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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 8.

e) Ersetzt man in dieser das Element c durch c1, so verliert sie
die Symmetrie in Hinsicht der drei Elemente a, b, c und bleibt nur
noch symmetrisch bezüglich der beiden Elemente a und b. Die so
gewonnene Relation soll gemäss Kempe durch ein neues Symbol a b · c
(a b · c) = (· a b c1 ·)
dargestellt werden, -- welches wir im Bedarfsfalle auch in runde Klammern
schliessen.

Die Relation lässt sich auch in eine Doppelsubsumtion mit dem
Mittelgliede c umschreiben:
(· a b c1 ·) = (a b c1 + a1 b1 c = 0) = (a b c a + b) = (a b · c) = (b a · c).
Zur Veranschaulichung der Relation dient die Figur 37, K 105.

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 37.

Im Gegensatz zu den oben be-
trachteten Klassensymbolen oder "Ele-
menten" [a b c] und {a b, c} usw. werden
also sowol · a b c · als a b · c Aussagen-
symbole sein.

Herr Kempe pflegt die Relation
a b · c zu umschreiben mit den Worten
"we have a b · c", oder mit dem Satze:
a, b und c bilden eine "lineare" Triade
mit a und b als "even members" und c als dem "odd member", -- wo-
gegen unseres Erachtens passender umgekehrt a und b als die ungeraden
(oder äusseren, extremen) und c als das gerade (innere, Zwischen-)
Glied hingestellt würden.

Diese Relation a b · c zwischen den Elementen einer linearen Triade
ist nun der Ausgangspunkt der Theorie Kempe's. Er bildet es zu
einer Virtuosität aus, ganz und gar in solchen Relationen zu denken
und, indem er für sie eine Anzahl von Gesetzen axiomatisch aufstellt,
mittelst linearer Triadenbildung alles Andere zu definiren und zu be-
weisen. Die Auswahl gerade dieser Relation erscheint als ein geniales
Apercu, welches ahnen lässt, dass der identische Kalkul eine Fundgrube
auch noch für andere Theorien verschiedensten Charakters bilden wird.

th) Es sind nun zunächst Herrn Kempe's formale "Gesetze" von
unserem Ausgangspunkte aus zu beweisen. In der Zeichensprache
lauten diese Gesetze übersichtlich wie folgt:
"Law I". (a p · b) (c p · d) [Formel 1] (a d · q) (b c · q)
"Law II". (a b · p) (c p · d) [Formel 2] (a q · d) (b c · q)

Anhang 8.

η) Ersetzt man in dieser das Element c durch c1, so verliert sie
die Symmetrie in Hinsicht der drei Elemente a, b, c und bleibt nur
noch symmetrisch bezüglich der beiden Elemente a und b. Die so
gewonnene Relation soll gemäss Kempe durch ein neues Symbol a b · c
(a b · c) = (· a b c1 ·)
dargestellt werden, — welches wir im Bedarfsfalle auch in runde Klammern
schliessen.

Die Relation lässt sich auch in eine Doppelsubsumtion mit dem
Mittelgliede c umschreiben:
(· a b c1 ·) = (a b c1 + a1 b1 c = 0) = (a b c a + b) = (a b · c) = (b a · c).
Zur Veranschaulichung der Relation dient die Figur 37, K 105.

[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 37.

Im Gegensatz zu den oben be-
trachteten Klassensymbolen oder „Ele-
menten“ [a b c] und {a b, c} usw. werden
also sowol · a b c · als a b · c Aussagen-
symbole sein.

Herr Kempe pflegt die Relation
a b · c zu umschreiben mit den Worten
„we have a b · c“, oder mit dem Satze:
a, b und c bilden eine „lineare“ Triade
mit a und b als „even members“ und c als dem „odd member“, — wo-
gegen unseres Erachtens passender umgekehrt a und b als die ungeraden
(oder äusseren, extremen) und c als das gerade (innere, Zwischen-)
Glied hingestellt würden.

Diese Relation a b · c zwischen den Elementen einer linearen Triade
ist nun der Ausgangspunkt der Theorie Kempe’s. Er bildet es zu
einer Virtuosität aus, ganz und gar in solchen Relationen zu denken
und, indem er für sie eine Anzahl von Gesetzen axiomatisch aufstellt,
mittelst linearer Triadenbildung alles Andere zu definiren und zu be-
weisen. Die Auswahl gerade dieser Relation erscheint als ein geniales
Aperçu, welches ahnen lässt, dass der identische Kalkul eine Fundgrube
auch noch für andere Theorien verschiedensten Charakters bilden wird.

ϑ) Es sind nun zunächst Herrn Kempe’s formale „Gesetze“ von
unserem Ausgangspunkte aus zu beweisen. In der Zeichensprache
lauten diese Gesetze übersichtlich wie folgt:
„Law I“. (a p · b) (c p · d) [Formel 1] (a d · q) (b c · q)
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[568/0212] Anhang 8. η) Ersetzt man in dieser das Element c durch c1, so verliert sie die Symmetrie in Hinsicht der drei Elemente a, b, c und bleibt nur noch symmetrisch bezüglich der beiden Elemente a und b. Die so gewonnene Relation soll gemäss Kempe durch ein neues Symbol a b · c (a b · c) = (· a b c1 ·) dargestellt werden, — welches wir im Bedarfsfalle auch in runde Klammern schliessen. Die Relation lässt sich auch in eine Doppelsubsumtion mit dem Mittelgliede c umschreiben: (· a b c1 ·) = (a b c1 + a1 b1 c = 0) = (a b c a + b) = (a b · c) = (b a · c). Zur Veranschaulichung der Relation dient die Figur 37, K 105. [Abbildung] [Abbildung Fig. 37.] Im Gegensatz zu den oben be- trachteten Klassensymbolen oder „Ele- menten“ [a b c] und {a b, c} usw. werden also sowol · a b c · als a b · c Aussagen- symbole sein. Herr Kempe pflegt die Relation a b · c zu umschreiben mit den Worten „we have a b · c“, oder mit dem Satze: a, b und c bilden eine „lineare“ Triade mit a und b als „even members“ und c als dem „odd member“, — wo- gegen unseres Erachtens passender umgekehrt a und b als die ungeraden (oder äusseren, extremen) und c als das gerade (innere, Zwischen-) Glied hingestellt würden. Diese Relation a b · c zwischen den Elementen einer linearen Triade ist nun der Ausgangspunkt der Theorie Kempe’s. Er bildet es zu einer Virtuosität aus, ganz und gar in solchen Relationen zu denken und, indem er für sie eine Anzahl von Gesetzen axiomatisch aufstellt, mittelst linearer Triadenbildung alles Andere zu definiren und zu be- weisen. Die Auswahl gerade dieser Relation erscheint als ein geniales Aperçu, welches ahnen lässt, dass der identische Kalkul eine Fundgrube auch noch für andere Theorien verschiedensten Charakters bilden wird. ϑ) Es sind nun zunächst Herrn Kempe’s formale „Gesetze“ von unserem Ausgangspunkte aus zu beweisen. In der Zeichensprache lauten diese Gesetze übersichtlich wie folgt: „Law I“. (a p · b) (c p · d) [FORMEL] (a d · q) (b c · q) „Law II“. (a b · p) (c p · d) [FORMEL] (a q · d) (b c · q)

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 568. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/212>, abgerufen am 29.04.2024.