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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Anhang 8.

geometrischen Systeme eine "erweiterte Gerade", deren Punkte sämtlich
"bedingte" Triaden (vergl. kh)) bilden; eine solche erweiterte Gerade ist
als eine geschlossene Linie zu denken, welche auf unbegrenzt viele
Arten in zwei gewöhnliche gerade Linien auseinander fallen kann.
Ebenso, während von den Punkten einer Ebene jede Tetrade eine
flache Tetrade ist, werden die Punkte einer erweiterten Ebene stets
zu bedingten Tetraden zusammentreten. -- Einem flachen n-dimen-
sionalen Raum, dessen Punkte zu je n + 2 ein flaches System zusammen-
setzen, wird ein erweiterter oder bedingter n-dimensionaler Raum ent-
sprechen, in welchem je n + 2 Punkte einem bedingten System an-
gehören.

Es ist hervorzuheben, dass im Gegensatz zu der gewöhnlichen
analytischen Geometrie die hiermit angebahnte Rechnung mit Punkten
und Punktsystemen nichts zu thun hat mit Grössen irgend welcher Art.

Nach Darlegung des Kempe'schen Gedankenganges sollen nun --
der mutmasslichen Absicht des Verfassers möglichst entsprechend --
einige Ausführungen zur Vervollständigung des vorstehenden, ins-
besondere zum Nachweis einiger Sätze (Seite 570, 578 u. 581) sich
hier anschliessen.

Es handelt sich vorzugsweise um Eigenschaften eines linearen
Punktsystems, hierauf auch um diejenigen eines geometrischen und eines
erweiterten geometrischen Systems. In einem linearen Punktsystem ist,
wie oben Seite 578 angegeben, für zwei beliebige Systempunkte a
und b, vorausgesetzt a b oder (a · b), (cf. t), für deren drei a, b, c
neben der durchgängigen Verschiedenheit noch:
(a · b · c), = (a b · c) + (a c · b) + (b c · a)
(cf. ph), wobei wegen t) (a b · c) (a c · b) = (b · c) somit von den drei
linearen Triaden a b · c, a c · b, b c · a eine und nur eine bestehen soll, --
während endlich für vier Punkte a, b, c, d mit
(a · b) (a · c) (a · d) (b · c) (b · d) (c · d) (a · b · c) (a · b · d) (a · c · d) (b · c · d)
die Voraussetzung, dass die vier Punkte einem linearen System angehören,
ihren vollständigen Ausdruck findet, worin die Tetrade kollinearer
Triaden vermöge der sechs vorausgehenden Ungleichungen nur eine
Tetrade linearer Triaden bedeutet.

Wir denken uns nun, -- um den Satz K 128, Seite 578 zu
beweisen, -- eine jede von den 4 x 3 denkbaren linearen Triaden der
vier Punkte a, b, c, d nach dem nicht darin vorkommenden vierten
Element entwickelt, wie z. B. (a b · c) = (a b · c d) (a b d · c), d. h. dar-

Anhang 8.

geometrischen Systeme eine „erweiterte Gerade“, deren Punkte sämtlich
„bedingte“ Triaden (vergl. χ)) bilden; eine solche erweiterte Gerade ist
als eine geschlossene Linie zu denken, welche auf unbegrenzt viele
Arten in zwei gewöhnliche gerade Linien auseinander fallen kann.
Ebenso, während von den Punkten einer Ebene jede Tetrade eine
flache Tetrade ist, werden die Punkte einer erweiterten Ebene stets
zu bedingten Tetraden zusammentreten. — Einem flachen n-dimen-
sionalen Raum, dessen Punkte zu je n + 2 ein flaches System zusammen-
setzen, wird ein erweiterter oder bedingter n-dimensionaler Raum ent-
sprechen, in welchem je n + 2 Punkte einem bedingten System an-
gehören.

Es ist hervorzuheben, dass im Gegensatz zu der gewöhnlichen
analytischen Geometrie die hiermit angebahnte Rechnung mit Punkten
und Punktsystemen nichts zu thun hat mit Grössen irgend welcher Art.

Nach Darlegung des Kempe’schen Gedankenganges sollen nun —
der mutmasslichen Absicht des Verfassers möglichst entsprechend —
einige Ausführungen zur Vervollständigung des vorstehenden, ins-
besondere zum Nachweis einiger Sätze (Seite 570, 578 u. 581) sich
hier anschliessen.

