Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

Auch die linearen Triaden mit innerhalb der "Algebra", also des
identischen Kalkuls "konstantem" Element z oder 0 werden, als Be-
ziehungen zwischen den andern beiden Gliedern:
K 59. (a 0 · b) = (b a), (a b · 0) = (a b = 0),
mit neuen Symbolen bezeichnet, -- wenn auch freilich nicht mit den
hier gebrauchten -- vergl. g).

Nach "algebraischer" d. i. identisch rechnerischer Behandlung der
bisher aufgestellten und einiger neuen Begriffe und Ergebnisse in
grossenteils oben dargelegter Weise wendet sich die Untersuchung
nunmehr der geometrischen Anwendung zu.

Unter dem Namen eines "linearen Punktsystems" ("linear set")
wird zunächst K 127 ff. eine Gruppe von Elementen ins Auge gefasst,
unter denen nicht zwei einander gleich sind, während dagegen je drei
von ihnen eine lineare Triade bilden. Die durchgängige Verschiedenheit
der Elemente schliesst nach K 7, Seite 576 oder t) das Bestehen
mehrerer linearer Triaden zwischen denselben drei Elementen aus; dagegen
bilden die zwischen je vieren von ihnen bestehenden linearen Triaden,
wie sich zeigen lässt (K 128), stets eine Triaden-Tetrade von bestimmter
Form, nämlich von der Form der vier in dem Theorem K 8 Seite 576
enthaltenen Triaden
a b · c, b c · d, a b · d, a d · c,
von denen nach ebendiesem Theorem das erste und das zweite Paar
einander gegenseitig bedingen.

Ein Nachweis hiezu, -- von Kempe nur flüchtig angedeutet, -- ist
unten Seite 582 ff. ausgeführt, um das Referat an dieser Stelle nicht damit
zu unterbrechen.

Da zwar zwei obverse Elemente a und a1 scheinbar eine lineare
Triade a a1 · b bilden mit jedem beliebigen anderen Element b als ihrem
Zwischenglied, wie oben K 30, t) erwähnt, diese Triade aber in Wirk-
lichkeit, als Identität, auf das obverse Paar · a a1 · hinauskommt, so
enthält ein lineares System nicht zwei obverse Elemente.

Ein lineares System heisst vollständig ("complete"), wenn dem-
selben ein jedes Element angehört, das mit irgend zwei Elementen
des Systems eine lineare Triade bildet (kollinear ist, vergl. ph)).

Indem man das ungerade Glied einer linearen Triade auch als
"Zwischenglied" oder als "liegend zwischen" den geraden Gliedern
bezeichnet, wird man von den vier Elementen oder "Punkten" a, b, c, d

Auch die linearen Triaden mit innerhalb der „Algebra“, also des
identischen Kalkuls „konstantem“ Element z oder 0 werden, als Be-
ziehungen zwischen den andern beiden Gliedern:
K 59. (a 0 · b) = (b a), (a b · 0) = (a b = 0),
mit neuen Symbolen bezeichnet, — wenn auch freilich nicht mit den
hier gebrauchten — vergl. γ).

Nach „algebraischer“ d. i. identisch rechnerischer Behandlung der
bisher aufgestellten und einiger neuen Begriffe und Ergebnisse in
grossenteils oben dargelegter Weise wendet sich die Untersuchung
nunmehr der geometrischen Anwendung zu.

Unter dem Namen eines „linearen Punktsystems“ („linear set“)
wird zunächst K 127 ff. eine Gruppe von Elementen ins Auge gefasst,
unter denen nicht zwei einander gleich sind, während dagegen je drei
von ihnen eine lineare Triade bilden. Die durchgängige Verschiedenheit
der Elemente schliesst nach K 7, Seite 576 oder τ) das Bestehen
mehrerer linearer Triaden zwischen denselben drei Elementen aus; dagegen
bilden die zwischen je vieren von ihnen bestehenden linearen Triaden,
wie sich zeigen lässt (K 128), stets eine Triaden-Tetrade von bestimmter
Form, nämlich von der Form der vier in dem Theorem K 8 Seite 576
enthaltenen Triaden
a b · c, b c · d, a b · d, a d · c,
von denen nach ebendiesem Theorem das erste und das zweite Paar
einander gegenseitig bedingen.

Ein Nachweis hiezu, — von Kempe nur flüchtig angedeutet, — ist
unten Seite 582 ff. ausgeführt, um das Referat an dieser Stelle nicht damit
zu unterbrechen.

Da zwar zwei obverse Elemente a und a1 scheinbar eine lineare
Triade a a1 · b bilden mit jedem beliebigen anderen Element b als ihrem
Zwischenglied, wie oben K 30, τ) erwähnt, diese Triade aber in Wirk-
lichkeit, als Identität, auf das obverse Paar · a a1 · hinauskommt, so
enthält ein lineares System nicht zwei obverse Elemente.

Ein lineares System heisst vollständig („complete“), wenn dem-
selben ein jedes Element angehört, das mit irgend zwei Elementen
des Systems eine lineare Triade bildet (kollinear ist, vergl. φ)).

Indem man das ungerade Glied einer linearen Triade auch als
„Zwischenglied“ oder als „liegend zwischen“ den geraden Gliedern
bezeichnet, wird man von den vier Elementen oder „Punkten“ a, b, c, d