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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
früher aufgestellten identischen Algebra wenigstens hinsichtlich der
Art der Begründung mittelst der Theorie der linearen Triaden, jedoch
mit drei "konstanten" Punkten oder Moduln, entsprechend den Grössen-
moduln infinity, 0 und 1, -- worüber auf Kempe1 verwiesen wird, --
werden Name und Bedeutung eines "flachen" mehrgliedrigen Systems
erläutert: Wenn n Punkte ein flaches System -- innerhalb eines geo-
metrischen Punktsystems -- bilden, so liegen diese Punkte in einem
flachen Raume von n -- 2 Dimensionen. So z. B. liegen die drei
Punkte einer linearen Triade in einer Geraden, also einem eindimensionalen
Raum, die Punkte einer flachen Tetrade auf einer Ebene von zwei
Dimensionen, usw. -- In letzterwähntem Falle besagt die Form a · b c d
der Tetrade, dass a im Innenraum des Dreiecks b c d liege, während
nach der anderen Form a b · c d die Punkte a und b auf verschiedenen
Seiten der Geraden c d liegen, und umgekehrt die Punkte c und d
beiderseits der Geraden a b.*)

Zwei obverse Elemente a und a1 können einem geometrischen
System ebensowenig angehören als einem linearen; denn andernfalls
würde für drei beliebige andere, von a, a1 und von einander verschiedene
Elemente b, c, d des geometrischen Systems aus K 30, t) a a1 · b, a a1 · c,
a a1 · d nach Law VI -- da hier a a1, -- a · b · c, a1 · b · c, a · b · d, usw.
folgen, und ebenso hieraus, wenn a b, b · c · d, usw.; es müssten alle
Elemente des geometrischen Systems kollineare Triaden bilden, das
geometrische System wäre ein lineares, welches aber, wie bereits oben
gezeigt, nicht zwei obverse Elemente a und a1 enthalten könnte.

Da nun (a b · c) = (a1 b1 · c1), die obversen der Elemente einer linearen
Triade wieder eine solche bilden, so erhält man auch zu einem geo-
metrischen System ein zweites, das "konjugirte" geometrische System,
indem man die Elemente sämtlich negirt; und zwei solche einander
konjugirte bilden ein neues symmetrisches, das "erweiterte" ("extended")
geometrische System. Ein solches zerfällt aber nicht etwa blos in
die beiden konjugirten Systeme, aus denen es durch Zusammensetzung
entstanden ist, sondern es lässt sich auf mehrere, ja, sofern es unbegrenzt
viele Elemente enthält, auf unbegrenzt viele Arten in zwei konjugirte
Systeme aufbrechen, -- ebenso, wie man eine Kugel auf unbegrenzt
viele Arten in zwei Halbkugeln zerteilen kann.

Es entspricht so einer geraden Linie, d. i. einem vollständigen
linearen Systeme, dessen Elemente -- einem geometrischen Systeme
zugehörig -- zu je dreien eine lineare Triade bilden, im erweiterten

*) Vergl. unten Seite 587 ff.

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
früher aufgestellten identischen Algebra wenigstens hinsichtlich der
Art der Begründung mittelst der Theorie der linearen Triaden, jedoch
mit drei „konstanten“ Punkten oder Moduln, entsprechend den Grössen-
moduln ∞, 0 und 1, — worüber auf Kempe1 verwiesen wird, —
werden Name und Bedeutung eines „flachen“ mehrgliedrigen Systems
erläutert: Wenn n Punkte ein flaches System — innerhalb eines geo-
metrischen Punktsystems — bilden, so liegen diese Punkte in einem
flachen Raume von n — 2 Dimensionen. So z. B. liegen die drei
Punkte einer linearen Triade in einer Geraden, also einem eindimensionalen
Raum, die Punkte einer flachen Tetrade auf einer Ebene von zwei
Dimensionen, usw. — In letzterwähntem Falle besagt die Form a · b c d
der Tetrade, dass a im Innenraum des Dreiecks b c d liege, während
nach der anderen Form a b · c d die Punkte a und b auf verschiedenen
Seiten der Geraden c d liegen, und umgekehrt die Punkte c und d
beiderseits der Geraden a b.*)

Zwei obverse Elemente a und a1 können einem geometrischen
System ebensowenig angehören als einem linearen; denn andernfalls
würde für drei beliebige andere, von a, a1 und von einander verschiedene
Elemente b, c, d des geometrischen Systems aus K 30, τ) a a1 · b, a a1 · c,
a a1 · d nach Law VI — da hier a ≠ a1, — a · b · c, a1 · b · c, a · b · d, usw.
folgen, und ebenso hieraus, wenn a ≠ b, b · c · d, usw.; es müssten alle
Elemente des geometrischen Systems kollineare Triaden bilden, das
geometrische System wäre ein lineares, welches aber, wie bereits oben
gezeigt, nicht zwei obverse Elemente a und a1 enthalten könnte.

