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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Das unsymmetrische Erzeugniss, begrifflich ausgedehnt auf beliebig
viele Argumente wie oben in d), dient nunmehr auch zur Einführung
der Negation eines Elementes z, des "obversen" z1 zu z, und zwar,
wenn unter a, b, c, ... y, z alle Elemente des Systems oder Denk-
bereiches verstanden werden, worunter z ein beliebiges, mittelst der
Definition
z1 = {a b c ... y z, z}.

Hiebei ist nun, wie auch anderwärts, wesentlich Gebrauch zu machen
von einem weiteren Grundgesetz V, K 6, dem "Kontinuitätsgesetz" (Law
of continuity):

Zum Denkbereich ist als zugehörig zu betrachten jedes Element,
welches mit den bereits vorhandenen Elementen als verträglich sich er-
weist. (No entity is absent from the system which can consistently
be present.)

Da hiernach unter "allen" Elementen a, b, ... z auch schon das neuer-
dings definirte z1 sich befindet, so ist nach den Gesetzen des identischen
Rechnens in
{a b ... z, z} = a b ... z + (a + b + ... + z) z1
rechterhand das Produkt a b ... z = 0 und die Summe a + b + ... + z = 1.

Nun wird der gesamte identische Kalkul gegründet auf die Be-
griffe und Gesetze von den linearen Triaden und deren "Erzeugnissen",
und zwar dienen die Beziehungen a), K 40 und 42
[a b 0] = a b, [a b 1] = a + b = {a b, 0}
zur Definition des Produktes und der Summe zweier Elemente. Be-
zeichnend ist hier die Art, wie die beiden Moduln 0 und 1 eingeführt
werden. Der eine, die Null, ist zunächst ein ganz beliebiges Element z
des Denkbereiches, der andere, die Eins, dessen Negation z1; und den
Modulncharakter nehmen diese beiden zu einander obversen Elemente
erst an durch Beschränkung des Operationsfeldes auf solche symmetrische
und unsymmetrische Erzeugnisse, welche eines von beiden, etwa z, als
"konstantes" Glied enthalten, -- indem diese Erzeugnisse sodann als
Funktionen der übrigen beiden Glieder betrachtet und [a b z] mit a b,
{a b, z} mit a + b bezeichnet wird. Das Zeichen 0 für z zu gebrauchen,
wegen der hiernach leicht zu erweisenden Beziehung a z = z (und
a + z = a), lehnt Kempe K 41 nicht geradezu ab, wenn man dabei
nur nicht aus dem Auge verliere, dass dieses innerhalb der in Rede
stehenden "Algebra" bevorzugte, konstante Element z sich ursprünglich
durch nichts von den andern Elementen des Grundsystems unterscheidet,
und dass man jedes andere Element ebensogut hätte zum Modul machen

Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 37
Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.

Das unsymmetrische Erzeugniss, begrifflich ausgedehnt auf beliebig
viele Argumente wie oben in δ), dient nunmehr auch zur Einführung
der Negation eines Elementes z, des „obversen“ z1 zu z, und zwar,
wenn unter a, b, c, … y, z alle Elemente des Systems oder Denk-
bereiches verstanden werden, worunter z ein beliebiges, mittelst der
Definition
z1 = {a b c … y z, z}.

Hiebei ist nun, wie auch anderwärts, wesentlich Gebrauch zu machen
von einem weiteren Grundgesetz V, K 6, dem „Kontinuitätsgesetz“ (Law
of continuity):

Zum Denkbereich ist als zugehörig zu betrachten jedes Element,
welches mit den bereits vorhandenen Elementen als verträglich sich er-
weist. (No entity is absent from the system which can consistently
be present.)

Da hiernach unter „allen“ Elementen a, b, … z auch schon das neuer-
dings definirte z1 sich befindet, so ist nach den Gesetzen des identischen
Rechnens in
{a b … z, z} = a b … z + (a + b + … + z) z1
rechterhand das Produkt a b … z = 0 und die Summe a + b + … + z = 1.

