Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Anhang 7.
welche einen vom Exponenten des a verschiedenen Index haben, im Produkte
eingehen, speziell also, dass:
a1 x1 x3 x5 ... = a1 x1,
a3 x1 x3 x5 ... = a3 x3,
. . . . . . . .
ist. Um das erstere einzusehen (was für den Rest typisch ist), schreibe
man sich das Produkt ausführlicher hin:
p (x -- x1) p (x -- x3) p (x -- x5) ... p (x1 -- x3) p (x1 -- x5) ...

In Anbetracht aber, dass die Subsumtion o1) nach Th. 20x) auch ge-
schrieben werden kann:
p1) p (a -- b) p (b -- c) p (a -- c) = p (a -- b) p (b -- c),
haben wir ein Schema vor uns, gemäss welchem nun oben der Faktor
p (x -- x3) von dem Produkte p (x -- x1) p (x1 -- x3),
der p (x -- x5) " " " p (x -- x1) p (x1 -- x5),
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
augenscheinlich absorbirt (nämlich ohnehin mitbedingt) wird, (weshalb
seine Statuirung überflüssig). Sonach vereinfacht unser Glied sich in der
That zu:
p (x -- x1) p (x1 -- x3) p (x1 -- x5) ..., = x1 a1,
wie zu zeigen gewesen, und die Formel g1) ist gerechtfertigt.

Der kombinatorische (Hülfs-)Satz, auf welchen mich der Versuch
geführt hat, den Beweis von McColl's Regeln zu vervollständigen, und
von welchem vorstehend in der That Gebrauch gemacht werden musste,
ist vielleicht -- gleichwie der Beweis für denselben -- auch an sich von
Interesse. Derselbe ist wie folgt zu formuliren.

Betrachtet man die [Formel 1] Kombinationen ohne Wiederholungen zur
zweiten Klasse von n Elementen 1, 2, 3, ... n -- 1, n, dieselben jedoch
"ungeordnet" (d. h. mit irgendwie geordneten Elementen) genommen,
m. a. W. nur als "Elementepaare" aufgefasst, somit jede einzelne Kom-
bination beliebig entweder als "Rechtfolge" oder aber als "Kehrfolge" an-
gesetzt, so gilt der Satz: Wenn kein Element in allen n -- 1 Elemente-
paaren, in denen es vorkommt, voransteht, so lassen sich immer gewisse von
den Elementepaaren zu einem "Ringe" oder "Cyklus" ordnen -- wie

23, 34, 42,abgekürzt: 2342,
12, 23, 34, 41,12341,
. . . . . ....
-- dergestalt dass der Konsequent (oder das zweite Element) jedes Paares
mit dem Antezedenten (oder ersten Element) des ihm folgenden Paares
zusammenfällt, der letzte Konsequent aber mit dem ersten Antezedenten --
und zwar eventuell auf mehrere Arten.

Anhang 7.
welche einen vom Exponenten des α verschiedenen Index haben, im Produkte
eingehen, speziell also, dass:
α1 x1 x3 x5 … = α1 x1,
α3 x1 x3 x5 … = α3 x3,
. . . . . . . .
ist. Um das erstere einzusehen (was für den Rest typisch ist), schreibe
man sich das Produkt ausführlicher hin:
p (x — x1) p (x — x3) p (x — x5) … p (x1 — x3) p (x1 — x5) …

In Anbetracht aber, dass die Subsumtion ο1) nach Th. 2̅0̅×) auch ge-
schrieben werden kann:
π1) p (a — b) p (b — c) p (a — c) = p (a — b) p (b — c),
haben wir ein Schema vor uns, gemäss welchem nun oben der Faktor
p (x — x3) von dem Produkte p (x — x1) p (x1 — x3),
der p (x — x5) „ „ „ p (x — x1) p (x1 — x5),
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
augenscheinlich absorbirt (nämlich ohnehin mitbedingt) wird, (weshalb
seine Statuirung überflüssig). Sonach vereinfacht unser Glied sich in der
That zu:
p (x — x1) p (x1 — x3) p (x1 — x5) …, = x1 α1,
wie zu zeigen gewesen, und die Formel γ1) ist gerechtfertigt.

