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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
und sagen, wenn die Alternative zutrifft, die Elemente a, b, c, d
seien koplanar, lägen in einer Ebene oder bildeten ein ebenes System.

Und so weiter für noch mehr Elemente, indem man das System
bei fünf Elementen ein räumliches (für den gewöhnlichen "flachen"
oder Euklidischen Raum von drei Dimensionen), bei n Elementen eine
flache Mannigfaltigkeit von n--2 Dimensionen nennen wird.

Aus t), K 87 ergibt sich hier z. B.
K 88. (a · b · c) (a · b · c · d)
für jedes beliebige zu a, b, c hinzutretende Element d.

kh) Systeme, die entweder obverse oder flache sind, nennt Kempe
(K 90) endlich "bedingte Systeme" ("restricted collections"), wendet da-
für die wie folgt definirten Symbole an:
K 91, 92. (· a · b ·) = (a · b) + (· a b ·), = (a = b) + (a = b1)
K 91, 93. (· a · b · c ·) = (a · b · c) + (· a b c ·)
K 91. (· a · b · c · d ·) = (a · b · c · d) + (· a b c d ·),
usw., und hebt hervor, dass man einem solchen Symbole noch ein
beliebiges Element (mit erhöhtem Schlusspunkt) zufügen darf, z. B.
K 94. (· a · b · c · d ·) (· a · b · c · d · z ·),
sowie K 95, dass man in einem bedingten System irgend welche
Elemente durch ihre Negationen ersetzen darf und stets ein bedingtes
System behalten wird.

Damit sind wir vom identischen Kalkul aus mit geringster Mühe
in die Symbolik Kempe's eingedrungen. Es erübrigt nunmehr, seinen
Gedankengang unter Benutzung dieser Symbolik darzulegen, um hierauf
zur Anwendung auf die projektive Geometrie überzungehen.*)

Es wird zunächst die lineare Triade a b · c definirt lediglich als
Zusammenstellung dreier Elemente, symmetrisch bezüglich zweier a
und b, der "geraden" Glieder, während das dritte c das "ungerade" heisst.
Alle formalen Eigenschaften dieser linearen Triaden und auch aller
anderen Beziehungen und Ausdrücke, welche wir oben mittelst des
identischen Kalkuls definirt und untersucht haben, werden dann aus-
schliesslich gegründet auf die axiomatisch an die Spitze gestellten
Grundgesetze oder Laws I bis IV, welche oben unter th) erläutert sind,
(nebst noch zwei weiteren später zu erwähnenden).

*) Mit dieser Ankündigung bricht das Schröder'sche Manuskript ab. Es
folgen hier ergänzende Ausführungen des Herausgebers.

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
und sagen, wenn die Alternative zutrifft, die Elemente a, b, c, d
seien koplanar, lägen in einer Ebene oder bildeten ein ebenes System.

Und so weiter für noch mehr Elemente, indem man das System
bei fünf Elementen ein räumliches (für den gewöhnlichen „flachen“
oder Euklidischen Raum von drei Dimensionen), bei n Elementen eine
flache Mannigfaltigkeit von n—2 Dimensionen nennen wird.

Aus τ), K 87 ergibt sich hier z. B.
K 88. (a · b · c) (a · b · c · d)
für jedes beliebige zu a, b, c hinzutretende Element d.

χ) Systeme, die entweder obverse oder flache sind, nennt Kempe
(K 90) endlich „bedingte Systeme“ („restricted collections“), wendet da-
für die wie folgt definirten Symbole an:
K 91, 92. (· a · b ·) = (a · b) + (· a b ·), = (a = b) + (a = b1)
K 91, 93. (· a · b · c ·) = (a · b · c) + (· a b c ·)
K 91. (· a · b · c · d ·) = (a · b · c · d) + (· a b c d ·),
usw., und hebt hervor, dass man einem solchen Symbole noch ein
beliebiges Element (mit erhöhtem Schlusspunkt) zufügen darf, z. B.
K 94. (· a · b · c · d ·) (· a · b · c · d · z ·),
sowie K 95, dass man in einem bedingten System irgend welche
Elemente durch ihre Negationen ersetzen darf und stets ein bedingtes
System behalten wird.

