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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 26. Charakteristik des Einauges.
wir in beistehender Figur durch hohle Ringe markirt haben. Diese
konnten jedenfalls dem z nicht angehören, weil dasselbe sonst mehr-
besetzte Reihen hätte. Es greift dann also in der That z ; 1 ; z über z
hinaus. Somit kann ein Relativ z, welches die Forderung 6) erfüllt,
auch nicht mehr als ein Auge haben; es muss Ein-
auge sein, q. e. d. [Der vorstehenden Überlegung
würde sich auch leicht eine mehr analytische, rech-
nerisch zuwerkegehende Fassung geben lassen.]

Es ist also 6) die gesuchte Charakteristik des

[Abbildung] Fig. 24.
Einauges. Dieselbe lässt sich noch auf elegantere Formen bringen.
Nach 5) des § 11 und 14) des § 15 kann umgeformt werden:
zn · z ; 1 ; z = zn · z ; 1 · 1 ; z = z ; 1 · zn · zn · 1 ; z = z ; 0' · zn · zn · 0' ; z = z ; 0' · zn · 0' ; z.
Setzt man dies ein, so kann ferner nach dem Schema:
abzn + (a + b)z = ab + (a + b)z
der Faktor zn im ersten Term auch unterdrückt werden und entsteht:
7) z ; 0' · 0' ; z + z(z ; 0' + 0' ; z) + 0 j zn j 0 = 0.

Die beiden ersten Terme sind aber einerlei mit
z ; 0' · (z + 0' ; z) + (z ; 0' + z) · 0' ; z
und reduzirt sich dies nach 13) des § 15 so, dass wir erhalten:
8) 0 j zn j 0 + z ; 1 · 0' ; z + z ; 0' · 1 ; z = 0,
was mit Aufwand von nur zwölf Termen unsre Charakteristik dar-
stellt; dieselbe kann hienach aber auch mit nur zehn Termen gegeben
werden in einer der beiden Formen:
9) [Formel 1]

Immer noch ist dies aber nicht die einfachste Gestalt unsrer Re-
sultante oder Charakteristik des Einauges. Dieselbe kann vielmehr auch
mit Aufwand von nur sieben Termen gegeben werden in -- gleichviel
welcher der vier Formen:
10) 0' ; z ; 0' = (zn j 0)(0 j zn), 1' j zn j 1' = z ; 1 + 1 ; z,
11) 0' ; z ; 0' = (zn j 0) ; (0 j zn), 1' j zn j 1' = z ; 1 j 1 ; z,
deren Äquivalenz unter sich durch Kontraposition und aus 24) des § 20
erhellt. Zu diesen werden wir nachher beim Studium der Modul-
knüpfungen von z heuristisch gelangen und dort auch ihre Äquivalenz
mit 6) bis 9) analytisch beweisen. Die vier Formen 10), 11) können
wesentlich als eine Ausdrucksform unsrer Charakteristik bezeichnet
werden.


§ 26. Charakteristik des Einauges.
wir in beistehender Figur durch hohle Ringe markirt haben. Diese
konnten jedenfalls dem z nicht angehören, weil dasselbe sonst mehr-
besetzte Reihen hätte. Es greift dann also in der That z ; 1 ; z über z
hinaus. Somit kann ein Relativ z, welches die Forderung 6) erfüllt,
auch nicht mehr als ein Auge haben; es muss Ein-
auge sein, q. e. d. [Der vorstehenden Überlegung
würde sich auch leicht eine mehr analytische, rech-
nerisch zuwerkegehende Fassung geben lassen.]

Es ist also 6) die gesuchte Charakteristik des

[Abbildung] Fig. 24.
Einauges. Dieselbe lässt sich noch auf elegantere Formen bringen.
Nach 5) des § 11 und 14) des § 15 kann umgeformt werden:
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der Faktor z̄ im ersten Term auch unterdrückt werden und entsteht:
7) z ; 0' · 0' ; z + z(z ; 0' + 0' ; z) + 0 ɟ z̄ ɟ 0 = 0.