Der kombinatorische (Hülfs-)Satz, auf welchen mich der Versuch
geführt hat, den Beweis von McColl’s Regeln zu vervollständigen, und
von welchem vorstehend in der That Gebrauch gemacht werden musste,
ist vielleicht — gleichwie der Beweis für denselben — auch an sich von
Interesse. Derselbe ist wie folgt zu formuliren.

Betrachtet man die [Formel 1] Kombinationen ohne Wiederholungen zur
zweiten Klasse von n Elementen 1, 2, 3, … n — 1, n, dieselben jedoch
„ungeordnet“ (d. h. mit irgendwie geordneten Elementen) genommen,
m. a. W. nur als „Elementepaare“ aufgefasst, somit jede einzelne Kom-
bination beliebig entweder als „Rechtfolge“ oder aber als „Kehrfolge“ an-
gesetzt, so gilt der Satz: Wenn kein Element in allen n — 1 Elemente-
paaren, in denen es vorkommt, voransteht, so lassen sich immer gewisse von
den Elementepaaren zu einem „Ringe“ oder „Cyklus“ ordnen — wie

23, 34, 42,abgekürzt: 2342,
12, 23, 34, 41,12341,
. . . . . .…
— dergestalt dass der Konsequent (oder das zweite Element) jedes Paares
mit dem Antezedenten (oder ersten Element) des ihm folgenden Paares
zusammenfällt, der letzte Konsequent aber mit dem ersten Antezedenten —
und zwar eventuell auf mehrere Arten.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0202" n="558"/><fw place="top" type="header">Anhang 7.</fw><lb/>
welche einen vom Exponenten des <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> verschiedenen Index haben, im Produkte<lb/>
eingehen, speziell also, dass:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">5</hi> &#x2026; = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,<lb/><hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">5</hi> &#x2026; = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">3</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi>,<lb/>
. . . . . . . .</hi><lb/>
ist. Um das erstere einzusehen (was für den Rest typisch ist), schreibe<lb/>
man sich das Produkt ausführlicher hin:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">5</hi>) &#x2026; <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">5</hi>) &#x2026;</hi></p><lb/>
          <p>In Anbetracht aber, dass die Subsumtion <hi rendition="#i">&#x03BF;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) nach Th. 2&#x0305;0&#x0305;<hi rendition="#sub">×</hi>) auch ge-<lb/>
schrieben werden kann:<lb/><hi rendition="#i">&#x03C0;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">c</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">c</hi>) = <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">a</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">b</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">b</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">c</hi>),</hi><lb/>
haben wir ein Schema vor uns, gemäss welchem nun oben der Faktor<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) von dem Produkte <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi>),</hi><lb/>
der <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">5</hi>) &#x201E; &#x201E; &#x201E; <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">5</hi>),<lb/>
. . . . . . . . . . . . . . . . . .</hi><lb/>
augenscheinlich absorbirt (nämlich ohnehin mitbedingt) wird, (weshalb<lb/>
seine Statuirung überflüssig). Sonach vereinfacht unser Glied sich in der<lb/>
That zu:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">3</hi>) <hi rendition="#i">p</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">5</hi>) &#x2026;, = <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sup">1</hi>,</hi><lb/>
wie zu zeigen gewesen, und die Formel <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) ist gerechtfertigt.</p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Der kombinatorische</hi> (Hülfs-)<hi rendition="#g">Satz</hi>, auf welchen mich der Versuch<lb/>
geführt hat, den Beweis von <hi rendition="#g">McColl</hi>&#x2019;s Regeln zu vervollständigen, und<lb/>
von welchem vorstehend in der That Gebrauch gemacht werden <hi rendition="#i">musste</hi>,<lb/>