Damit sind wir vom identischen Kalkul aus mit geringster Mühe
in die Symbolik Kempe’s eingedrungen. Es erübrigt nunmehr, seinen
Gedankengang unter Benutzung dieser Symbolik darzulegen, um hierauf
zur Anwendung auf die projektive Geometrie überzungehen.*)

Es wird zunächst die lineare Triade a b · c definirt lediglich als
Zusammenstellung dreier Elemente, symmetrisch bezüglich zweier a
und b, der „geraden“ Glieder, während das dritte c das „ungerade“ heisst.
Alle formalen Eigenschaften dieser linearen Triaden und auch aller
anderen Beziehungen und Ausdrücke, welche wir oben mittelst des
identischen Kalkuls definirt und untersucht haben, werden dann aus-
schliesslich gegründet auf die axiomatisch an die Spitze gestellten
Grundgesetze oder Laws I bis IV, welche oben unter ϑ) erläutert sind,
(nebst noch zwei weiteren später zu erwähnenden).

*) Mit dieser Ankündigung bricht das Schröder’sche Manuskript ab. Es
folgen hier ergänzende Ausführungen des Herausgebers.
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[575/0219] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. und sagen, wenn die Alternative zutrifft, die Elemente a, b, c, d seien koplanar, lägen in einer Ebene oder bildeten ein ebenes System. Und so weiter für noch mehr Elemente, indem man das System bei fünf Elementen ein räumliches (für den gewöhnlichen „flachen“ oder Euklidischen Raum von drei Dimensionen), bei n Elementen eine flache Mannigfaltigkeit von n—2 Dimensionen nennen wird. Aus τ), K 87 ergibt sich hier z. B. K 88. (a · b · c) (a · b · c · d) für jedes beliebige zu a, b, c hinzutretende Element d. χ) Systeme, die entweder obverse oder flache sind, nennt Kempe (K 90) endlich „bedingte Systeme“ („restricted collections“), wendet da- für die wie folgt definirten Symbole an: K 91, 92. (· a · b ·) = (a · b) + (· a b ·), = (a = b) + (a = b1) K 91, 93. (· a · b · c ·) = (a · b · c) + (· a b c ·) K 91. (· a · b · c · d ·) = (a · b · c · d) + (· a b c d ·), usw., und hebt hervor, dass man einem solchen Symbole noch ein beliebiges Element (mit erhöhtem Schlusspunkt) zufügen darf, z. B. K 94. (· a · b · c · d ·) (· a · b · c · d · z ·), sowie K 95, dass man in einem bedingten System irgend welche Elemente durch ihre Negationen ersetzen darf und stets ein bedingtes System behalten wird. Damit sind wir vom identischen Kalkul aus mit geringster Mühe in die Symbolik Kempe’s eingedrungen. Es erübrigt nunmehr, seinen Gedankengang unter Benutzung dieser Symbolik darzulegen, um hierauf zur Anwendung auf die projektive Geometrie überzungehen. *) Es wird zunächst die lineare Triade a b · c definirt lediglich als Zusammenstellung dreier Elemente, symmetrisch bezüglich zweier a und b, der „geraden“ Glieder, während das dritte c das „ungerade“ heisst. Alle formalen Eigenschaften dieser linearen Triaden und auch aller anderen Beziehungen und Ausdrücke, welche wir oben mittelst des identischen Kalkuls definirt und untersucht haben, werden dann aus- schliesslich gegründet auf die axiomatisch an die Spitze gestellten Grundgesetze oder Laws I bis IV, welche oben unter ϑ) erläutert sind, (nebst noch zwei weiteren später zu erwähnenden). *) Mit dieser Ankündigung bricht das Schröder’sche Manuskript ab. Es folgen hier ergänzende Ausführungen des Herausgebers.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 575. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/219>, abgerufen am 29.04.2024.