Die beiden ersten Terme sind aber einerlei mit
z ; 0' · (z + 0' ; z) + (z ; 0' + z) · 0' ; z
und reduzirt sich dies nach 13) des § 15 so, dass wir erhalten:
8) 0 ɟ z̄ ɟ 0 + z ; 1 · 0' ; z + z ; 0' · 1 ; z = 0,
was mit Aufwand von nur zwölf Termen unsre Charakteristik dar-
stellt; dieselbe kann hienach aber auch mit nur zehn Termen gegeben
werden in einer der beiden Formen:
9) [Formel 1]

Immer noch ist dies aber nicht die einfachste Gestalt unsrer Re-
sultante oder Charakteristik des Einauges. Dieselbe kann vielmehr auch
mit Aufwand von nur sieben Termen gegeben werden in — gleichviel
welcher der vier Formen:
10) 0' ; z ; 0' = (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄), 1' ɟ z̄ ɟ 1' = z ; 1 + 1 ; z,
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deren Äquivalenz unter sich durch Kontraposition und aus 24) des § 20
erhellt. Zu diesen werden wir nachher beim Studium der Modul-
knüpfungen von z heuristisch gelangen und dort auch ihre Äquivalenz
mit 6) bis 9) analytisch beweisen. Die vier Formen 10), 11) können
wesentlich als eine Ausdrucksform unsrer Charakteristik bezeichnet
werden.


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[427/0441] § 26. Charakteristik des Einauges. wir in beistehender Figur durch hohle Ringe markirt haben. Diese konnten jedenfalls dem z nicht angehören, weil dasselbe sonst mehr- besetzte Reihen hätte. Es greift dann also in der That z ; 1 ; z über z hinaus. Somit kann ein Relativ z, welches die Forderung 6) erfüllt, auch nicht mehr als ein Auge haben; es muss Ein- auge sein, q. e. d. [Der vorstehenden Überlegung würde sich auch leicht eine mehr analytische, rech- nerisch zuwerkegehende Fassung geben lassen.] Es ist also 6) die gesuchte Charakteristik des [Abbildung Fig. 24.] Einauges. Dieselbe lässt sich noch auf elegantere Formen bringen. Nach 5) des § 11 und 14) des § 15 kann umgeformt werden: z̄ · z ; 1 ; z = z̄ · z ; 1 · 1 ; z = z ; 1 · z̄ · z̄ · 1 ; z = z ; 0' · z̄ · z̄ · 0' ; z = z ; 0' · z̄ · 0' ; z. Setzt man dies ein, so kann ferner nach dem Schema: abz̄ + (a + b)z = ab + (a + b)z der Faktor z̄ im ersten Term auch unterdrückt werden und entsteht: 7) z ; 0' · 0' ; z + z(z ; 0' + 0' ; z) + 0 ɟ z̄ ɟ 0 = 0. Die beiden ersten Terme sind aber einerlei mit z ; 0' · (z + 0' ; z) + (z ; 0' + z) · 0' ; z und reduzirt sich dies nach 13) des § 15 so, dass wir erhalten: 8) 0 ɟ z̄ ɟ 0 + z ; 1 · 0' ; z + z ; 0' · 1 ; z = 0, was mit Aufwand von nur zwölf Termen unsre Charakteristik dar- stellt; dieselbe kann hienach aber auch mit nur zehn Termen gegeben werden in einer der beiden Formen: 9) [FORMEL] Immer noch ist dies aber nicht die einfachste Gestalt unsrer Re- sultante oder Charakteristik des Einauges. Dieselbe kann vielmehr auch mit Aufwand von nur sieben Termen gegeben werden in — gleichviel welcher der vier Formen: 10) 0' ; z ; 0' = (z̄ ɟ 0)(0 ɟ z̄), 1' ɟ z̄ ɟ 1' = z ; 1 + 1 ; z, 11) 0' ; z ; 0' = (z̄ ɟ 0) ; (0 ɟ z̄), 1' ɟ z̄ ɟ 1' = z ; 1 ɟ 1 ; z, deren Äquivalenz unter sich durch Kontraposition und aus 24) des § 20 erhellt. Zu diesen werden wir nachher beim Studium der Modul- knüpfungen von z heuristisch gelangen und dort auch ihre Äquivalenz mit 6) bis 9) analytisch beweisen. Die vier Formen 10), 11) können wesentlich als eine Ausdrucksform unsrer Charakteristik bezeichnet werden.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 427. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/441>, abgerufen am 29.04.2024.