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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 8.

usw., wobei in der letzten Zeile die Elemente einerseits des Trennungs-
punktes nur durch ihre Anzahl angedeutet sind, -- eine Abkürzung, die
jedenfalls dann stets ohne weiteres anwendbar ist, wenn die ersten auf-
einanderfolgenden Buchstaben des Alphabets von a an als Elementezeichen
genommen sind. -- Man sieht, dass eine derartige Zerlegung eines flachen
Systems in ein Produkt aus ebensolchen mit mehr Gliedern auf die "Ent-
wicklung" des Polynoms einer (rechts auf Null gebrachten) Gleichung nach
einem oder mehreren nicht darin vorkommenden Symbolen hinauskommt. --
In den Faktoren, z. B. von a b · e, erscheinen die durch den Punkt getrennten
Elemente des Produkts a b · e überall ebenfalls getrennt, während die übrigen
neu hereinkommenden Elemente in jeder möglichen Verteilung vor und
hinter dem Punkt auftreten.

u) Wenn a, b, c und d ein flaches System bilden, so muss dieses
offenbar einem der beiden folgenden Typen von vier resp. drei Formen
angehören (K 86):

a · b c d
b · a c d
c · a b d
d · a b c		erster Typus,a b · c d
a c · b d
a d · b c		zweiter Typus.

Ebenso sind alle möglichen Formen eines fünfgliedrigen flachen
Systems aus den Elementen a, b, c, d, e enthalten unter zwei Typen
von fünf und von zehn Formen: (mit der oben erläuterten Abkürzung)
a · 4 b · 4 c · 4 d · 4 e · 4 erster Typus,

a b · 3 a c · 3 a d · 3 a e · 3
b c · 3 b d · 3 b e · 3 c d · 3 c e · 3 d e · 3		zweiter Typus.

Ähnlich bei mehr Elementen.

ph) Durch erhöhte Punkte zwischen je zweien von irgendwieviel
Elementen soll angedeutet werden, dass diese Elemente ein flaches System
bilden, ohne dass zugleich bekannt sein soll, welche von den möglichen
Formen diesem flachen Systeme zukommt, oder welche Elemente vor,
welche hinter den Trennungspunkt treten. So ist also in
(a · b · c) = (a b · c) + (a c · b) + (b c · a)
das Symbol links aussagenrechnerisch definirt als die Alternative
zwischen den drei Aussagen rechts.

Trifft diese Alternative zu, so soll gesagt werden, die Elemente
a, b, c seien kollinear oder lägen in gerader Linie, bildeten ein gerad-
liniges System.

Analog definiren wir
(a · b · c · d) = (a · 3) + (b · 3) + (c · 3) + (d · 3) + (a b · 2) + (a c · 2) + (a d · 2)

Anhang 8.

usw., wobei in der letzten Zeile die Elemente einerseits des Trennungs-
punktes nur durch ihre Anzahl angedeutet sind, — eine Abkürzung, die
jedenfalls dann stets ohne weiteres anwendbar ist, wenn die ersten auf-
einanderfolgenden Buchstaben des Alphabets von a an als Elementezeichen
genommen sind. — Man sieht, dass eine derartige Zerlegung eines flachen
Systems in ein Produkt aus ebensolchen mit mehr Gliedern auf die „Ent-
wicklung“ des Polynoms einer (rechts auf Null gebrachten) Gleichung nach
einem oder mehreren nicht darin vorkommenden Symbolen hinauskommt. —
In den Faktoren, z. B. von a b · e, erscheinen die durch den Punkt getrennten
Elemente des Produkts a b · e überall ebenfalls getrennt, während die übrigen
neu hereinkommenden Elemente in jeder möglichen Verteilung vor und
hinter dem Punkt auftreten.

υ) Wenn a, b, c und d ein flaches System bilden, so muss dieses
offenbar einem der beiden folgenden Typen von vier resp. drei Formen
angehören (K 86):

a · b c d
b · a c d
c · a b d
d · a b c		erster Typus,a b · c d
a c · b d
a d · b c		zweiter Typus.

