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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905.

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Kempe's Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 43.
[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 44.

Gehen wir jetzt über zu einem "erweiterten geometrischen System",
dessen Punkte p, q, r, s ..., entsprechend denen des geometrischen, der
Bedingung
(· p · q · r ·) (· p · q · s ·) (· p · r · s ·) (· p · q ·)
oder
(· p · q · r ·) (· p · q · s ·) (· p · q ·) (· p · r · s ·) (· q · r · s ·)
genügen müssen, so kann man ganz ähnliche Überlegungen anstellen.
Gehören diesem System wieder die vier Punkte a, b, c, d an, von
denen nicht zwei in einen Punkt und nicht drei in eine (erweiterte)
Gerade fallen sollen, so werden auch deren obverse a1, b1, c1, d1 System-
punkte sein, auf welche sich die Voraussetzungen nunmehr auch erstrecken
werden: es soll gelten:
(· a · b ·) (· a · c ·) ... (· c · d ·) (· a · b · c ·) ... (· b · c · d ·)
Ferner mögen die Elemente a, b, c, d eine bedingte Tetrade · a · b · c · d ·
bilden, (d. h. eine oder mehrere flache oder auch eine obverse). Ganz
wie im geometrischen System ergibt sich dann auch hier aus der An-
nahme, dass die beiden bedingten Geraden a b und c d zwei Schnitt-
punkte x und x' hätten,
(· x · x' ·), = (x' = x) + (x' = x1),
d. h. zwei bedingte Gerade haben stets zwei und nur zwei -- zu ein-
ander obverse -- Schnittpunkte. Und daraus folgt wieder, dass die
vier Punkte a, b, c, d nur eine flache Tetrade bilden können, oder aber
die obverse Tetrade
(· a b c d ·) = [Formel 1] (a b · x) (· c d x ·) = [Formel 2] (a c · x) (· b d x ·) = [Formel 3] (a d · x) (· b c x ·)
= [Formel 4] (· a b x ·) (c d · x) = [Formel 5] (· a c x ·) (b d · x) = [Formel 6] (· a d x ·) (b c · x).

Die Möglichkeit des Zusammenbestehens mehrerer flacher und
allenfalls auch der obversen Tetrade ergibt sich erst, wenn nunmehr

Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage.
[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 43.
[Abbildung]
[Abbildung] Fig. 44.

Gehen wir jetzt über zu einem „erweiterten geometrischen System“,
dessen Punkte p, q, r, s …, entsprechend denen des geometrischen, der
Bedingung
(· p · q · r ·) (· p · q · s ·) (·̅ p̅ ·̅ r̅ ·̅ s̅ ·̅) (· p · q ·)
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genügen müssen, so kann man ganz ähnliche Überlegungen anstellen.
Gehören diesem System wieder die vier Punkte a, b, c, d an, von
denen nicht zwei in einen Punkt und nicht drei in eine (erweiterte)
Gerade fallen sollen, so werden auch deren obverse a1, b1, c1, d1 System-
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wie im geometrischen System ergibt sich dann auch hier aus der An-
nahme, dass die beiden bedingten Geraden a b und c d zwei Schnitt-
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ander obverse — Schnittpunkte. Und daraus folgt wieder, dass die
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die obverse Tetrade
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= [Formel 4] (· a b x ·) (c d · x) = [Formel 5] (· a c x ·) (b d · x) = [Formel 6] (· a d x ·) (b c · x).

Die Möglichkeit des Zusammenbestehens mehrerer flacher und
allenfalls auch der obversen Tetrade ergibt sich erst, wenn nunmehr

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[589/0233] Kempe’s Zusammenhang des identischen Kalkuls mit der Geometrie der Lage. [Abbildung] [Abbildung Fig. 43.] [Abbildung] [Abbildung Fig. 44.] Gehen wir jetzt über zu einem „erweiterten geometrischen System“, dessen Punkte p, q, r, s …, entsprechend denen des geometrischen, der Bedingung (· p · q · r ·) (· p · q · s ·) (·̅ p̅ ·̅ r̅ ·̅ s̅ ·̅) (· p · q ·) oder (· p · q · r ·) (· p · q · s ·) (·̅ p̅ ·̅ q̅ ·̅) (· p · r · s ·) (· q · r · s ·) genügen müssen, so kann man ganz ähnliche Überlegungen anstellen. Gehören diesem System wieder die vier Punkte a, b, c, d an, von denen nicht zwei in einen Punkt und nicht drei in eine (erweiterte) Gerade fallen sollen, so werden auch deren obverse a1, b1, c1, d1 System- punkte sein, auf welche sich die Voraussetzungen nunmehr auch erstrecken werden: es soll gelten: (·̅ a̅ ·̅ b̅ ·̅) (·̅ a̅ ·̅ c̅ ·̅) … (·̅ c̅ ·̅ d̅ ·̅) (·̅ a̅ ·̅ b̅ ·̅ c̅ ·̅) … (·̅ b̅ ·̅ c̅ ·̅ d̅ ·̅) Ferner mögen die Elemente a, b, c, d eine bedingte Tetrade · a · b · c · d · bilden, (d. h. eine oder mehrere flache oder auch eine obverse). Ganz wie im geometrischen System ergibt sich dann auch hier aus der An- nahme, dass die beiden bedingten Geraden a b und c d zwei Schnitt- punkte x und x' hätten, (· x · x' ·), = (x' = x) + (x' = x1), d. h. zwei bedingte Gerade haben stets zwei und nur zwei — zu ein- ander obverse — Schnittpunkte. Und daraus folgt wieder, dass die vier Punkte a, b, c, d nur eine flache Tetrade bilden können, oder aber die obverse Tetrade (· a b c d ·) = [FORMEL] (a b · x) (· c d x ·) = [FORMEL] (a c · x) (· b d x ·) = [FORMEL] (a d · x) (· b c x ·) = [FORMEL] (· a b x ·) (c d · x) = [FORMEL] (· a c x ·) (b d · x) = [FORMEL] (· a d x ·) (b c · x). Die Möglichkeit des Zusammenbestehens mehrerer flacher und allenfalls auch der obversen Tetrade ergibt sich erst, wenn nunmehr

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 2. Leipzig, 1905, S. 589. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0202_1905/233>, abgerufen am 29.04.2024.