Es handelt sich vorzugsweise um Eigenschaften eines linearen
Punktsystems, hierauf auch um diejenigen eines geometrischen und eines
erweiterten geometrischen Systems. In einem linearen Punktsystem ist,
wie oben Seite 578 angegeben, für zwei beliebige Systempunkte a
und b, vorausgesetzt a ≠ b oder (a̅ ·̅ b̅), (cf. τ), für deren drei a, b, c
neben der durchgängigen Verschiedenheit noch:
(a · b · c), = (a b · c) + (a c · b) + (b c · a)
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die Voraussetzung, dass die vier Punkte einem linearen System angehören,
ihren vollständigen Ausdruck findet, worin die Tetrade kollinearer
Triaden vermöge der sechs vorausgehenden Ungleichungen nur eine
Tetrade linearer Triaden bedeutet.

Wir denken uns nun, — um den Satz K 128, Seite 578 zu
beweisen, — eine jede von den 4 × 3 denkbaren linearen Triaden der
vier Punkte a, b, c, d nach dem nicht darin vorkommenden vierten
Element entwickelt, wie z. B. (a b · c) = (a b · c d) (a b d · c), d. h. dar-

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[582/0226] Anhang 8. geometrischen Systeme eine „erweiterte Gerade“, deren Punkte sämtlich „bedingte“ Triaden (vergl. χ)) bilden; eine solche erweiterte Gerade ist als eine geschlossene Linie zu denken, welche auf unbegrenzt viele Arten in zwei gewöhnliche gerade Linien auseinander fallen kann. Ebenso, während von den Punkten einer Ebene jede Tetrade eine flache Tetrade ist, werden die Punkte einer erweiterten Ebene stets zu bedingten Tetraden zusammentreten. — Einem flachen n-dimen- sionalen Raum, dessen Punkte zu je n + 2 ein flaches System zusammen- setzen, wird ein erweiterter oder bedingter n-dimensionaler Raum ent- sprechen, in welchem je n + 2 Punkte einem bedingten System an- gehören. Es ist hervorzuheben, dass im Gegensatz zu der gewöhnlichen analytischen Geometrie die hiermit angebahnte Rechnung mit Punkten und Punktsystemen nichts zu thun hat mit Grössen irgend welcher Art. Nach Darlegung des Kempe’schen Gedankenganges sollen nun — der mutmasslichen Absicht des Verfassers möglichst entsprechend — einige Ausführungen zur Vervollständigung des vorstehenden, ins- besondere zum Nachweis einiger Sätze (Seite 570, 578 u. 581) sich hier anschliessen. Es handelt sich vorzugsweise um Eigenschaften eines linearen Punktsystems, hierauf auch um diejenigen eines geometrischen und eines erweiterten geometrischen Systems. In einem linearen Punktsystem ist, wie oben Seite 578 angegeben, für zwei beliebige Systempunkte a und b, vorausgesetzt a ≠ b oder (a̅ ·̅ b̅), (cf. τ), für deren drei a, b, c neben der durchgängigen Verschiedenheit noch: (a · b · c), = (a b · c) + (a c · b) + (b c · a) (cf. φ), wobei wegen τ) (a b · c) (a c · b) = (b · c) somit von den drei linearen Triaden a b · c, a c · b, b c · a eine und nur eine bestehen soll, — während endlich für vier Punkte a, b, c, d mit (a̅ ·̅ b̅) (a̅ ·̅ c̅) (a̅ ·̅ d̅) (b̅ ·̅ c̅) (b̅ ·̅ d̅) (c̅ ·̅ d̅) (a · b · c) (a · b · d) (a · c · d) (b · c · d) die Voraussetzung, dass die vier Punkte einem linearen System angehören, ihren vollständigen Ausdruck findet, worin die Tetrade kollinearer Triaden vermöge der sechs vorausgehenden Ungleichungen nur eine Tetrade linearer Triaden bedeutet. Wir denken uns nun, — um den Satz K 128, Seite 578 zu beweisen, — eine jede von den 4 × 3 denkbaren linearen Triaden der vier Punkte a, b, c, d nach dem nicht darin vorkommenden vierten Element entwickelt, wie z. B. (a b · c) = (a b · c d) (a b d · c), d. h. dar-

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 582. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/226>, abgerufen am 29.04.2024.

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