ist vielleicht &#x2014; gleichwie der Beweis für denselben &#x2014; auch an sich von<lb/>
Interesse. Derselbe ist wie folgt zu formuliren.</p><lb/>
          <p>Betrachtet man die <formula/> Kombinationen ohne Wiederholungen zur<lb/>
zweiten Klasse von <hi rendition="#i">n</hi> Elementen 1, 2, 3, &#x2026; <hi rendition="#i">n</hi> &#x2014; 1, <hi rendition="#i">n</hi>, dieselben jedoch<lb/>
&#x201E;ungeordnet&#x201C; (d. h. mit irgendwie geordneten Elementen) genommen,<lb/>
m. a. W. nur als &#x201E;Elementepaare&#x201C; aufgefasst, somit jede einzelne Kom-<lb/>
bination beliebig entweder als &#x201E;Rechtfolge&#x201C; oder aber als &#x201E;Kehrfolge&#x201C; an-<lb/>
gesetzt, so gilt der Satz: <hi rendition="#i">Wenn kein Element in allen n</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">1 Elemente-<lb/>
paaren, in denen es vorkommt, voransteht</hi>, <hi rendition="#i">so lassen sich immer gewisse von<lb/>
den Elementepaaren zu einem</hi> &#x201E;<hi rendition="#i">Ringe</hi>&#x201C; <hi rendition="#i">oder</hi> &#x201E;<hi rendition="#i">Cyklus</hi>&#x201C; <hi rendition="#i">ordnen</hi> &#x2014; wie<lb/><table><row><cell>23, 34, 42,</cell><cell>abgekürzt: 2342,</cell></row><lb/><row><cell>12, 23, 34, 41,</cell><cell>12341,</cell></row><lb/><row><cell>. . . . . .</cell><cell>&#x2026;</cell></row><lb/></table> &#x2014; dergestalt dass der Konsequent (oder das zweite Element) jedes Paares<lb/>
mit dem Antezedenten (oder ersten Element) des ihm folgenden Paares<lb/>
zusammenfällt, der letzte Konsequent aber mit dem ersten Antezedenten &#x2014;<lb/>
und zwar eventuell auf mehrere Arten.</p><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[558/0202] Anhang 7. welche einen vom Exponenten des α verschiedenen Index haben, im Produkte eingehen, speziell also, dass: α1 x1 x3 x5 … = α1 x1, α3 x1 x3 x5 … = α3 x3, . . . . . . . . ist. Um das erstere einzusehen (was für den Rest typisch ist), schreibe man sich das Produkt ausführlicher hin: p (x — x1) p (x — x3) p (x — x5) … p (x1 — x3) p (x1 — x5) … In Anbetracht aber, dass die Subsumtion ο1) nach Th. 2̅0̅×) auch ge- schrieben werden kann: π1) p (a — b) p (b — c) p (a — c) = p (a — b) p (b — c), haben wir ein Schema vor uns, gemäss welchem nun oben der Faktor p (x — x3) von dem Produkte p (x — x1) p (x1 — x3), der p (x — x5) „ „ „ p (x — x1) p (x1 — x5), . . . . . . . . . . . . . . . . . . augenscheinlich absorbirt (nämlich ohnehin mitbedingt) wird, (weshalb seine Statuirung überflüssig). Sonach vereinfacht unser Glied sich in der That zu: p (x — x1) p (x1 — x3) p (x1 — x5) …, = x1 α1, wie zu zeigen gewesen, und die Formel γ1) ist gerechtfertigt. Der kombinatorische (Hülfs-)Satz, auf welchen mich der Versuch geführt hat, den Beweis von McColl’s Regeln zu vervollständigen, und von welchem vorstehend in der That Gebrauch gemacht werden musste, ist vielleicht — gleichwie der Beweis für denselben — auch an sich von Interesse. Derselbe ist wie folgt zu formuliren. Betrachtet man die [FORMEL] Kombinationen ohne Wiederholungen zur zweiten Klasse von n Elementen 1, 2, 3, … n — 1, n, dieselben jedoch „ungeordnet“ (d. h. mit irgendwie geordneten Elementen) genommen, m. a. W. nur als „Elementepaare“ aufgefasst, somit jede einzelne Kom- bination beliebig entweder als „Rechtfolge“ oder aber als „Kehrfolge“ an- gesetzt, so gilt der Satz: Wenn kein Element in allen n — 1 Elemente- paaren, in denen es vorkommt, voransteht, so lassen sich immer gewisse von den Elementepaaren zu einem „Ringe“ oder „Cyklus“ ordnen — wie 23, 34, 42, abgekürzt: 2342, 12, 23, 34, 41, 12341, . . . . . . … — dergestalt dass der Konsequent (oder das zweite Element) jedes Paares mit dem Antezedenten (oder ersten Element) des ihm folgenden Paares zusammenfällt, der letzte Konsequent aber mit dem ersten Antezedenten — und zwar eventuell auf mehrere Arten.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/202
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 558. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/202>, abgerufen am 29.04.2024.