Ebenso sind alle möglichen Formen eines fünfgliedrigen flachen
Systems aus den Elementen a, b, c, d, e enthalten unter zwei Typen
von fünf und von zehn Formen: (mit der oben erläuterten Abkürzung)
a · 4 b · 4 c · 4 d · 4 e · 4 erster Typus,

a b · 3 a c · 3 a d · 3 a e · 3
b c · 3 b d · 3 b e · 3 c d · 3 c e · 3 d e · 3		zweiter Typus.

Ähnlich bei mehr Elementen.

φ) Durch erhöhte Punkte zwischen je zweien von irgendwieviel
Elementen soll angedeutet werden, dass diese Elemente ein flaches System
bilden, ohne dass zugleich bekannt sein soll, welche von den möglichen
Formen diesem flachen Systeme zukommt, oder welche Elemente vor,
welche hinter den Trennungspunkt treten. So ist also in
(a · b · c) = (a b · c) + (a c · b) + (b c · a)
das Symbol links aussagenrechnerisch definirt als die Alternative
zwischen den drei Aussagen rechts.

Trifft diese Alternative zu, so soll gesagt werden, die Elemente
a, b, c seien kollinear oder lägen in gerader Linie, bildeten ein gerad-
liniges System.

Analog definiren wir
(a · b · c · d) = (a · 3) + (b · 3) + (c · 3) + (d · 3) + (a b · 2) + (a c · 2) + (a d · 2)

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[574/0218] Anhang 8. usw., wobei in der letzten Zeile die Elemente einerseits des Trennungs- punktes nur durch ihre Anzahl angedeutet sind, — eine Abkürzung, die jedenfalls dann stets ohne weiteres anwendbar ist, wenn die ersten auf- einanderfolgenden Buchstaben des Alphabets von a an als Elementezeichen genommen sind. — Man sieht, dass eine derartige Zerlegung eines flachen Systems in ein Produkt aus ebensolchen mit mehr Gliedern auf die „Ent- wicklung“ des Polynoms einer (rechts auf Null gebrachten) Gleichung nach einem oder mehreren nicht darin vorkommenden Symbolen hinauskommt. — In den Faktoren, z. B. von a b · e, erscheinen die durch den Punkt getrennten Elemente des Produkts a b · e überall ebenfalls getrennt, während die übrigen neu hereinkommenden Elemente in jeder möglichen Verteilung vor und hinter dem Punkt auftreten. υ) Wenn a, b, c und d ein flaches System bilden, so muss dieses offenbar einem der beiden folgenden Typen von vier resp. drei Formen angehören (K 86): a · b c d b · a c d c · a b d d · a b c erster Typus, a b · c d a c · b d a d · b c zweiter Typus. Ebenso sind alle möglichen Formen eines fünfgliedrigen flachen Systems aus den Elementen a, b, c, d, e enthalten unter zwei Typen von fünf und von zehn Formen: (mit der oben erläuterten Abkürzung) a · 4 b · 4 c · 4 d · 4 e · 4 erster Typus, a b · 3 a c · 3 a d · 3 a e · 3 b c · 3 b d · 3 b e · 3 c d · 3 c e · 3 d e · 3zweiter Typus. Ähnlich bei mehr Elementen. φ) Durch erhöhte Punkte zwischen je zweien von irgendwieviel Elementen soll angedeutet werden, dass diese Elemente ein flaches System bilden, ohne dass zugleich bekannt sein soll, welche von den möglichen Formen diesem flachen Systeme zukommt, oder welche Elemente vor, welche hinter den Trennungspunkt treten. So ist also in (a · b · c) = (a b · c) + (a c · b) + (b c · a) das Symbol links aussagenrechnerisch definirt als die Alternative zwischen den drei Aussagen rechts. Trifft diese Alternative zu, so soll gesagt werden, die Elemente a, b, c seien kollinear oder lägen in gerader Linie, bildeten ein gerad- liniges System. Analog definiren wir (a · b · c · d) = (a · 3) + (b · 3) + (c · 3) + (d · 3) + (a b · 2) + (a c · 2) + (a d · 2)

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 574. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/218>, abgerufen am 29.04.2024.