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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 8.

als analytische Formel besteht, indem die beiden Seiten durch Aus-
multipliziren übereinstimmend auf
a b1 c1 d + a1 b c d1
hinauslaufen, so wird mit der einen Seite auch zugleich die andere
verschwinden, q. e. d.

k) Wir fragen noch, -- Kempe's Theorie vervollständigend, --
wann das dem Law I (oder dann auch dem Law II) genügende q ein
eindeutig bestimmtes Element (oder Klassensymbol) sein wird, m. a.
W. unter welchen Bedingungen es gerade nur ein solches q geben wird.

Die Antwort ist aus Bd. 1 S. 463 zu entnehmen, und lautet dar-
nach wie folgt: nur ein q wird es geben, falls die Koeffizienten von q
und q1 Negationen von einander sind, also (für Law I) falls
a1 b1 + b1 c1 = (a d + b c)1,
(somit jeder von beiden ein solcher Ausdruck ist, dessen Negation da-
durch entsteht, dass man die ihn zusammensetzenden einfachen Symbole
durchweg einzeln negirt.) Und der fragliche Wert von q ist dann:
q = a d + b c.
Bringt man obige Bedingung hiefür rechts auf 0, so wird sie lauten:
(a d + b c) (a1 d1 + b1 c1) + (a + d) (b + c) (a1 + d1) (b1 + c1) = 0
oder
a b c1 d1 + a1 b1 c d + a c b1 d1 + a1 c1 b d + a d b1 c1 + a1 d1 b c = 0;
in einer weiter unten zu begründenden Symbolik Kempe's wird die-
selbe sich deshalb darstellen als das Produkt von drei Aussagen:
(a b · c d) (a c · b d) (a d · b c),
deren letzte (a d · b c) allein durch die Prämissen des Law I als gültig
garantirt war.

Hiezu folgen weitere Ausführungen am Schlusse dieses Anhanges,
S. 589 ff.

l) Behufs Beweises von Law II ist ebenso zu zeigen, dass unter
der Voraussetzung
(a b p1 + a1 b1 p = 0) (c p d1 + c1 p1 d = 0)
oder
(a1 b1 + c d1) p + (a b + c1 d) p1 = 0
auch die Behauptung
(a q d1 + a1 q1 d = 0) (b c q1 + b1 c1 q = 0)
oder
(a d1 + b1 c1) q + (a1 d + b c) q1 = 0
durch gewisse q erfüllbar ist.

Anhang 8.

ϰ) Wir fragen noch, — Kempe’s Theorie vervollständigend, —
wann das dem Law I (oder dann auch dem Law II) genügende q ein
eindeutig bestimmtes Element (oder Klassensymbol) sein wird, m. a.
W. unter welchen Bedingungen es gerade nur ein solches q geben wird.

Die Antwort ist aus Bd. 1 S. 463 zu entnehmen, und lautet dar-
nach wie folgt: nur ein q wird es geben, falls die Koeffizienten von q
und q1 Negationen von einander sind, also (für Law I) falls
a1 b1 + b1 c1 = (a d + b c)1,
(somit jeder von beiden ein solcher Ausdruck ist, dessen Negation da-
durch entsteht, dass man die ihn zusammensetzenden einfachen Symbole
durchweg einzeln negirt.) Und der fragliche Wert von q ist dann:
q = a d + b c.
Bringt man obige Bedingung hiefür rechts auf 0, so wird sie lauten:
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selbe sich deshalb darstellen als das Produkt von drei Aussagen:
(a b · c d) (a c · b d) (a d · b c),
deren letzte (a d · b c) allein durch die Prämissen des Law I als gültig
garantirt war.

Hiezu folgen weitere Ausführungen am Schlusse dieses Anhanges,
S. 589 ff.

λ) Behufs Beweises von Law II ist ebenso zu zeigen, dass unter
der Voraussetzung
(a b p1 + a1 b1 p = 0) (c p d1 + c1 p1 d = 0)
oder
(α1 b1 + c d1) p + (a b + c1 d) p1 = 0
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[570/0214] Anhang 8. als analytische Formel besteht, indem die beiden Seiten durch Aus- multipliziren übereinstimmend auf a b1 c1 d + a1 b c d1 hinauslaufen, so wird mit der einen Seite auch zugleich die andere verschwinden, q. e. d. ϰ) Wir fragen noch, — Kempe’s Theorie vervollständigend, — wann das dem Law I (oder dann auch dem Law II) genügende q ein eindeutig bestimmtes Element (oder Klassensymbol) sein wird, m. a. W. unter welchen Bedingungen es gerade nur ein solches q geben wird. Die Antwort ist aus Bd. 1 S. 463 zu entnehmen, und lautet dar- nach wie folgt: nur ein q wird es geben, falls die Koeffizienten von q und q1 Negationen von einander sind, also (für Law I) falls a1 b1 + b1 c1 = (a d + b c)1, (somit jeder von beiden ein solcher Ausdruck ist, dessen Negation da- durch entsteht, dass man die ihn zusammensetzenden einfachen Symbole durchweg einzeln negirt.) Und der fragliche Wert von q ist dann: q = a d + b c. Bringt man obige Bedingung hiefür rechts auf 0, so wird sie lauten: (a d + b c) (a1 d1 + b1 c1) + (a + d) (b + c) (a1 + d1) (b1 + c1) = 0 oder a b c1 d1 + a1 b1 c d + a c b1 d1 + a1 c1 b d + a d b1 c1 + a1 d1 b c = 0; in einer weiter unten zu begründenden Symbolik Kempe’s wird die- selbe sich deshalb darstellen als das Produkt von drei Aussagen: (a b · c d) (a c · b d) (a d · b c), deren letzte (a d · b c) allein durch die Prämissen des Law I als gültig garantirt war. Hiezu folgen weitere Ausführungen am Schlusse dieses Anhanges, S. 589 ff. λ) Behufs Beweises von Law II ist ebenso zu zeigen, dass unter der Voraussetzung (a b p1 + a1 b1 p = 0) (c p d1 + c1 p1 d = 0) oder (α1 b1 + c d1) p + (a b + c1 d) p1 = 0 auch die Behauptung (a q d1 + a1 q1 d = 0) (b c q1 + b1 c1 q = 0) oder (a d1 + b1 c1) q + (a1 d + b c) q1 = 0 durch gewisse q erfüllbar ist.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 570. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/214>, abgerufen am 29.04.2024.

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