Z. B. es ist ein Relativ x derart, dass für ein beliebiges oder all- gemeines a stets xa = a wäre, nicht möglich. Denn für dieses müsste Sh(xi h + ah j) = ai j sein, sonach bei ai j = 0 müsste sowol xi h = 0 als ah j = 0 für jedes h sein, welch letzteres einen Widerspruch mit der für hi zuzulassenden Möglichkeit eines ah j 0 vorstellt.
Was aber die Transknüpfungen zwischen einem allgemeinen Relativ a und einem der vier sonstigen Moduln betrifft, so überzeugt man sich leicht aus dem Abacus, dass 0 = 0 a = a 0 = 0' a = a 0' = 1' a = a 1'| |1 = 1 a = a 1 = 1' a = a 1' = 0' a = a 0',
1 a = 0 j a
0 a = 1 ; a
a 1 = a j 0
a 0 = a ; 1
ist. Die fraglichen Modulknüpfungen sind also zumeist reduzibel und kommen, soweit sie es nicht sind, auf schon anderweitig diskutirte relative Knüpfungen hinaus.
So viel über den Formalismus, die formalen Gesetze unsrer Trans- operationen -- von dessen Erledigung ab wir auch von den proviso- rischen Knüpfungszeichen keinen Gebrauch mehr machen wollen.
Leicht zu durchschauen ist die Konstitution, Struktur oder Bildungs- weise der beiden Relative (a j 0)(0 j b) und a ; 1 + 1 ; b die unsre Be- achtung auf sich gezogen haben.
Das erstre Relativ ist der Schnitt der Vollzeilen von a mit den Voll- kolonnen von b, hat Augen nur an den Gitterpunkten der Matrix, wo jene mit diesen zusammentreffen. Keine zwei "zu einander schief stehende" (d. h. weder in derselben Horizontal- noch in derselben Vertikalflucht liegende) Augen können dem Relative c = (a j 0)(0 j b) angehören, ohne dass ihm auch die beiden andern Augen angehörten, welche mit jenen zusammen die Ecken eines Reihenrechtecks bilden, m. a. W. es ist für alle i, j, h, k: (ci j = 1)(ch k = 1) = (ci k = 1)(ch j = 1) oder die Augen unsres Relativs c stehen durchgängig sozusagen "in Quadern".
Beweis. Ist Plai lbl j = 1 und Plah lbl k = 1, so muss auch Plai lbl k = 1 und Plah lbl j = 1 sein, weil die vorkommenden vier Reihen von Koeffi- zienten der a, b sämtlich selber = 1 sein werden.
Bei dem zweiten Relativ d = a ; 1 + 1 ; b verhält es sich geradeso mit den Leerstellen oder Lücken, stehn ebendiese in Quadern und ist: (di j = 0)(dh k = 0) = (di k = 0)(dh j = 0).
Siebente Vorlesung.
Z. B. es ist ein Relativ x derart, dass für ein beliebiges oder all- gemeines a stets x ⌣ a = a wäre, nicht möglich. Denn für dieses müsste Σh(xi h + ah j) = ai j sein, sonach bei ai j = 0 müsste sowol xi h = 0 als ah j = 0 für jedes h sein, welch letzteres einen Widerspruch mit der für h ≠ i zuzulassenden Möglichkeit eines ah j ≠ 0 vorstellt.
Was aber die Transknüpfungen zwischen einem allgemeinen Relativ a und einem der vier sonstigen Moduln betrifft, so überzeugt man sich leicht aus dem Abacus, dass 0 = 0 ⌢ a = a ⌢ 0 = 0' ⌢ a = a ⌢ 0' = 1' ⌢ a = a ⌢ 1'| |1 = 1 ⌣ a = a ⌣ 1 = 1' ⌣ a = a ⌣ 1' = 0' ⌣ a = a ⌣ 0',
1 ⌢ a = 0 ɟ a
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a ⌢ 1 = a ɟ 0
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ist. Die fraglichen Modulknüpfungen sind also zumeist reduzibel und kommen, soweit sie es nicht sind, auf schon anderweitig diskutirte relative Knüpfungen hinaus.
So viel über den Formalismus, die formalen Gesetze unsrer Trans- operationen — von dessen Erledigung ab wir auch von den proviso- rischen Knüpfungszeichen keinen Gebrauch mehr machen wollen.
Leicht zu durchschauen ist die Konstitution, Struktur oder Bildungs- weise der beiden Relative (a ɟ 0)(0 ɟ b) und a ; 1 + 1 ; b die unsre Be- achtung auf sich gezogen haben.