Da nun (a b · c) = (a1 b1 · c1), die obversen der Elemente einer linearen
Triade wieder eine solche bilden, so erhält man auch zu einem geo-
metrischen System ein zweites, das „konjugirte“ geometrische System,
indem man die Elemente sämtlich negirt; und zwei solche einander
konjugirte bilden ein neues symmetrisches, das „erweiterte“ („extended“)
geometrische System. Ein solches zerfällt aber nicht etwa blos in
die beiden konjugirten Systeme, aus denen es durch Zusammensetzung
entstanden ist, sondern es lässt sich auf mehrere, ja, sofern es unbegrenzt
viele Elemente enthält, auf unbegrenzt viele Arten in zwei konjugirte
Systeme aufbrechen, — ebenso, wie man eine Kugel auf unbegrenzt
viele Arten in zwei Halbkugeln zerteilen kann.

Es entspricht so einer geraden Linie, d. i. einem vollständigen
linearen Systeme, dessen Elemente — einem geometrischen Systeme
zugehörig — zu je dreien eine lineare Triade bilden, im erweiterten

*) Vergl. unten Seite 587 ff.
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[581/0225] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. früher aufgestellten identischen Algebra wenigstens hinsichtlich der Art der Begründung mittelst der Theorie der linearen Triaden, jedoch mit drei „konstanten“ Punkten oder Moduln, entsprechend den Grössen- moduln ∞, 0 und 1, — worüber auf Kempe1 verwiesen wird, — werden Name und Bedeutung eines „flachen“ mehrgliedrigen Systems erläutert: Wenn n Punkte ein flaches System — innerhalb eines geo- metrischen Punktsystems — bilden, so liegen diese Punkte in einem flachen Raume von n — 2 Dimensionen. So z. B. liegen die drei Punkte einer linearen Triade in einer Geraden, also einem eindimensionalen Raum, die Punkte einer flachen Tetrade auf einer Ebene von zwei Dimensionen, usw. — In letzterwähntem Falle besagt die Form a · b c d der Tetrade, dass a im Innenraum des Dreiecks b c d liege, während nach der anderen Form a b · c d die Punkte a und b auf verschiedenen Seiten der Geraden c d liegen, und umgekehrt die Punkte c und d beiderseits der Geraden a b. *) Zwei obverse Elemente a und a1 können einem geometrischen System ebensowenig angehören als einem linearen; denn andernfalls würde für drei beliebige andere, von a, a1 und von einander verschiedene Elemente b, c, d des geometrischen Systems aus K 30, τ) a a1 · b, a a1 · c, a a1 · d nach Law VI — da hier a ≠ a1, — a · b · c, a1 · b · c, a · b · d, usw. folgen, und ebenso hieraus, wenn a ≠ b, b · c · d, usw.; es müssten alle Elemente des geometrischen Systems kollineare Triaden bilden, das geometrische System wäre ein lineares, welches aber, wie bereits oben gezeigt, nicht zwei obverse Elemente a und a1 enthalten könnte. Da nun (a b · c) = (a1 b1 · c1), die obversen der Elemente einer linearen Triade wieder eine solche bilden, so erhält man auch zu einem geo- metrischen System ein zweites, das „konjugirte“ geometrische System, indem man die Elemente sämtlich negirt; und zwei solche einander konjugirte bilden ein neues symmetrisches, das „erweiterte“ („extended“) geometrische System. Ein solches zerfällt aber nicht etwa blos in die beiden konjugirten Systeme, aus denen es durch Zusammensetzung entstanden ist, sondern es lässt sich auf mehrere, ja, sofern es unbegrenzt viele Elemente enthält, auf unbegrenzt viele Arten in zwei konjugirte Systeme aufbrechen, — ebenso, wie man eine Kugel auf unbegrenzt viele Arten in zwei Halbkugeln zerteilen kann. Es entspricht so einer geraden Linie, d. i. einem vollständigen linearen Systeme, dessen Elemente — einem geometrischen Systeme zugehörig — zu je dreien eine lineare Triade bilden, im erweiterten *) Vergl. unten Seite 587 ff.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 581. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/225>, abgerufen am 29.04.2024.