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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Es folgt dies in der That aus
(a1 b1 + c d1) (a b + c1 d) = (a d1 + b1 c1) (a1 d + b c),
worin beide Seiten auf
a b c d1 + a1 b1 c1 d
hinauslaufen, und das Verschwinden der linken Seite also auch das
der rechten nach sich ziehen wird.

Die fraglichen q erhält man hienach leicht durch Auflösen der
vorhergehenden Gleichung nach q, oder auch durch Vertauschung von
a mit a1 in der Lösung der für Law I behandelten Gleichung.

m) Aus den Beweisen dieser beiden Gesetze geht auf den ersten
Blick hervor, dass ebenso auch umgekehrt gilt:
(a d · q) (b c · q) [Formel 1] (a p · b) (c p · d), (a q · d) (b c · q) [Formel 2] (a b · p) (c p · d).

Die letztere Umkehrung deckt sich, wie Vertauschung von a mit c
und p mit q zeigt, mit Law II selber. Dagegen stellt die erstere,
(durch Vertauschung von b mit d und von p mit q) geschrieben als
(a b · p) (c d · p) [Formel 3] (a q · d) (c q · b)
ein den beiden vorigen analoges "Law" (Gesetz) vor, welches
Herr Kempe nicht erwähnt.

Wie ebenfalls aus dem Nachweis sofort erhellt, würden übrigens
diese Gesetze alle drei sich auch symmetrischer als Gleichungen
schreiben lassen:
Gesetz I. [Formel 4] (a p · b) (c p · d) = [Formel 5] (a d · q) (b c · q)
Gesetz II. [Formel 6] (a b · p) (c p · d) = [Formel 7] (a q · d) (b c · q)

(Vergleiche unten Seite 587 f.)

n) Der Beweis zu Law III ergibt sich unmittelbar, indem man
in der Definition von a b · c von der Voraussetzung a = b Gebrauch
macht, wodurch sie übergeht in a c a oder c = a.

Endlich der Beweis von Law IV ist ebenso naheliegend, indem
für a = b bei beliebigem c
(a c · b) = (a c · a) = (b c · a) = (a c a a + c) = 1
wird, nämlich nach Th. 6) identisch gilt.

o) Sind in einer obversen Triade · a b c · zwei Elemente einander
gleich, z. B. b = c, so kommt die Aussage auf die mit · a b · zu bezeich-
nende (· a b ·) = (· a b b ·) = (· a a b ·) = (a b + a1 b1 = 0) = (a = b1) = (b = a1)

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Die fraglichen q erhält man hienach leicht durch Auflösen der
vorhergehenden Gleichung nach q, oder auch durch Vertauschung von
a mit a1 in der Lösung der für Law I behandelten Gleichung.

μ) Aus den Beweisen dieser beiden Gesetze geht auf den ersten
Blick hervor, dass ebenso auch umgekehrt gilt:
(a d · q) (b c · q) [Formel 1] (a p · b) (c p · d), (a q · d) (b c · q) [Formel 2] (a b · p) (c p · d).

Die letztere Umkehrung deckt sich, wie Vertauschung von a mit c
und p mit q zeigt, mit Law II selber. Dagegen stellt die erstere,
(durch Vertauschung von b mit d und von p mit q) geschrieben als
(a b · p) (c d · p) [Formel 3] (a q · d) (c q · b)
ein den beiden vorigen analoges „Law“ (Gesetz) vor, welches
Herr Kempe nicht erwähnt.

(Vergleiche unten Seite 587 f.)

ν) Der Beweis zu Law III ergibt sich unmittelbar, indem man
in der Definition von a b · c von der Voraussetzung a = b Gebrauch
macht, wodurch sie übergeht in a c a oder c = a.

Endlich der Beweis von Law IV ist ebenso naheliegend, indem
für a = b bei beliebigem c
(a c · b) = (a c · a) = (b c · a) = (a c a a + c) = 1̇
wird, nämlich nach Th. 6) identisch gilt.

ο) Sind in einer obversen Triade · a b c · zwei Elemente einander
gleich, z. B. b = c, so kommt die Aussage auf die mit · a b · zu bezeich-
nende (· a b ·) = (· a b b ·) = (· a a b ·) = (a b + a1 b1 = 0) = (a = b1) = (b = a1)

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[571/0215] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. Es folgt dies in der That aus (a1 b1 + c d1) (a b + c1 d) = (a d1 + b1 c1) (a1 d + b c), worin beide Seiten auf a b c d1 + a1 b1 c1 d hinauslaufen, und das Verschwinden der linken Seite also auch das der rechten nach sich ziehen wird. Die fraglichen q erhält man hienach leicht durch Auflösen der vorhergehenden Gleichung nach q, oder auch durch Vertauschung von a mit a1 in der Lösung der für Law I behandelten Gleichung. μ) Aus den Beweisen dieser beiden Gesetze geht auf den ersten Blick hervor, dass ebenso auch umgekehrt gilt: (a d · q) (b c · q) [FORMEL] (a p · b) (c p · d), (a q · d) (b c · q) [FORMEL] (a b · p) (c p · d). Die letztere Umkehrung deckt sich, wie Vertauschung von a mit c und p mit q zeigt, mit Law II selber. Dagegen stellt die erstere, (durch Vertauschung von b mit d und von p mit q) geschrieben als (a b · p) (c d · p) [FORMEL] (a q · d) (c q · b) ein den beiden vorigen analoges „Law“ (Gesetz) vor, welches Herr Kempe nicht erwähnt. Wie ebenfalls aus dem Nachweis sofort erhellt, würden übrigens diese Gesetze alle drei sich auch symmetrischer als Gleichungen schreiben lassen: Gesetz I. [FORMEL] (a p · b) (c p · d) = [FORMEL] (a d · q) (b c · q) Gesetz II. [FORMEL] (a b · p) (c p · d) = [FORMEL] (a q · d) (b c · q) (Vergleiche unten Seite 587 f.) ν) Der Beweis zu Law III ergibt sich unmittelbar, indem man in der Definition von a b · c von der Voraussetzung a = b Gebrauch macht, wodurch sie übergeht in a c a oder c = a. Endlich der Beweis von Law IV ist ebenso naheliegend, indem für a = b bei beliebigem c (a c · b) = (a c · a) = (b c · a) = (a c a a + c) = 1̇ wird, nämlich nach Th. 6) identisch gilt. ο) Sind in einer obversen Triade · a b c · zwei Elemente einander gleich, z. B. b = c, so kommt die Aussage auf die mit · a b · zu bezeich- nende (· a b ·) = (· a b b ·) = (· a a b ·) = (a b + a1 b1 = 0) = (a = b1) = (b = a1)

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 571. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/215>, abgerufen am 29.04.2024.

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