankengang nicht zu unterbrechen, mit dem begonnenen
Beweise von McColl's Regel 1 zu Ende kommen.

Nach alledem wird also die Gleichung z1) anzusehen sein als das
Ergebniss der Entwickelung der identischen 1 nach den [Formel 2] Aussagen
p (xk -- xl).

Aus z1) ist dann endlich leicht g1) rechnerisch abzuleiten, indem man
jene Gleichung mit der gemäss b1) geltenden:
x1, 3, 5, ... = x1 x3 x5 ...
überschiebend multiplizirt und zwar rechts ausmultiplizirend. Dabei ist
nur noch zu beachten, dass in jedem Gliede alle Aussagenfaktoren x,

McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc.

Nun ist ein jedes Glied von R ein Produkt aus [Formel 1] Aussagen p
der Form p (xϰ — xλ); und in jedem dieser Glieder ist eine jede x-Grösse,
z. B. x1, gerade wieder n — 1 mal vertreten, sei es als Minuend, sei es
als Subtrahend in je einem p- Faktor, und zwar so, dass keine von den n
x-Grössen durchweg als Minuend erscheint. Wäre nämlich etwa das
Element x1 durchweg Minuend in allen n — 1 Faktoren p, in welchen das-
selbe vorkommt, so wäre das betreffende Glied von μ1) schon mit α1 be-
rücksichtigt worden.

Dies vorausgesetzt, lässt sich nun beweisen, dass unter den Faktoren
eines jeden Gliedes von R sich stets eine geschlossene Kette, ein Ring oder
„Cyklus“ finden muss — mitunter auch deren mehrere — von der Form

ν1)	p (a — b) p (b — c) p (c — a), = 0 p (a — b) p (b — c) p (c — d) p (d — a), = 0 . . . . . . . . . . . . . . .

Zunächst ist leicht einzusehen, dass ein solcher Cyklus jederzeit, (wie auch
schon der nur aus zwei Faktoren bestehende
p (a — b) p (b — a), = 0,
vergl. ψ) Seite 525,) = 0 ist und damit, wofern er wirklich in einem Glied
von R vorhanden ist, auch dieses Glied zum Verschwinden bringt; denn
aus a — b > 0, b — c > 0 folgt durch überschiebendes Addiren a — c > 0,
(oder aus a > b, b > c a fortiori a > c,) also
ο1) p (a — b) p (b — c) p (a — c)
und hieraus die erste der Inkonsistenzen ν1), da p (c — a) als Negation
von p (a — c) zu gelten hat. U. s. w.

Dass aber wirklich in jedem Glied von R mindestens ein solcher
Cyklus notwendig auftreten muss, darin prägt sich ein eigener Satz der
Kombinatorik aus, den ich nachher für n Elemente irgend welcher Art —
die dann nicht x1, x3, x5, … sondern 1, 2, 3, … n genannt werden
sollen — von allem bisherigen unabhängig aussprechen und beweisen
werde. Unter der Voraussetzung, dass dies bereits geschehen sei, möchte
ich jedoch, um den Gedankengang nicht zu unterbrechen, mit dem begonnenen
Beweise von McColl’s Regel 1 zu Ende kommen.

Nach alledem wird also die Gleichung ζ1) anzusehen sein als das
Ergebniss der Entwickelung der identischen 1̇ nach den [Formel 2] Aussagen
p (xϰ — xλ).

Aus ζ1) ist dann endlich leicht γ1) rechnerisch abzuleiten, indem man
jene Gleichung mit der gemäss β1) geltenden:
x1, 3, 5, … = x1 x3 x5 …
überschiebend multiplizirt und zwar rechts ausmultiplizirend. Dabei ist
nur noch zu beachten, dass in jedem Gliede alle Aussagenfaktoren x,

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[557/0201] McColl’s Anwendung des Aussagenkalkuls etc. Nun ist ein jedes Glied von R ein Produkt aus [FORMEL] Aussagen p der Form p (xϰ — xλ); und in jedem dieser Glieder ist eine jede x-Grösse, z. B. x1, gerade wieder n — 1 mal vertreten, sei es als Minuend, sei es als Subtrahend in je einem p- Faktor, und zwar so, dass keine von den n x-Grössen durchweg als Minuend erscheint. Wäre nämlich etwa das Element x1 durchweg Minuend in allen n — 1 Faktoren p, in welchen das- selbe vorkommt, so wäre das betreffende Glied von μ1) schon mit α1 be- rücksichtigt worden. Dies vorausgesetzt, lässt sich nun beweisen, dass unter den Faktoren eines jeden Gliedes von R sich stets eine geschlossene Kette, ein Ring oder „Cyklus“ finden muss — mitunter auch deren mehrere — von der Form ν1)p (a — b) p (b — c) p (c — a), = 0 p (a — b) p (b — c) p (c — d) p (d — a), = 0 . . . . . . . . . . . . . . . Zunächst ist leicht einzusehen, dass ein solcher Cyklus jederzeit, (wie auch schon der nur aus zwei Faktoren bestehende p (a — b) p (b — a), = 0, vergl. ψ) Seite 525,) = 0 ist und damit, wofern er wirklich in einem Glied von R vorhanden ist, auch dieses Glied zum Verschwinden bringt; denn aus a — b > 0, b — c > 0 folgt durch überschiebendes Addiren a — c > 0, (oder aus a > b, b > c a fortiori a > c,) also ο1) p (a — b) p (b — c) p (a — c) und hieraus die erste der Inkonsistenzen ν1), da p (c — a) als Negation von p (a — c) zu gelten hat. U. s. w. Dass aber wirklich in jedem Glied von R mindestens ein solcher Cyklus notwendig auftreten muss, darin prägt sich ein eigener Satz der Kombinatorik aus, den ich nachher für n Elemente irgend welcher Art — die dann nicht x1, x3, x5, … sondern 1, 2, 3, … n genannt werden sollen — von allem bisherigen unabhängig aussprechen und beweisen werde. Unter der Voraussetzung, dass dies bereits geschehen sei, möchte ich jedoch, um den Gedankengang nicht zu unterbrechen, mit dem begonnenen Beweise von McColl’s Regel 1 zu Ende kommen. Nach alledem wird also die Gleichung ζ1) anzusehen sein als das Ergebniss der Entwickelung der identischen 1̇ nach den [FORMEL] Aussagen p (xϰ — xλ). Aus ζ1) ist dann endlich leicht γ1) rechnerisch abzuleiten, indem man jene Gleichung mit der gemäss β1) geltenden: x1, 3, 5, … = x1 x3 x5 … überschiebend multiplizirt und zwar rechts ausmultiplizirend. Dabei ist nur noch zu beachten, dass in jedem Gliede alle Aussagenfaktoren x,

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 557. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/201>, abgerufen am 29.04.2024.

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