Nun wird der gesamte identische Kalkul gegründet auf die Be-
griffe und Gesetze von den linearen Triaden und deren „Erzeugnissen“,
und zwar dienen die Beziehungen α), K 40 und 42
[a b 0] = a b, [a b 1] = a + b = {a b, 0}
zur Definition des Produktes und der Summe zweier Elemente. Be-
zeichnend ist hier die Art, wie die beiden Moduln 0 und 1 eingeführt
werden. Der eine, die Null, ist zunächst ein ganz beliebiges Element z
des Denkbereiches, der andere, die Eins, dessen Negation z1; und den
Modulncharakter nehmen diese beiden zu einander obversen Elemente
erst an durch Beschränkung des Operationsfeldes auf solche symmetrische
und unsymmetrische Erzeugnisse, welche eines von beiden, etwa z, als
„konstantes“ Glied enthalten, — indem diese Erzeugnisse sodann als
Funktionen der übrigen beiden Glieder betrachtet und [a b z] mit a b,
{a b, z} mit a + b bezeichnet wird. Das Zeichen 0 für z zu gebrauchen,
wegen der hiernach leicht zu erweisenden Beziehung a z = z (und
a + z = a), lehnt Kempe K 41 nicht geradezu ab, wenn man dabei
nur nicht aus dem Auge verliere, dass dieses innerhalb der in Rede
stehenden „Algebra“ bevorzugte, konstante Element z sich ursprünglich
durch nichts von den andern Elementen des Grundsystems unterscheidet,
und dass man jedes andere Element ebensogut hätte zum Modul machen

Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 37
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[577/0221] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. Das unsymmetrische Erzeugniss, begrifflich ausgedehnt auf beliebig viele Argumente wie oben in δ), dient nunmehr auch zur Einführung der Negation eines Elementes z, des „obversen“ z1 zu z, und zwar, wenn unter a, b, c, … y, z alle Elemente des Systems oder Denk- bereiches verstanden werden, worunter z ein beliebiges, mittelst der Definition z1 = {a b c … y z, z}. Hiebei ist nun, wie auch anderwärts, wesentlich Gebrauch zu machen von einem weiteren Grundgesetz V, K 6, dem „Kontinuitätsgesetz“ (Law of continuity): Zum Denkbereich ist als zugehörig zu betrachten jedes Element, welches mit den bereits vorhandenen Elementen als verträglich sich er- weist. (No entity is absent from the system which can consistently be present.) Da hiernach unter „allen“ Elementen a, b, … z auch schon das neuer- dings definirte z1 sich befindet, so ist nach den Gesetzen des identischen Rechnens in {a b … z, z} = a b … z + (a + b + … + z) z1 rechterhand das Produkt a b … z = 0 und die Summe a + b + … + z = 1. Nun wird der gesamte identische Kalkul gegründet auf die Be- griffe und Gesetze von den linearen Triaden und deren „Erzeugnissen“, und zwar dienen die Beziehungen α), K 40 und 42 [a b 0] = a b, [a b 1] = a + b = {a b, 0} zur Definition des Produktes und der Summe zweier Elemente. Be- zeichnend ist hier die Art, wie die beiden Moduln 0 und 1 eingeführt werden. Der eine, die Null, ist zunächst ein ganz beliebiges Element z des Denkbereiches, der andere, die Eins, dessen Negation z1; und den Modulncharakter nehmen diese beiden zu einander obversen Elemente erst an durch Beschränkung des Operationsfeldes auf solche symmetrische und unsymmetrische Erzeugnisse, welche eines von beiden, etwa z, als „konstantes“ Glied enthalten, — indem diese Erzeugnisse sodann als Funktionen der übrigen beiden Glieder betrachtet und [a b z] mit a b, {a b, z} mit a + b bezeichnet wird. Das Zeichen 0 für z zu gebrauchen, wegen der hiernach leicht zu erweisenden Beziehung a z = z (und a + z = a), lehnt Kempe K 41 nicht geradezu ab, wenn man dabei nur nicht aus dem Auge verliere, dass dieses innerhalb der in Rede stehenden „Algebra“ bevorzugte, konstante Element z sich ursprünglich durch nichts von den andern Elementen des Grundsystems unterscheidet, und dass man jedes andere Element ebensogut hätte zum Modul machen Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 37

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 577. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/221>, abgerufen am 29.04.2024.