Das erstre Relativ ist der Schnitt der Vollzeilen von a mit den Voll- kolonnen von b, hat Augen nur an den Gitterpunkten der Matrix, wo jene mit diesen zusammentreffen. Keine zwei „zu einander schief stehende“ (d. h. weder in derselben Horizontal- noch in derselben Vertikalflucht liegende) Augen können dem Relative c = (a ɟ 0)(0 ɟ b) angehören, ohne dass ihm auch die beiden andern Augen angehörten, welche mit jenen zusammen die Ecken eines Reihenrechtecks bilden, m. a. W. es ist für alle i, j, h, k: (ci j = 1)(ch k = 1) = (ci k = 1)(ch j = 1) oder die Augen unsres Relativs c stehen durchgängig sozusagen „in Quadern“.
Beweis. Ist Πlai lbl j = 1 und Πlah lbl k = 1, so muss auch Πlai lbl k = 1 und Πlah lbl j = 1 sein, weil die vorkommenden vier Reihen von Koeffi- zienten der a, b sämtlich selber = 1 sein werden.
Bei dem zweiten Relativ d = a ; 1 + 1 ; b verhält es sich geradeso mit den Leerstellen oder Lücken, stehn ebendiese in Quadern und ist: (di j = 0)(dh k = 0) = (di k = 0)(dh j = 0).
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Siebente Vorlesung.
Z. B. es ist ein Relativ x derart, dass für ein beliebiges oder all-
gemeines a stets x ⌣ a = a wäre, nicht möglich. Denn für dieses müsste
Σh(xi h + ah j) = ai j sein, sonach bei ai j = 0 müsste sowol xi h = 0 als
ah j = 0 für jedes h sein, welch letzteres einen Widerspruch mit der für
h ≠ i zuzulassenden Möglichkeit eines ah j ≠ 0 vorstellt.
Was aber die Transknüpfungen zwischen einem allgemeinen Relativ a
und einem der vier sonstigen Moduln betrifft, so überzeugt man sich leicht
aus dem Abacus, dass
0 = 0 ⌢ a = a ⌢ 0 = 0' ⌢ a = a ⌢ 0' = 1' ⌢ a = a ⌢ 1'|
|1 = 1 ⌣ a = a ⌣ 1 = 1' ⌣ a = a ⌣ 1' = 0' ⌣ a = a ⌣ 0',
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a ⌢ 1 = a ɟ 0 a ⌣ 0 = a ; 1
ist. Die fraglichen Modulknüpfungen sind also zumeist reduzibel und
kommen, soweit sie es nicht sind, auf schon anderweitig diskutirte relative
Knüpfungen hinaus.
So viel über den Formalismus, die formalen Gesetze unsrer Trans-
operationen — von dessen Erledigung ab wir auch von den proviso-
rischen Knüpfungszeichen keinen Gebrauch mehr machen wollen.
Leicht zu durchschauen ist die Konstitution, Struktur oder Bildungs-
weise der beiden Relative (a ɟ 0)(0 ɟ b) und a ; 1 + 1 ; b die unsre Be-
achtung auf sich gezogen haben.
Das erstre Relativ ist der Schnitt der Vollzeilen von a mit den Voll-
kolonnen von b, hat Augen nur an den Gitterpunkten der Matrix, wo
jene mit diesen zusammentreffen. Keine zwei „zu einander schief
stehende“ (d. h. weder in derselben Horizontal- noch in derselben
Vertikalflucht liegende) Augen können dem Relative c = (a ɟ 0)(0 ɟ b)
angehören, ohne dass ihm auch die beiden andern Augen angehörten,
welche mit jenen zusammen die Ecken eines Reihenrechtecks bilden,
m. a. W. es ist für alle i, j, h, k:
(ci j = 1)(ch k = 1) = (ci k = 1)(ch j = 1)
oder die Augen unsres Relativs c stehen durchgängig sozusagen „in
Quadern“.
Beweis. Ist Πlai lbl j = 1 und Πlah lbl k = 1, so muss auch Πlai lbl k = 1
und Πlah lbl j = 1 sein, weil die vorkommenden vier Reihen von Koeffi-
zienten der a, b sämtlich selber = 1 sein werden.
Bei dem zweiten Relativ d = a ; 1 + 1 ; b verhält es sich geradeso
mit den Leerstellen oder Lücken, stehn ebendiese in Quadern und ist:
(di j = 0)(dh k = 0) = (di k = 0)(dh j = 0).
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 280. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/294>, abgerufen am 06.05.2024.
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